Al terminar este artículo podrás resolver todas las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y entenderás con exactitud, de una vez por todas, de donde sale el Metodo 4 pasos – Factor Integrante para resolver una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) lineal.
El método de 4 pasos usando el factor integrante, aquí visto, es el que utilizamos en este blog para resolver las EDO’s lineales de 1er orden.
Como se cita en Métodología activa -un articulo que podemos encontrar en la red:
Es importante para el aprendizaje, de cualquier materia, contar con una metodología ordenada que nos permita sistematizar los pasos y las técnicas necesarios para llevar a cabo el proceso de dicho aprendizaje
Es por esto que te propongo este método.
Además, el aprender haciendo, que es la filosofía que en este blog fomentamos, es el enfoque para la enseñanza, llamado constructivista, que más aceptación actualmente tiene por su alta efectividad, este enfoque también es conocido como aprendizaje basado en competencias, pues desarrolla conocimientos y habilidades entre otras cosas*
Metotología para deducir la fórmulas del Metodo 4 pasos – Factor Integrante
Para aprender a resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con el método de 4 pasos – Factor Integrante, utilizaremos la siguiente metodología:
- Partiremos de la exposición de los 4 pasos mencionados para resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias.
- Explicaremos el por qué de cada paso, su origen y su relación entre si.
- Utilizaremos el razonamiento deductivo para comprender de donde sale las formulas usadas para construir la solución de una ecuación diferencial lineal de 1er orden, las cuales son:
Función complementaria (solución del sistema homogéneo asociado)
$y_c = C e^{- \int P ( x) d x}$
Función particular (solución del sistema no homogéneo)
$ y_{p} = \frac{1}{e^{\int P (x) d x}{}} \int e^{\int P (x) dx}f(x)dx$
METODO DE 4 PASOS – FACTOR INTEGRANTE PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
El método 4 pasos – Factor Integrante, consiste de los siguientes 4 pasos:
1. Escribir la Ecuación Diferencial Lineal en su FORMA ESTÁNDAR
$ \frac{d y}{d x} + P ( x) y = f ( x)$
2. Calcular el FACTOR INTEGRANTE
$ e^{\int P ( x) d x}_{}$
Forma de la solución:
$ \Large y=y_c+y_p$
3. SOLUCIÓN DEL SISTEMA HOMOGÉNEO ASOCIADO
$ y_c = C e^{- \int P ( x) d x}_{}$
4. SOLUCIÓN DEL SISTEMA NO HOMOGÉNEO
$ y_p = \frac{1}{e^{\int P ( x) d x}_{}} \int e^{\int P (x) d x}_{} f(x) dx$
Explicación del porque de cada uno de los pasos anteriores, su origen y su relación mutua
Paso 1. FORMA ESTÁNDAR de una Ecuación Diferencial Lineal de 1er orden
| \begin{equation} \frac{dy}{dx} + P(x) y = f (x) \end{equation} | (1) |
Para poder resolver una Ecuación Diferencial de cualquier tipo, debido a la gran variedad de formas en las que se pueden presentar, es importante poder identificar si ésta es una Ecuación Diferencial Lineal y el orden de la misma.
Este paso permite poder aplicar los métodos conocidos para resolver la ED’s.
En el caso de una Ecuación Diferencial ordinaria (EDO) lineal de primer orden, vasta con redistribuir los términos de la ED estudiada para comprobar si tiene la forma de un ED lineal; recordando que esta forma implica las siguientes condiciones de linealidad de un ED.
Condiciones para establecer la linealidad de una Ecuación Diferencial de primer orden:
La variable dependiente ($ y$ o cualquier otra) y su derivada ($ y’$) son de primer grado, es decir están elevadas a la potencia 1.
El coeficiente $ P(x)$, como la notación lo indica, debe de depender solo de la variable independiente (para este caso es $ x$).
| \begin{equation} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + y^3} \end{equation} | (2) |
es lineal en $ x$ pero no en $ y$ es decir, si despejamos para una u otra variable veremos que:
$ \frac{d x}{d y} = x + y^3$
$ \Rightarrow$ $ \frac{d x}{d y} – x = y^3$ si es lineal mientras (2) no lo es.
