ecuacion de bernoulli

Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

6 de noviembre de 2014 · Actualizado: 14 de agosto de 2024

Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

Leyendo todo el siguiente artículo aprenderás a resolver en 4 pasos cualquiera de la ecuaciones diferenciales de Bernoulli con las que te enfrentes.

Para aprender ecuaciones diferenciales o cualquier materia, es importante que te formes estructuras mentales mediante pasos definidos que te permitan mediante la repetición y/o otras técnicas de estudio llegar a dominar los temas a prendidos.

Según el experto en aprendizaje acelerado Scott Young, en su curso Holistic Learning, la memoria a largo plazo se puede fácilmente activar mediante la utilización de metáforas, al relacionar por ejemplo fórmulas con imágenes exageradas del mundo real que nos sean fácil de recordar por su contenido chusco o exagerado. Un ejemplo sacado del curso: Learning how to learn de la Dra. Barbara Oakley, es el realcionar la popular fórmula de $ F= m * a$, con la siguiente imagen:

Figura 1. Flying Mule A... En ingles la relación usada es: f=flying (volando); m=mule (mula); a=...(se deja a la imaginación)

Donde se relacionan las letras de la fórmula con la imagen para recordarla, por ejemplo el anglisismo: Flying Mule Adept (en ingles) contine las letras F, M y A, que conforman la fórmula: $f=m*a$

En nuestro trabajo, uno de los objetivos es estructurar la información en pasos (de hecho utilizamos 4 pasos) para que la creación de estructurás mentales, mediante cualquier técnica de estudio (como las de crear metáforas) sea más asequible. En la siguiente metodología se incluyen fórmulas en los pasos que puedes recordar mediante la utilización de metáforas. Te lo dejo a tu imaginación, diviértete creándolas.

Metodología de 4 pasos para resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli

I. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente:

$\large \frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$

II. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal mediante la sustitución:

$u=y^{1-n}$ y despejamos $y$ para encontrar mediante la regla de la cadena $\frac{d y}{d x}$, es decir, si:

$y ( u ( x ) )$, entonces: $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \ast \frac{du}{d x}$. (OJO: el despeje de $y$ se obtiene mediante elevar a $u$ y $y$ a una potencia cuyo valor esta dado por el recíproco del exponente actual, es decir, si: $u=y^{1-n}$ $\Rightarrow$ $y=u^{\frac{1}{1-n}}$).

III. Sustituímos los valores obtenidos para $\frac{d y}{d x}$ e $y$ en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal:

\[\large \frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x )\]

IV. Resolvemos la ED que ahora es lineal, mediante los cuatro pasos usuales para resolver ED lineales, ver el siguiente link: Método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli en 4 pasos

Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 15

Resolver la siguiente ecuación diferencial

\begin{equation*} \Large x \frac{d y}{d x} +y= \frac{1}{y^{2}} \end{equation*} (1)

Solución

Paso 1. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente: $\frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$

Por tanto:

\begin{eqnarray*} x \frac{d y}{d x} +y & = & \frac{1}{y^{2}} \\ \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} & = & \frac{1}{x y^{2}} \\ \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} & = & x^{-1} y^{-2} \end{eqnarray*}

Por tanto la ED es de Bernoulli.

Paso 2. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal (Ver la definición completa del paso en la sección de metodología, mas arriba).

Tenemos, si:

$u=y^{1-n}$ y $n=-2$, entonces: $u=y^{1- ( -2 )} =y^{1+2} =y^{3}$

Por tanto:

\begin{eqnarray*} y & = & \sqrt[3]{u} \\ y & = & u^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}

Y además, por la regla de la cadena, $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \ast \frac{d u}{d x}$, tenemos:

\begin{eqnarray*} \frac{d y}{d x} & = & \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} -1} \frac{d u}{d x} \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{1}{3} u^{\frac{-2}{3}} \frac{d u}{d x} \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{1}{3u^{\frac{2}{3}}} \ast^{} \frac{d u}{d x} \end{eqnarray*}

Paso 3. Sustituímos los valores obtenidos para $\frac{dy}{d x}$ e $y$ en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal: $\frac{d y}{d x} +P (x ) y=f ( x )$

