CÓMO RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES CON EL METODO 4 PASOS – FACTOR INTEGRANTE

Al terminar este artículo podrás resolver todas las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y entenderás con exactitud, de una vez por todas, de donde sale el Metodo 4 pasos – Factor Integrante para resolver una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) lineal.

El método de 4 pasos usando el factor integrante, aquí visto, es el que utilizamos en este blog para resolver las EDO’s lineales de 1er orden.

Metodo 4 pasos - Factor Integrante

Figura 1. Formula general para la solución de una Ecuación Diferencial Lineal de 1 er Orden

Como se cita en Métodología activa -un articulo que podemos encontrar en la red:

Es importante para el aprendizaje, de cualquier materia, contar con una metodología ordenada que nos permita sistematizar los pasos y las técnicas necesarios para llevar a cabo el proceso de dicho aprendizaje

 Es por esto que te propongo este método.

Además, el aprender haciendo, que es la filosofía que en este blog fomentamos, es el enfoque para la enseñanza, llamado constructivista, que más aceptación actualmente tiene por su alta efectividad, este enfoque también es conocido como aprendizaje basado en competencias, pues desarrolla conocimientos y habilidades entre otras cosas* 

Metotología para deducir la fórmulas del Metodo 4 pasos – Factor Integrante

Para aprender a resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con el método de 4 pasos – Factor Integrante, utilizaremos la siguiente metodología:

  1. Partiremos de la exposición de los 4 pasos mencionados para resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias.
  2. Explicaremos el por qué de cada paso, su origen y su relación entre si.
  3. Utilizaremos el razonamiento deductivo para comprender de donde sale las formulas usadas para construir la solución de una ecuación diferencial lineal de 1er orden, las cuales son:

Función complementaria (solución del sistema homogéneo asociado)

$y_c = C e^{- \int P ( x) d x}$

Función particular (solución del sistema no homogéneo)

$ y_{p} = \frac{1}{e^{\int P (x) d x}{}} \int e^{\int P (x) dx}f(x)dx$

METODO DE 4 PASOS – FACTOR INTEGRANTE PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

El método 4 pasos – Factor Integrante, consiste de los siguientes 4 pasos:

1. Escribir la Ecuación Diferencial Lineal en su FORMA ESTÁNDAR

$ \frac{d y}{d x} + P ( x) y = f ( x)$

2. Calcular el FACTOR INTEGRANTE

$ e^{\int P ( x) d x}_{}$

Forma de la solución:

$ \Large y=y_c+y_p$

3. SOLUCIÓN DEL SISTEMA HOMOGÉNEO ASOCIADO

$ y_c = C e^{- \int P ( x) d x}_{}$

4. SOLUCIÓN DEL SISTEMA NO HOMOGÉNEO

$ y_p = \frac{1}{e^{\int P ( x) d x}_{}} \int e^{\int P (x) d x}_{} f(x) dx$

Explicación del porque de cada uno de los pasos anteriores, su origen y su relación mutua

Paso 1. FORMA ESTÁNDAR de una Ecuación Diferencial Lineal de 1er orden

\begin{equation}
\frac{dy}{dx} + P(x) y = f (x)
\end{equation}
(1)

Para poder resolver una Ecuación Diferencial de cualquier tipo, debido a la gran variedad de formas en las que se pueden presentar, es importante poder identificar si ésta es una Ecuación Diferencial Lineal y el orden de la misma.

Este paso permite poder aplicar los métodos conocidos para resolver la ED’s.

En el caso de una Ecuación Diferencial ordinaria (EDO) lineal de primer orden, vasta con redistribuir los términos de la ED estudiada para comprobar si tiene la forma de un ED lineal; recordando que esta forma implica las siguientes condiciones de linealidad de un ED.

Condiciones para establecer la linealidad de una Ecuación Diferencial de primer orden:

La variable dependiente ($ y$ o cualquier otra) y su derivada ($ y’$) son de primer grado, es decir están elevadas a la potencia 1.

El coeficiente $ P(x)$, como la notación lo indica, debe de depender solo de la variable independiente (para este caso es $ x$).