En general, es importante checar cuando es no lineal, una ED en una variable pero es lineal en la otra variable.
Un ejemplo de como acomodar los términos de una ED para ver si es lineal se desarrolla a continuación:
| \begin{eqnarray} x^2 y’ + x ( x + 2) y = e^x &\\ \Rightarrow & x y’ + ( x + 2) y = \frac{e^x}{x} &\\ \Rightarrow & x \frac{d y}{d x} + ( x + 2) y = \frac{e^x}{x} &\\ \Rightarrow & \frac{d y}{d x} + \frac{( x + 2)}{x} y = \frac{e^x}{x^2} \end{eqnarray} | (3) |
Donde (3) tiene la forma estándar (1). La solución de esta ecuación la puedes ver dando click al siguiente link: Solución de la Ecuación Diferencial (3).
La forma estándar de una Ecuación Diferencial nos indica que podemos utilizar un factor integrante para resolverla, al corroborar su linealidad.
Paso 2. FACTOR INTEGRANTE
| \begin{equation} e^{\int P ( x) d x} \end{equation} | (4) |
El Factor Integrante es el factor que permite que una ecuación Diferencial se pueda integrar mediante las fórmulas conocidas del cálculo integral o diferencial.
Su origen se puede entender si comparamos una de las formas estándar utilizadas para derivar funciones (La Regla del Producto) con la forma estándar de una Ecuación Diferencial Lineal y deducimos, a partir de sus similitudes, el factor faltante para que la Forma Estándar de la Ecuación Diferencial Lineal pueda ser igual a la definición de la derivada de un producto de funciones, conocida como La Regla del Producto.
A continuación desarrollamos dicha comparación:
| \begin{eqnarray} u d v + v d u & = & d ( u v)\\ y’ + P ( x) y & = & f ( x) \nonumber \end{eqnarray} | (5) |
Haciendo
| \begin{eqnarray*} v & = & y\\ d v & = & y’\\ d ( u v) & = & f ( x) \end{eqnarray*} |
Vemos que solo faltaría la $u$, por lo que si multiplicamos la $u$ en la Forma Estándar de la Ecuación Diferencial Lineal (1) y la despejamos, podemos obtener un factor que nos permita integrar la Forma Estándar de la ED
Ese factor al multiplicarlo por la forma estándar nos daría la forma fácilmente integrable de la Ecuación para la derivada de un producto de funciones (5), conocida como, Regla del Producto.
Es decir:
| $$ y’ + P ( x) y = f ( x)\\ \Rightarrow u y’ + u P ( x) y = u f ( x)$$ | (6) |
Donde comparando (6) con (5), tenemos que $ u’$ (= $du$) es igual a:
| $$d u = u P (x) d x$$ |
E integrando esta última ecuación tenemos:
$$u = e^{ \int P ( x) d x}$$
Ahora, si multiplicamos este resultado en la Forma Estándar de una Ecuación Diferencial:
$$y’ + P ( x) y = f ( x)$$
Tenemos:
| \begin{equation} e^{ \int P ( x) d x} y’ + e^{ \int P ( x) d x} P ( x) y = e^{ \int P ( x) d x} f ( x) \end{equation} | (7) |
La cual se convierte en la forma de la Regla del Producto, donde el primer miembro de (7) es igual a la derivada del producto de las funciones: $ e^{\int P(x) dx}$ y $ y$ y se puede escribir en la forma reducida que sugiere el segundo miembro de la ecuación (5), es decir:
| \begin{equation} d \left( e^{ \int P ( x) d x} y \right) = e^{ \int P ( x) d x} f ( x) \end{equation} |
Esto hace fácilmente integrable la ecuación diferencial, al menos en el primer miembro, pues desconocemos el valor de $p(x)$ y el de $ f(x)$.
Obviamente la solución de nuestra Ecuación Diferencial Lineal al integrar (7), será:
| \begin{equation} e^{ \int P ( x) d x} y = \int e^{ \int P ( x) d x} f ( x) d x + C \end{equation} | (8) |
De donde podemos ver que es fácilmente despejable $y$ (como lo haremos más adelante).
