Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos: circuito eléctrico conectado en serie del tipo LR
En este artículo aprenderás a aplicar las ecuaciones diferenciales a un circuito eléctrico conectado en serie del tipo LR, y comprenderás con precisión como realizar el análisis de un circuito eléctrico de éste tipo utilizando una metodología de 3 pasos.
Metodología
Utilizaremos la siguiente Metodología.
- Modelado del Circuito Eléctrico con Ecuaciones Diferenciales
- Solución de la Ecuación Diferencial resultante
- Graficación de la corriente encontrada.
Para el Modelado del Circuito Eléctrico, repasaremos las leyes de Kirchoff vistas en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales solo que ahora el circuito a estudiar es del tipo LR.
Para la Solución de la Ecuación Diferencial aplicaremos la regla de los 4 pasos para la solución de las ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden que aquí hemos utilizado.
Utilizaremos MATHEMATICA para la graficación de resultados.
Finalmente, compararemos los modelos resultantes para la simulación de circuitos del tipo LR con los modelos obtenidos para los circuitos del tipo RLC para poder entender su relación común, ya que parten del mismo criterio. Ver artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales.
Para esto resolveremos un ejercicio.
Ecuaciones Diferenciales Ejercicios resueltos: Capitulo 3.1 Libro Dennis G. Zill Ed 7ma,(Problema 29).
PROBLEMA
Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente $ i(t)$, si $ i(0) = 0$. Determine la corriente conforme $ t\rightarrow 0$.
El circuito esta descrito en la Figura 1.
Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Circuitos Eléctricos: Modelado del Circuito Eléctrico con Ecuaciones Diferenciales
Primeramente obtengamos los modelos para el circuito representado en la Figura 1.
Dicho modelo matemático proviene de las leyes de Kirchoff:
- La suma de las corrientes hacia (o desde) cualquier punto es cero. LEY DE NODOS
- Alrededor de cualquier trayectoria cerrada la suma de las caídas de voltaje instantáneas en una dirección específica, es cero. LEY DE MALLAS
En este caso, como queremos encontrar un valor (la corriente $ i(t)$), en un circuito cerrado o malla utilizaremos para modelar el circuito la LEY DE MALLAS.
Para esto recordamos como representamos matemáticamente, en circuitos eléctricos, a los Inductores y las Resistencias, así como las definiciones de caídas de voltaje para cada elemento:
| Elementos del Circuito | Caídas de Voltaje | Caídas de voltaje |
| en función de $ i(t)$ | en función de $ q(t)$ | |
| Inductor | $ L\frac{di}{dt}$ | $ = L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}$ |
| Resistor | $ i R$ | $ = R\frac{dq}{dt}$ |
| Capacitor | $ \frac{1}{C}q$ |
Entonces, aplicando la ley de mallas de kirchoff al circuito de la Figura 1, para las caídas de voltaje en función de la corriente $ i(t)$, tenemos:
| \begin{equation} L \frac{d i}{d t} + i R = E ( t) \end{equation} | (1) |
Donde $ L$, $ R$ son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente $ i(t)$ se llama también respuesta del sistema.
En realidad esta ecuación (1), no es más que la ecuación (2) del artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales sin la caída de voltaje que genera el capacitor; dicha ecuación es:
| \begin{equation} L \frac{d i}{d t} + R i + \frac{1}{C} q = E(t) \end{equation} | (2) |
Menciono ésto porque es importante tomar en cuenta que una vez modelado un circuito en serie del tipo RLC, las versiones de circuitos en serie del tipo LR y RC, son simplemente contracciones de la ecuación (2).
Consideraciones adicionales
Es importante hacer notar que en la ecuación (2) aparecen 2 variables dependientes $ i$ y $ q$ por lo que para poder resolverla con los métodos para ecuaciones lineales ordinarias es necesario adecuarla a la forma de una ecuación diferencial lineal ordinaria, la cual contiene una sola variable dependiente, lo cual se hace evidente al ver la ecuación en su forma estándar:
$ \Large a_2 ( x) \frac{d^2 y}{d x^2} + a_1 ( x) \frac{d y}{d x} + a_0 ( x) y = g (x)$
La forma estándar anterior representa una ecuación diferencial de 2º orden, donde su única variable dependiente es $ y$ y su variable independiente es $ x$.
Utilizo la forma estándar de una ecuación diferencial linea ordinaria de 2º orden por que al adecuar la ecuación (2) a una ecuación diferencial lineal ordinaria da como resultado una ecuación de lineal ordinaria de 2º orden, ya que la relación que se necesita para sustituir una de las variables independientes eleva el orden de la ecuación (2), al ser una diferencial. Es decir, la ecuación que relaciona a las variables dependientes $ i(t)$ y $ q(t)$ en la ecuación (2) para convertirse en una ED de 2o Orden, es una ecuación diferencial.