\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + y^3}
\end{equation}
(2)

es lineal en $ x$ pero no en $ y$ es decir, si despejamos para una u otra variable veremos que:

$ \frac{d x}{d y} = x + y^3$

$ \Rightarrow$ $ \frac{d x}{d y} – x = y^3$ si es lineal mientras (2) no lo es.

En general, es importante checar cuando es no lineal, una ED en una variable pero es lineal en la otra variable.

Un ejemplo de como acomodar los términos de una ED para ver si es lineal se desarrolla a continuación:

\begin{eqnarray}
x^2 y’ + x ( x + 2) y = e^x &\\ \Rightarrow & x y’ + ( x + 2) y =
\frac{e^x}{x}
&\\ \Rightarrow & x \frac{d y}{d x} + ( x + 2) y = \frac{e^x}{x}
&\\ \Rightarrow & \frac{d y}{d x} + \frac{( x + 2)}{x} y = \frac{e^x}{x^2}
\end{eqnarray}
(3)

Donde (3) tiene la forma estándar (1). La solución de esta ecuación la puedes ver dando click al siguiente link: Solución de la Ecuación Diferencial (3).

La forma estándar de una Ecuación Diferencial nos indica que podemos utilizar un factor integrante para resolverla, al corroborar su linealidad.

Paso 2. FACTOR INTEGRANTE

\begin{equation}
e^{\int P ( x) d x}
\end{equation}
(4)

El Factor Integrante es el factor que permite que una ecuación Diferencial se pueda integrar mediante las fórmulas conocidas del cálculo integral o diferencial.

Su origen se puede entender si comparamos una de las formas estándar utilizadas para derivar funciones (La Regla del Producto) con la forma estándar de una Ecuación Diferencial Lineal y deducimos, a partir de sus similitudes, el factor faltante para que la Forma Estándar de la Ecuación Diferencial Lineal pueda ser igual a la definición de la derivada de un producto de funciones, conocida como La Regla del Producto.

A continuación desarrollamos dicha comparación:

\begin{eqnarray}
u d v + v d u & = & d ( u v)\\
y’ + P ( x) y & = & f ( x) \nonumber
\end{eqnarray}
(5)

Haciendo

\begin{eqnarray*}
v & = & y\\
d v & = & y’\\
d ( u v) & = & f ( x)
\end{eqnarray*}

Vemos que solo faltaría la $u$, por lo que si multiplicamos la $u$ en la Forma Estándar de la Ecuación Diferencial Lineal (1) y la despejamos, podemos obtener un factor que nos permita integrar la Forma Estándar de la ED

Ese factor al multiplicarlo por la forma estándar nos daría la forma fácilmente integrable de la Ecuación para la derivada de un producto de funciones (5), conocida como, Regla del Producto.

Es decir:

$$ y’ + P ( x) y = f ( x)\\ \Rightarrow  u y’ + u P ( x) y = u f ( x)$$ (6)

Donde comparando (6) con (5), tenemos que $ u’$ (= $du$) es igual a:

$$d u = u P (x) d x$$

E integrando esta última ecuación tenemos:

$$u = e^{ \int P ( x) d x}$$

Ahora, si multiplicamos este resultado en la Forma Estándar de una Ecuación Diferencial:
$$y’ + P ( x) y = f ( x)$$
Tenemos:

\begin{equation}
e^{ \int P ( x) d x} y’ + e^{ \int P ( x) d x} P ( x) y = e^{ \int P ( x) d
x} f ( x)
\end{equation}
(7)

La cual se convierte en la forma de la Regla del Producto, donde el primer miembro de (7) es igual a la derivada del producto de las funciones: $ e^{\int P(x) dx}$ y $ y$ y se puede escribir en la forma reducida que sugiere el segundo miembro de la ecuación (5), es decir:

\begin{equation}
d \left( e^{ \int P ( x) d x} y \right) = e^{ \int P ( x) d x} f ( x)
\end{equation}

Esto hace fácilmente integrable la ecuación diferencial, al menos en el primer miembro, pues desconocemos el valor de $p(x)$ y el de $ f(x)$.