Con esto podemos ver el por qué de la utilización de este factor (factor integrante) e inclusive su relación con la solución $ y_p$, si despejamos $ y$ de la ecuación anterior (10).
Una explicación más detallada del origen del Factor Integrante, la puedes encontrar dando click aquí.
Metodo 4 pasos – Factor Integrante
FORMA DE LA SOLUCIÓN
La forma de la solución de una ecuación diferencial de primer orden:
$$y = y_c + y_p$$
Nos dice que podemos encontrar DOS soluciones que se complementan al sumarse matemáticamente para formar una solución general de la Ecuación Diferencial.
El porque de esta forma para la solución se puede entender si ejemplificamos una ED con un circuito eléctrico donde están conectados en serie 3 componentes, digamos un inductor, una resistencia y una fuente de alimentación de corriente eléctrica, la Ecuación Diferencial que representa dicha conexión es:
$$L \frac{d i}{d t} + i R = E ( t)$$
donde:
$ L$: es el inductor
$ R$: es la resistencia
$ E(t)$: es la fuente de alimentación de corriente
Si observas la corriente $ i$, es la variable dependiente, que es la que se desconoce.
Esta corriente será al calcularla muy diferente si la fuente de alimentación se desconecta, es decir si su valor es cero ($ 0$), o si la fuente de alimentación tiene un valor constante ($ k$) o si la fuente de alimentación varía con el tiempo ($ E(t)$).
Para el primer caso habrá que resolver la ecuación: $ L \frac{di}{d t} + i R = 0$
Para el segundo caso habría que resolver la ecuación $ L \frac{di}{d t} + i R = K$
Para el tercer caso habrá que resolver la ecuación: $ L \frac{di}{d t} + i R = E ( t)$
Metodo 4 pasos – Factor Integrante
Circuito Eléctrico y dos soluciones para $y$
Podría parecer ilógico que exista un valor para la corriente $ i(t)$ en un circuito si una fuente de alimentación, pero no lo es. Los inductores (y no se digan los capacitores) son elementos que almacenan
corriente y en un circuito como el del ejemplo las corrientes circulantes no solo dependen de la alimentación de corriente sino de lo almacenado en sus elementos.
Por esa razón cuando recién se cierra un interruptor de un circuito ocurre una variación de corriente antes de que se estabilice.
De acuerdo a esto es necesario para conocer la corriente total de un circuito eléctrico, calcular su corriente en el instante en que se cierra el interruptor y sumarla a la corriente que resulta después de que pase un tiempo y se estabilice la misma en el circuito, si este tiene una fuente de alimentación constante o variable.
Un ejemplo de el cálculo de un circuito conectado en serie tipo RL lo pueden ver en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a circuitos (da click aquí).
De esta forma, tal como en los circuitos eléctricos, los sistemas dinámicos o cualquiera sistema que se represente mediante una ED lineal tendrá como solución general a la suma de dos soluciones.
Una obtenida de la Ecuación Diferencial igualada a cero, o mejor conocida como solución del sistema homogéneo asociado:
| \begin{equation} \frac{d y}{d x} + P ( x) y = 0 \end{equation} | (9) |
que se escribe como: $ y_c$
Mas otra solución obtenida del la ecuación no homogénea (en este caso escrita igual que la forma estándar):
| \begin{equation} \frac{d y}{d x} + P ( x) y = f ( x) \end{equation} | (10) |
que se escribe como: $ y_p$.
Paso 3. SOLUCIÓN DEL SISTEMA HOMOGÉNEO ASOCIADO
$ y_c = C e^{- \int P ( x) d x}$
El origen específico de esta solución se obtiene al resolver el sistema homogéneo asociado de la ecuación (9).
Su solución es muy sencilla pues se trata de una Ecuación Diferencial separable. A continuación resolvemos la ecuación (9):
| \begin{eqnarray} \frac{d y}{d x} + P ( x) y & = & 0\\ \frac{d y}{d x} & = & – P ( x) y\\ \frac{d y}{y} & = & – P ( x) d x\\ \int \frac{d y}{y} & = & – \int P ( x) d x + k\\ l n ( y) & = & – \int P ( x) d x + k\\ e^{l n ( y)} & = & e^{- \int P ( x) d x + k}\\ y_c & = & e^{- \int P ( x) d x} e^k\\ y_c & = & C e^{- \int P ( x) d x} \end{eqnarray} |
Donde el subíndice $ c$ se lo colocamos a la $ y$ para saber que esa solución proviene del sistema homogéneo asociado.
