Cómo resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden separable

Tenemos:

Dónde:

$y = 0$,  $t = 0$ como condiciones iniciales

Alguien dirá que por que $y = 0$ y no a la altura que la que está cayendo el objeto, en realidad simplemente estamos considerando el eje cartesiano poniendo su origen en la parte alta desde donde empieza a caer el objeto (o si lo prefieren pueden imaginarse un pozo)

Bien, regresando al problema de Galileo, nosotros podemos conjeturar muy fácilmente una ecuación que nos permita resolverlo ya que sabemos que la velocidad instantánea, en cálculo (y por ende en ecuaciones diferenciales), se representa como una derivada. La derivada de la altura, respecto del tiempo (en este caso).

CONCEPTO INTUITIVO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

La derivada en nuestro caso no es mas que una forma de representar: CUANTA DISTANCIA RECORRE UN OBJETO POR UNIDAD DE TIEMPO.

Este concepto es la idea medular de las Ecuaciones Diferenciales, pues si lo queremos ver de manera sencilla, cada Ecuación Diferencial representa un conjunto de derivadas que a su vez representan VARIACIONES EN EL TIEMPO O EL ESPACIO DE UNA FUNCIÓN.  Las variaciones en el tiempo generalmente estarán representadas por $\frac{dx}{dt}$ y las variaciones en el espacio serán generalmente representados como $\frac{dy}{dx}$.

Entonces, la idea medular es representar coeficientes de cambio de una FUNCIÓN DESCONOCIDA respecto de una o varias variables de las cuales depende su comportamiento. Esta es la idea que podemos tener para entender qué buscamos cada vez que resolvemos una Ecuación Diferencial. 😉

Bueno, regresando a nuestro cálculo simplificado de lo que a Galileo le costó mucho tiempo y empeño, la fórmula que en su momento desconocía galileo (pues newton quien inventó el calculo no había nacido), pero que nosotros si conocemos y la podemos utilizar para ahorrarnos varios siglos de prueba y error es la de velocidad instantánea:

$$ \large v=\frac{dy}{dt}$$     Eq. (2)    (Fórmula para la velocidad Instantánea)  

Ahora, desarrollemos este ejercicio con Ecuaciones Diferenciales con el fin de: ENCONTRAR UNA FUNCIÓN QUE REPRESENTE LA VELOCIDAD CON LA QUE CAEN LOS CUERPOS y que desacredite o confirme la conjetura de Galileo. Aqui viene lo bueno, jaja

Para esto lo que necesitamos hacer es igualar la Eq. (2) con la ecuación Eq. (1), ¿Por qué? pues simplemente porque sabemos cómo se representa la velocidad instantánea y queremos verificar la conjetura de Galileo:

$$ \frac{dy}{dt}=cy$$

Procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial de primer orden de variables separables con Valores Iniciales

Ahora, realicemos las operaciones (paso a paso), para determinar el valor de la función:

$ \frac{dy}{dt}=c~y,$               Por tanto:                $ dy=~c~ydt$

$ \frac{dy}{y}=c~~dt$,            (Pájaros de un mismo plumaje vuelan juntos. -Nemotecnia)

$ {\int }^{}\frac{dy}{y}=c{\int }^{}dt+k$

$ \ln y=c*t+k$,             y recordando:       $ ln~a=b~\Rightarrow a=~{{e}^{b}}$

Ahora para resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden de variables separables y conocer, no solo su solución general sino, su Solución Particular es necesario encontrar el valor de la variable de integración. En este caso es el valor de la variable $latex k$. Para eso sustituimos los valores iniciales que consideramos para el problema ($ y=0$, $ t=0$) en la solución general encontrada, es decir la ecuación (A).