Dicha ecuación diferencial que relaciona a las variables dependientes $ i(t)$ y $ q(t)$, en su forma de derivada es:
$ \Large i = \frac{d q}{d t}$
Solución de la Ecuación Diferencial resultante
Para nuestro caso la ecuación diferencial a resolver, según la ecuación (1) y sustituyendo los valores del problema planteado, es:
| \begin{equation} 0.1 \frac{d i}{d t} + 50 i = 30 \end{equation} | (3) |
Resolviendo la ecuación (3) por el método de los 4 pasos:
I. Forma estándar:
| \begin{eqnarray*} \frac{d y}{d x} + P ( x) y = g ( x) & \Rightarrow & \frac{d i}{d t} + 500 i = 300 \end{eqnarray*} |
II. Factor Integrante:
| \begin{eqnarray*} e^{\int P ( x) d x} & = & e^{\int 500 d t}\\ & = & e^{500 t} \end{eqnarray*} |
III. Forma de la solución:
| \begin{eqnarray*} y = y_c + y_p & \Rightarrow & i ( t) = {itr} ( t) + {ips} ( t) \end{eqnarray*} |
| \begin{eqnarray*} y_c = C e^{- \int P ( x) d x} & \Rightarrow & {itr}_{} ( t) = C e^{- \int 500 d t}\\ & \Rightarrow & {itr} ( t) = C e^{- 500 t} \end{eqnarray*} |
| \begin{eqnarray*} y_p = \frac{1}{e^{\int P ( x) d x}} \int e^{\int P ( x) d x} f ( t) d x & \Rightarrow & {ips} ( t) = \frac{1}{e^{500 t}} \int e^{500 t} \ast 300 d t\\ & \Rightarrow & {ips} ( t) = \frac{300}{e^{500 t}} \int e^{500 t} d t\\ & \Rightarrow & {ips} ( t) = \frac{300}{500 \ast e^{500 t}} \int e^{500 t} \ast 500 d t\\ & \Rightarrow & {ips} ( t) = \frac{3}{5} \ast e^{- 500 t} [ e^{500 t}]\\ & \Rightarrow & {ips} ( t) = \frac{3}{5}\end{eqnarray*} |
Por tanto la corriente (total en el circuito), buscada es:
| \begin{eqnarray} i ( t) & = & {itr} ( t) + {ips} ( t) \nonumber\\ & = & C e^{- 500 t} + \frac{3}{5} \end{eqnarray} | (4) |
Para encontrar el valor de $ C$ utilizamos los valores iniciales $ i(0) = 0$, es decir cuando el tiempo $ t$ es $ 0$ la corriente $ i$ en el circuito es $ 0$ también.
Por tanto, sustituyendo estos valores en la ecuación para la corriente resultante del circuito (4), tenemos:
| \begin{eqnarray*} i ( t) & = & C e^{- 500 t} + \frac{3}{5}\\ 0 & = & C e^{- 500 ( 0)} + \frac{3}{5}\\ 0 & = & C ( 1) + \frac{3}{5}\\ 0 & = & C + \frac{3}{5} \end{eqnarray*} |
Esto implica que:
$ \Large C = – \frac{3}{5}$
De donde la Corriente Buscada es:
| \begin{equation} i ( t) = – \frac{3}{5} e^{- 500 t} + \frac{3}{5} \end{equation} | (5) |
Es evidente, observando la ecuación (5), que cuando $ t \rightarrow \infty$, $ i(t) = \frac{3}{5}$, este resultado se hace más evidente cuando graficamos la corriente $ i(t)$, resultante como en la Figura 2. De aquí que se le llame transitorio al término: $ – \frac{3}{5} e^{- 500 t}$
Graficación de la corriente encontrada
Simulación con MATHEMATICA
El código en MATHEMATICA para graficar la corriente resultante es:
Clear["Global`*"]
ip[t_]=-3/5*Exp[-500 t]+3/5;
Plot[ip[t],{t,-0,Pi/200},PlotRange ->{-0.9,0.9}]El código de MATHEMATICA para simular y resolver el modelo matemático de la ecuación (1), lo puedes ver aquí (da click aquí)
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Hola amigo alejandro que gran blog eh , y gracias por ese mensaje a la derecha , TODO ES POSIBLE, con voluntad desde Ecuador
Gracias a ti Byron por tu comentario, es mi firme intensión el poder servirte a ti y a todos los interesados en esta materia. Y te reitero mi mensaje TODO es POSIBLE si tu lo crees y pones manos a la obra; no te permitas dudar. Un saludo cordial
Hola,
gracias por compartir con nosotros este valioso material para nosotros los docentes. Por mi parte, creo que en la actualidad es necesario el uso de la modelación dentro de la comprensión de conceptos. En mis clases he integrado el uso de softwares libres como los son wxMaxima (http://andrejv.github.io/wxmaxima/) y GeoGebra (http://www.geogebra.org/cms/es/) Me ha resultado útil, y lo comento para que los usuarios aquí lo tomen en cuenta. Saludos desde México
Néstor, te agradezco muchísimo tu comentario pues me motiva a pensar mas en los docentes, porque a decir verdad he pensado un poco más en los alumnos. Me parece crucial la integración de las computadoras y su capacidad, sobre todo en este tipo de materias y coincido contigo en que los softwares de libre distribución pueden ser la respuesta para la comprensión de conceptos e inclusive para vincular estas materias con los problemas del mundo real. En este blog he descrito la forma general para resolver ecuaciones diferenciales mediante el software libre SAGE, aquí te dejo unos ejemplos: Simulación, Graficación y Aplicación de Ecuaciones Diferenciales
Saludos
amigo gracias me fue de gran ayuda tu blog :=)
Gracias por tu comentario Jessenia. Que estes muy bien. Saludos
Muy buen aporte me ayudo mucho y fue fácil de entender, busque en muchos libros este tema pero aquí lo entendí muy bien.