Paso 4. SOLUCIÓN DEL SISTEMA NO HOMOGÉNEO
$y_p = \frac{1}{e^{\int P ( x) d x}{}} \int e^{\int P(x) dx}{} f(x) dx$
La solución particular del sistema no homogéneo: $ \frac{d y}{d x} + P(x) y = f(x)$, se obtiene precisamente siguiendo la lógica de igualar ésta forma de la Ecuación Diferencial a resolver con alguna forma de integración o derivación conocida que podamos fácilmente integrar posteriormente.
El desarrollo seguido en la justificación del por que utilizar un Factor Integrante, que hemos hecho más arriba, en realidad resuelve este sistema no homogéneo.
Es decir, si encontramos un factor que multiplicado por la ecuación $ \frac{d y}{d x} + P ( x) y = f ( x)$, nos dé la forma de la Regla del Producto, podremos integrar fácilmente la ecuación y encontrar el valor de la variable dependiente $y$ (o $ y_p$).
Por tanto, si seguimos los pasos hechos para la obtención de las ecuaciones (8),(9) y(10), utilizando el factor integrante $ \mu ( x) = e^{ \int P(x) dx}$, tenemos:
Sistema No Homogéneo:
$ \frac{dy}{dx} + P(x)y = f(x)$
Multiplicandolo por el factor integrante: $ \mu ( x) = e^{ \int P(x) dx}$.
| \begin{eqnarray} \mu ( x) y’ + \mu ( x) P ( x) y & = & \mu ( x) f ( x) \end{eqnarray} |
Esto implica que la ecuación tiene la forma de la derivada de un producto de funciones en su primer miembro, la cual se puede anotar como $ d ( \mu ( x) y)$ y solo restaría integrar ambos miembros, del siguiente modo:
| \begin{eqnarray} d ( \mu ( x) y) & = & \mu ( x) f ( x) dx &\\ \int d ( \mu ( x) y) & = & \int \mu ( x) f ( x) d x + C\\ \mu ( x) y & = & \int \mu ( x) f ( x) d x + C\\ y & = & \frac{1}{\mu ( x)} \left(\int \mu ( x) f ( x) d x + C\right) \end{eqnarray} |
Y sustituyendo este resultado con el Factor Integrante encontrado, tenemos:
| \begin{eqnarray} y & = & \frac{1}{e^{ \int P ( x) d x}}\left( \int e^{ \int P ( x) d x} f ( x)dx + C\right)\\ & = & \frac{1}{e^{ \int P ( x) d x}} \int e^{ \int P ( x) d x} f ( x) dx + Ce^{-\int P ( x) d x}\\ \end{eqnarray} |
Donde, el término: $Ce^{-\int P ( x) d x}$ corresponde a la solución general del sistema homogéneo asociado, y por tanto:
| \begin{eqnarray} y_p & = &\frac{1}{e^{ \int P ( x) d x}} \int e^{ \int P ( x) d x} f ( x) dx\\ \end{eqnarray} |
Es la fórmula utilizada para encontrar la solución particular $y_p$.
Te dejo un video donde explico la obtención de la fórmula para $y$ desde una perspectiva un poco diferente.
Acá te dejo el pizarrón del video, dale doble click y ampliala para ver los detalles:
Resumen: Metodo 4 pasos – Factor Integrante para Resolución de una Ecuación Diferencial Lineal de primer orden
1. Forma Standard: $ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
2. Factor Integrante: $ e^{\int P ( x) d x}$
Forma de solución: $ y={{y}{c}}+{{y}{p}}$
3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$
4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$
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Gracias por su atención, quedo a la espera de su respuesta.
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Tengo xdy-ydx=x cuadradaydy como lo hago prof
Mediante separación de variables Karina, revisa el artículo:
ED’s Separables
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tengo un problema de ecuacion diferencial homogenea de tercer grado como se resuelve r^3-r^2+3r-1=0 le agradeceria bastante
Con mucho gusto te ayudo Jerson. Esas las realizo con costo.