Por tanto, las condiciones iniciales, son:

$ \large y~=~0,~~t~=~0$      Entonces:

Y sustituyendo en la solución general (A), tenemos:

$ 0={{\text{e}}^{c0+k}}~~~~~\Rightarrow ~~~~~~~0={{\text{e}}^{k}}$,,

Si $k>=0$, entonces  $e^{k}$ sería positivo, si $k<0$, entonces podríamos decir: $k = -k’$, donde $k’$ es positiva, tendríamos:

$ {{e}^{k}}=~{{e}^{-k’}}=~\frac{1}{{{e}^{k’}}}=~\frac{1}{positivo}=positivo$

Por tanto,  $ {{e}^{k}}$ es necesariamente positivo. En pocas palabras: “Si la Velocidad de caída libre es proporcional al desplazamiento”, entonces:

$ 0=n\acute{u}mero~positivo$

Lo cual es absurdo, como diría Euclides. Jaja. De modo que, concluimos que:

La Velocidad de caída libre no puede ser proporcional al desplazamiento.

Por tanto en este caso no podemos decir que la solución encontrada (1) es la solución a nuestro problema. Aquí tenemos un problema resuelto mediante Ecuaciones Diferenciales con condiciones iniciales. Esta es una de las ecuaciones diferenciales más básicas, pero con mucha importancia, inclusive histórica.

Aunque las teorías físicas insostenibles han sido y serán rechazadas o aceptadas  mediante la experimentación, ésta la hemos podido rechazar aquí, mediante la lógica: se ha probado su inconsistencia. :-O

SEGUNDA CONJETURA

Lo segundo que conjeturó Galileo, es que la velocidad en un instante dado, era proporcional al tiempo que tardó el objeto en llegar a ese instante. Es decir:

$ \Large v=\mathbf{g}~t$       Eq. (3)   (2da. Conjetura de Galileo)

Donde:

g = cte.

t = tiempo

g = es independiente del tiempo

Volvemos aplicar el procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial de primer orden de variables separables con Valores Iniciales

Ahora, resolvamos ésta también con ecuaciones diferenciales separando las variables. Si sustituimos la Eq. (3) con la ecuación Eq. (2), tenemos:

$ \frac{dy}{dt}=\mathbf{g}~t$

$ dy=\mathbf{g}~~t~dt$,                  (Ya sabemos, “Pájaros de un mismo plumaje vuelan juntos”)

$ {\int }^{}dy=\mathbf{g}{\int }^{}tdt+k$

Por lo que la Solución General de nuestro problema es:

Ahora, para resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden separable y encontrar su Solución Particular sustituimos los valores de las condiciones iniciales en la Solución General (B):

$ \large y~=~0,~~t~=~0$ 

$ 0=~\frac{1}{2}\mathbf{g}~{{(0)}^{2}}+k$

Lo que implica:

$ \large k = 0$                    y:

Por tanto, la SOLUCIÓN PARTICULAR de nuestra ecuación diferencial, es:

La Eq. (4) es una de las proposiciones más usadas de la física. Con esto comprobamos la veracidad de la conjetura de Galileo en un cierto nivel, es decir:

La velocidad en un instante dado de un cuerpo en caída libre es proporcional al tiempo que tarda el en llegar a ese instante.

De hecho Galileo planteo la hipótesis de que:

Y logró probar su hipótesis utilizando planos inclinados.

De esta forma ya sabemos como resolver una Ecuacion Diferencial de primer orden de variables separables y condiciones iniciales notando el gran poder de manejo de nuestro entorno que nos proporciona las Ecuaciones Diferenciales al haber echándole un ojo a la perspectiva histórica del modelado y simulación de la velocidad de la caída de los cuerpos.

Este artículo fue basado en el Libro: “MATHEMATICAL METHODS IN SCIECE” de G.PÓLYA. Cap. 5. El cual termina con la siguiente reflexión del Dr. POLYA:

“Efectuando soluciones sin tener que pensar en realidad qué estamos haciendo, ganamos mucho –y perdemos mucho”.

Refiriéndose a la utilidad de las Ecuaciones diferenciales y las matemáticas en general, para simplificarnos las comprobaciones de un fenómenos físicos y también a la desventaja que podría tener para el estudiante que no reflexione sobre lo que está haciendo.

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Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones e IA

Te invito a plantear y resolver Ecuacion Diferencial de primer orden de variables separables y condiciones iniciales siguiendo la lógica aquí descrita.

Quiero ejemplos de ecuaciones lineales de primer orden (sigue este link)

Quiero ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden y lineales (sigue el link)