Tenemos:

\begin{eqnarray*} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} & = & x^{-1^{}} y^{-2} \\ \Rightarrow \frac{1}{3u^{\frac{2}{3}}} \ast \frac{d u}{d x} + \\ \frac{u^{\frac{1}{3}}}{x} & = & x^{-1} \left( u^{\frac{1}{3}} \right)^{-2} \\ \Rightarrow \frac{1}{3u^{\frac{2}{3}}} \ast \frac{d u}{d x} + \\ \frac{u^{\frac{1}{3}}}{x} & = & x^{-1} u^{\frac{-2}{3}} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x} + \frac{3 \left( u^{\frac{2}{3}} \ast u^{\frac{1}{3}} \right)}{x} & = & \frac{3 \left( u^{\frac{2}{3}} \ast u^{\frac{-2}{3}} \right)}{x} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x} + \frac{3 \left( u^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \right)}{x} & = & \frac{3 \left( u^{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} \right)}{x} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x} + \frac{3u}{x} & = & \frac{3}{x} \end{eqnarray*}

Paso 4. Resolvemos la ED que ahora es lineal, mediante los cuatro pasos usuales para resolver ED lineales, ver el siguiente link: Método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.

Paso 1. ED lineales:

\begin{eqnarray*} \frac{d u}{d x} + \frac{3}{x} u & = & 3x^{-1} \end{eqnarray*}

Paso 2. ED lineales:

\begin{eqnarray*} e^{ \int P ( x ) d x} & = & e^{\int \frac{3d x}{x}} \\ & = & e^{3 \int \frac{d x}{x}} \\ & = & e^{3 \ln | x |} \\ & = & e^{ \ln | x^{ 3} |^{}} \end{eqnarray*}

Paso 3. ED lineales:

\begin{eqnarray*} y_{c} & = & C_{1} e^{- \int P ( x ) {dx}} \\ u_{c} & = & C_{1} e^{- \int \frac{3d x}{x}} \\ & = & C_{1} e^{-3 \int \frac{d x}{x}} \\ & = & C_{1} e^{-3 \ln | x |} \\ & = & C_{1} e^{ \ln | x^{-3} |} \\ & = & C_{1} e^{ \ln \left| \frac{1}{x^{3}} \right|} \\ & = & C_{1} \left( \frac{1}{x^{3}} \right) \\ & = & \frac{C_{1}}{x^{3}} \end{eqnarray*}

Paso 4. ED lineales:

\begin{eqnarray*} y_{p} & = & \frac{1}{e^{\int P ( x ) d x}} \int e^{\int P ( x ) {dx}} \\ f ( x ) d x \\ u_{p} & = & \frac{1}{x^{3}} \int x^{3} \left( \frac{3}{x} \right) d x \\ & = & \frac{1}{x^{3}} \int 3x^{2} d x \\ & = & \frac{3}{x^{3}} \int x^{2} d x \\ & = & \frac{3}{x^{3}} \left[ \frac{x^{2+1}}{2+1} \right] \\ & = & \frac{3}{x^{3}} \left[ \frac{x^{3}}{3} \right] \\ & = & 1 \end{eqnarray*}

Por tanto, el resultado buscado es:

\begin{eqnarray*} u & = & u_{c} +u_{p} \\ u & = & \frac{C_{1}}{x^{3}} +1 \end{eqnarray*}

Y regresando a las variables originales, si: $u=y^{3}$, entonces:

\begin{eqnarray*} u & = & \frac{C_{1}}{x^{3}} +1 \\ y^{3} & = & \frac{C_{1}}{x^{3}} +1 \end{eqnarray*}

Es decir, el resultado final o la solución buscada, es:

$\large y^{3} =C_{1} x^{-3} +1$

Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 16

Resuelve la siguiente ecuación diferencial

\begin{equation*} \Large \frac{d y}{d x} -y=e^{x} y^{2} \end{equation*} (2)

Solución

Paso 1. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente: $\frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$

Por tanto:

$\frac{dy}{dx} -y=e^{x} y^{2}$

Por tanto la ED es de Bernoulli.

Paso 2. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal (Ver la definición completa del paso en la sección de metodología, mas arriba).

Tenemos, si:

$u=y^{1-n}$ y $n=2$, entonces: $u=y^{1- (2 )} =y^{1-2} =y^{-1}=\frac{1}{y}$

Por tanto:

\begin{eqnarray*} \frac{1}{y} & = & u \\ y & = & \frac{1}{u} \\ & = & u^{ -1} \end{eqnarray*}

Y además, por la regla de la cadena, $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \ast \frac{d u}{d x}$, tenemos:

\begin{eqnarray*} \frac{d y}{d x} & = & -u^{ -1-1} \ast \frac{d u}{d x} \\ & = & -u^{ -2} \ast \frac{d u}{d x} \\ & = & \frac{-1}{u^{ 2}} \ast \frac{d u}{d x} \end{eqnarray*}