La solución es larga pero te la entrego paso a paso para que puedas realizar otras que tengas
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En un ejercicio de transformada de laplace, llega un punto donde queda como una ED lineal, donde al buscar el factor integrante, y una vez multiplicado e integrado, la constante c hay que hallarlo por desarrollo en serie.. me puede explicar porfavor como se realiza? el ejercicio es Y´´-tY´+Y=1 para Y(0)=1, Y´(0)=2, está en el libro de transformada de laplace de Spiegel de la serie schaum
Hola Jey
No he visto el ejercicio, pero, ya revisaste que:
1.- Al sustituir la segunda condición te pueda dar un valor numérico
2.- Si es un resultado exponencial, puedes aplicar un límite, asumiendo que tu solución es de orden exponencial?
3.- Si ninguna de esas, con mucho gusto te ayudo, mediante un ejercicio resuelto paso a paso.
Tengo la política de que las EDs de orden superior o temas avanzados como Laplace, Fourier, Sistemas, …
Las hago con un costo, si te parece, mándame un correo a ecuaciondiferencialavr@gmail.com y nos ponemos de acuerdo,
para resolver tu ejercicio o incluso todas las dudas y problemas que tengas. Te parece?
Un saludo
AVR
Muchas Gracias!
Juan Cerquera, muchisimas gracias a tí, por tu comentario.
Saludos
MUY BUENA EXPOSICION.
LENGUAJE MATAMATICO CLARO Y PRECISO.
¡FELICITACIONES!
Muchas gracias Carlos Dommar, que bueno que te hemos podido servir. Me gustaría pedirte un favor especial aprovecgando tu genileza, podrías dejarnos tu comentario tambien en facebook? Te lo agradeceremos encarecidamente te dejo el enlace a la página: Ecuación Diferencial Ejercicios y Aplicaciones, click aquí
Saludos y de nuevo gracias
(2xy+y^4)dx+(3x^2+6xy^3)dy =0
Hola francisca, necesitas ayuda?
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Saludos
Biiiiiien por este aporte. ya se me había olvidado como resolver las ecuaciones diferenciales, gracias por tu pagina ya tuve qué tomar nuevamente los libros que tuve cuando estudie la carrera de ingeniería civil. es muy practico este repaso. gracias
Gracias Julio por tu comentario, ya pronto estaré dando unas clases en vivo a traves de un software especial, si te gustaría acompañarnos dale like a la página de facebook del sitio (Ecuacion Diferencial Ejercicios y Aplicaciones, click aquí), para que estes al pendiente de nuestro aviso, lo lánzare la proxima semana. Tambien te pido un nos dejes un comentario en la misla página (aquí en enlace direncto a la parte de recomendaciones/opiniones) recomendando nuestro blog, puedes? De esa forma estará ayudandonos para que continuemos con nuestra labor. Saludos y gracias de nuevo.
Gracias me sirvio de mucho … Cómo podría resolver la derivada de u(x)’ = derivada del factor integrante q propiedades puedo usar
Mila, se utiliza, la integral de un logaritmo:
$\frac{du}{u}=P(x)dx$
$\int \frac{du}{u}= \int P(x)dx$
…
Saludos
Excelente este blog, es muy completo, muy buen explicado cada tema.
lastima que no puedas resolver ejercicios en linea, sin embargo les recomiendo al profe FEDE, para soluciones en linea, o de caracter uregente
info:
https://wa.link/qej9b1
Profe FEDE, apruebo tu comentario para difundir tu servicio, esperando que tengas exito. Tambi{en te comento que si resolvemos ejercicios en linea, para quienes quieran éste servicio con nosotros, envienos un mensaje direncto en nuestra página de fans, acá el enlace (nos llega en tiempo real el mansaje), saludos: https://www.facebook.com/EcuacionDiferencialAplicaciones
Buen dia. Genial la pagina. Chapeau!!
Muchas gracias Jorge pro tu comentario, desde donde nos escribes, podrías comentar.
Pronto estaremos compartiendo mas caontenido y de forma más contínua.
Saludos cordiales desde la península de Yucatán, México