Obviamente la solución de nuestra Ecuación Diferencial Lineal al integrar (7), será:

\begin{equation}
e^{ \int P ( x) d x} y = \int e^{ \int P ( x) d x} f ( x) d x + C
\end{equation}
(8)

De donde podemos ver que es fácilmente despejable $y$ (como lo haremos más adelante).

Con esto podemos ver el por qué de la utilización de este factor (factor integrante) e inclusive su relación con la solución $ y_p$, si despejamos $ y$ de la ecuación anterior (10).

Una explicación más detallada del origen del Factor Integrante, la puedes encontrar dando click aquí.

Metodo 4 pasos – Factor Integrante

FORMA DE LA SOLUCIÓN

La forma de la solución de una ecuación diferencial de primer orden:
$$y = y_c + y_p$$
Nos dice que podemos encontrar DOS soluciones que se complementan al sumarse matemáticamente para formar una solución general de la Ecuación Diferencial.

El porque de esta forma para la solución se puede entender si ejemplificamos una ED con un circuito eléctrico donde están conectados en serie 3 componentes, digamos un inductor, una resistencia y una fuente de alimentación de corriente eléctrica, la Ecuación Diferencial que representa dicha conexión es:

$$L \frac{d i}{d t} + i R = E ( t)$$

donde:

$ L$: es el inductor

$ R$: es la resistencia

$ E(t)$: es la fuente de alimentación de corriente

Si observas la corriente $ i$, es la variable dependiente, que es la que se desconoce.

Esta corriente será al calcularla muy diferente si la fuente de alimentación se desconecta, es decir si su valor es cero ($ 0$), o si la fuente de alimentación tiene un valor constante ($ k$) o si la fuente de alimentación varía con el tiempo ($ E(t)$).

Para el primer caso habrá que resolver la ecuación: $ L \frac{di}{d t} + i R = 0$

Para el segundo caso habría que resolver la ecuación $ L \frac{di}{d t} + i R = K$

Para el tercer caso habrá que resolver la ecuación: $ L \frac{di}{d t} + i R = E ( t)$

Metodo 4 pasos – Factor Integrante

Circuito Eléctrico y dos soluciones para $y$

Podría parecer ilógico que exista un valor para la corriente $ i(t)$ en un circuito si una fuente de alimentación, pero no lo es. Los inductores (y no se digan los capacitores) son elementos que almacenan
corriente y en un circuito como el del ejemplo las corrientes circulantes no solo dependen de la alimentación de corriente sino de lo almacenado en sus elementos.

Por esa razón cuando recién se cierra un interruptor de un circuito ocurre una variación de corriente antes de que se estabilice.

De acuerdo a esto es necesario para conocer la corriente total de un circuito eléctrico, calcular su corriente en el instante en que se cierra el interruptor y sumarla a la corriente que resulta después de que pase un tiempo y se estabilice la misma en el circuito, si este tiene una fuente de alimentación constante o variable.

Un ejemplo de el cálculo de un circuito conectado en serie tipo RL lo pueden ver en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a circuitos (da click aquí).

De esta forma, tal como en los circuitos eléctricos, los sistemas dinámicos o cualquiera sistema que se represente mediante una ED lineal tendrá como solución general a la suma de dos soluciones.

Una obtenida de la Ecuación Diferencial igualada a cero, o mejor conocida como solución del sistema homogéneo asociado:

\begin{equation}
\frac{d y}{d x} + P ( x) y = 0
\end{equation}
(9)

que se escribe como: $ y_c$

Mas otra solución obtenida del la ecuación no homogénea (en este caso escrita igual que la forma estándar):

\begin{equation}
\frac{d y}{d x} + P ( x) y = f ( x)
\end{equation}
(10)

que se escribe como: $ y_p$.

 

Paso 3. SOLUCIÓN DEL SISTEMA HOMOGÉNEO ASOCIADO

$ y_c = C e^{- \int P ( x) d x}$

El origen específico de esta solución se obtiene al resolver el sistema homogéneo asociado de la ecuación (9).