Gracias a ti, por tu comentario Eliss G. Saludos =)
hola te escribo desde Chile para agradecerte ya que tu blog nos ha guiado mucho en el ramo de control no lineal y poder preparar un informe con los ejemplos que tu explicas, saludos desde chile Inacap, Rancagua.
Que tal Roberto.
Te agradezco muchísmo tu comentario.
Me es muy satisfactorio el que te haya servido de ayuda.
Si tienes alguna sugerencia para mejorar es bienvenida y de antemano agradecida.
Saludos
amigo manuel de gran aporte su blog, quisiera alguna otra aplicacion, gracias
Sergio, ¿como estas? espero que muy bien
De momento te dejo el siguiente enlace a aplicaciones de ED’s No lineales:
ED’s no lineales, click aquí
Estaré poniendo mas aplicaciones en lo sucesivo. Un saludo
Manuel, algún correo para contactarme contigo….saludos
Claro sergio:
escribeme a:
ecuaciondiferencialavr@gmail.com
Espero tu correo.
Un saludo.
enviado.
un abrazo.
quisiera saber en que unidades esta la corriente
Hola Camila,
En ESTE BLOG, puedes encontrarlo en la siguiente página: Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales
Los temas que incluyen circuitos electricos los encuentras en las unidades que tratan las ED’s de 2o orden (o superior). Para el libro de Dennis G. Zill, «Ecuaciones Diferenciales, con problemas con valores en la frontera» 7a edición, puedes encontrar dicho tema en el capitulo 5, en la sección 5.1.4.
Saludos
Jajaja, Camila, una disculpa, creo que me doy cuenta ahora de tu pregunta.
Las unidades son amperes, basta que tengas en mente que la definición de Ampere está implicita dentro de la ED aca resuelta mediante la ED: $$i=\frac{dq}{dt}$$
Definición de ampere: $$1A=1\frac{C}{s}$$ fuente: wikipedia Aperio
Saludos y una disculpa
Estimado Manuel
Muchas gracias por tus publicaciones, después de buscar bastante, es lo mejor que he visto, me has sido de gran ayuda.
Atte.
JJF
Muchisimas gracias por tu comentario Jorge. Me da mucho gusto haber podido servirte. Te agradecería un me gusta a la fanpage en facebook y tu recomendacion a otros usuarios. Un saludo cordial
muy bueno, solo con respeto creo que en II factor integrante hay un error de signo, mas adelante se corrige, pero ahi esta + y es -..gracias
Que tal ricardo
En realidad esta bien el F.I. sin el signo, porque éste solo se incluye cuando se desarrolla la solución general del Sistema Homogéneo Asociado.
Un desgloce paso a paso de por qué ocurre esto lo puedes ver en éste artículo: CÓMO RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES CON EL MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE. MÉTODO DE 4 PASOS, click aquí
El desarrollo paso a paso de la solución general del Sistema Homogéneo Asociado, está en el apartado:
«Paso 3. SOLUCIÓN DEL SISTEMA HOMOGÉNEO ASOCIADO»
Saludos
el codigo para la graficacon es matlab o es otro software? , un saludo desde mexico y excelente blog 🙂
Juan, utilicé MATHEMATICA
Si quieres te puedo ayudar con los códigos de MATLAB, con costo, comunicate conmigo mediante la página de fans de facebook, para conversar en tiempo real, ¿te parece?
Facebook : Ecuaciones Difeenciales Ejercicios y Aplicaciones, click aquí
Te agradezco mucho tu comentario Juan, y si necesitas apoyo no dudes en hablarme.
Un saludo