Su solución es muy sencilla pues se trata de una Ecuación Diferencial separable. A continuación resolvemos la ecuación (9):

\begin{eqnarray}
\frac{d y}{d x} + P ( x) y & = & 0\\
\frac{d y}{d x} & = & – P ( x) y\\
\frac{d y}{y} & = & – P ( x) d x\\
\int \frac{d y}{y} & = & – \int P ( x) d x + k\\
l n ( y) & = & – \int P ( x) d x + k\\
e^{l n ( y)} & = & e^{- \int P ( x) d x + k}\\
y_c & = & e^{- \int P ( x) d x} e^k\\
y_c & = & C e^{- \int P ( x) d x}
\end{eqnarray}

Donde el subíndice $ c$ se lo colocamos a la $ y$ para saber que esa solución proviene del sistema homogéneo asociado.

 

Paso 4. SOLUCIÓN DEL SISTEMA NO HOMOGÉNEO

$y_p = \frac{1}{e^{\int P ( x) d x}{}} \int e^{\int P(x) dx}{} f(x) dx$

La solución particular del sistema no homogéneo: $ \frac{d y}{d x} + P(x) y = f(x)$, se obtiene precisamente siguiendo la lógica de igualar ésta forma de la Ecuación Diferencial a resolver con alguna forma de integración o derivación conocida que podamos fácilmente integrar posteriormente.

El desarrollo seguido en la justificación del por que utilizar un Factor Integrante, que hemos hecho más arriba, en realidad resuelve este sistema no homogéneo.

Es decir, si encontramos un factor que multiplicado por la ecuación $ \frac{d y}{d x} + P ( x) y = f ( x)$, nos dé la forma de la Regla del Producto, podremos integrar fácilmente la ecuación y encontrar el valor de la variable dependiente $y$ (o $ y_p$).

Por tanto, si seguimos los pasos hechos para la obtención de las ecuaciones (8),(9) y(10), utilizando el factor integrante $ \mu ( x) = e^{ \int P(x) dx}$, tenemos:

Sistema No Homogéneo:

$ \frac{dy}{dx} + P(x)y = f(x)$

Multiplicandolo por el factor integrante: $ \mu ( x) = e^{ \int P(x) dx}$.

\begin{eqnarray}
\mu ( x) y’ + \mu ( x) P ( x) y & = & \mu ( x) f ( x)
\end{eqnarray}

Esto implica que la ecuación tiene la forma de la derivada de un producto de funciones en su primer miembro, la cual se puede anotar como $ d ( \mu ( x) y)$ y solo restaría integrar ambos miembros, del siguiente modo:

\begin{eqnarray}
d ( \mu ( x) y) & = & \mu ( x) f ( x) dx &\\
\int d ( \mu ( x) y) & = & \int \mu ( x) f ( x) d x + C\\
\mu ( x) y & = & \int \mu ( x) f ( x) d x + C\\
y & = & \frac{1}{\mu ( x)} \left(\int \mu ( x) f ( x) d x + C\right)
\end{eqnarray}

Y sustituyendo este resultado con el Factor Integrante encontrado, tenemos:

\begin{eqnarray}
y & = & \frac{1}{e^{ \int P ( x) d x}}\left( \int e^{ \int P ( x) d x} f ( x)dx + C\right)\\
& = & \frac{1}{e^{ \int P ( x) d x}} \int e^{ \int P ( x) d x} f ( x) dx + Ce^{-\int P ( x) d x}\\
\end{eqnarray}

Donde, el término: $Ce^{-\int P ( x) d x}$ corresponde a la solución general del sistema homogéneo asociado, y por tanto:

\begin{eqnarray}
y_p & = &\frac{1}{e^{ \int P ( x) d x}} \int e^{ \int P ( x) d x} f ( x) dx\\
\end{eqnarray}

Es la fórmula utilizada para encontrar la solución particular $y_p$.

Te dejo un video donde explico la obtención de la fórmula para $y$ desde una perspectiva un poco diferente.

Acá te dejo el pizarrón del video, dale doble click y ampliala para ver los detalles:

Metodo 4 pasos - Factor Integrante

Resumen: Metodo 4 pasos – Factor Integrante para Resolución de una Ecuación Diferencial Lineal de primer orden

1. Forma Standard:  $ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$

2. Factor Integrante: $  e^{\int P ( x) d x}$

     Forma de solución: $ y={{y}{c}}+{{y}{p}}$

3.                                  $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4.                                  $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

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