Tenemos:

\begin{eqnarray*} \frac{d y}{d x} -y & = & e^{x} y^{2} \\ \Rightarrow - \frac{1}{u^{2}} \ast \frac{d u}{d x} - \frac{1}{u} & = & \\ e^{x} \left( \frac{1}{u} \right)^{2} \\ \Rightarrow - \frac{1}{u^{2}} \ast \frac{d u}{d x} - \frac{1}{u} & = & \\ e^{x} \left( \frac{1}{u^{2}} \right) \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x} + \frac{u^{2}}{u} & = & e^{x} \left( \frac{-u^{2}}{u^{2}} \right) \\ \Rightarrow \frac{d u}{d x} +u & = & -e^{x} \end{eqnarray*}

Paso 1. ED lineales:

$\frac{d u}{d x} +u=-e^{x}$

Paso 2. ED lineales:

\begin{eqnarray*} e^{\int P ( x ) d x} & = & e^{\int d x} \\ & = & e^{x} \end{eqnarray*}

Paso 3. ED lineales:

\begin{eqnarray*} y_{c} & = & C_{1} e^{- \int P ( x ) d x} \\ u_{c} & = & C_{1} e^{- \int d x} \\ & = & C_{1} e^{-x} \\ & = & \frac{C_{1}}{e^{x}} \end{eqnarray*}

Paso 4. ED lineales:

\begin{eqnarray*} y_{p} & = & \frac{1}{e^{\int P ( x ) d x}} \int e^{\int P ( x ) d x} f ( x \\ ) d x \\ u_{p} & = & \frac{1}{e^{x}} \int e^{x} ( -e^{x} ) d x \\ & = & - \frac{1}{e^{x}} \int e^{2x} d x \\ & = & - \frac{1}{2e^{x}} \int e^{2x} ( 2 ) d x \\ & = & - \frac{1}{2e^{x}} [ e^{2x} ] \\ & = & - \frac{1}{2} e^{x} \end{eqnarray*}

Por tanto, el resultado buscado es:

\begin{eqnarray*} u & = & u_{c} +u_{p} \\ u & = & \frac{C_{1}}{e^{x}} - \frac{1}{2} e^{x} \end{eqnarray*}

Y regresando a las variables originales, si: $u= \frac{1}{y}$, entonces:

\begin{eqnarray*} \frac{1}{y} & = & \frac{C_{1}}{e^{x}} - \frac{1}{2} e^{x} \\ \frac{1}{y} & = & \frac{2C_{1} -e^{2x}}{2e^{x}} \\ \Rightarrow \frac{1}{2C_{1} -e^{2x}} & = & \frac{y}{2e^{x}} \\ \Rightarrow \frac{2e^{x}}{2C_{1} -e^{2x}} & = & y \end{eqnarray*}

Es decir, el resultado final o la solución buscada, es:

$\large y= \frac{2e^{x}}{2C_{1} -e^{2x}}$

Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 17

Resuelve la siguiente ecuación diferencial

\begin{equation*} \Large \frac{d y}{d x} =y ( x y^{3} -1 ) \end{equation*} (3)

Solución

Paso 1. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente: $\frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$

Por tanto:

\begin{eqnarray*} \frac{d y}{d x} & = & y ( x y^{3} -1 ) \\ \frac{d y}{d x} & = & x y^{4} -y \\ \frac{d y}{d x} +y & = & x y^{4} \end{eqnarray*}

Por tanto la ED es de Bernoulli.

Paso 2. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal (Ver la definición completa del paso en la sección de metodología, mas arriba).

Tenemos, si:

$u=y^{1-n}$ y $n=4$, entonces: $u=y^{1- ( 4 )} =y^{1-4} =y^{-3}=\frac{1}{y^{3}}$

Por tanto:

\begin{eqnarray*} \frac{1}{y^{3}} & = & u \\ \Rightarrow \frac{1}{u} & = & y^{3} \\ \Rightarrow y^{3} & = & \frac{1}{u} \\ \Rightarrow y & = & \left( \frac{1}{u} \right)^{ \frac{1}{3}} \\ \Rightarrow y & = & \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} \\ \Rightarrow y & = & u^{- \frac{1}{3}} \end{eqnarray*}

Y además, por la regla de la cadena, $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \ast \frac{d u}{d x}$, tenemos:

\begin{eqnarray*} \frac{d y}{d x} & = & - \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} -1} \ast \frac{d u}{d \\ x} \\ & = & - \frac{1}{3} u^{- \frac{4}{3}} \ast \frac{d u}{d x} \\ & = & - \frac{1}{3u^{\frac{4}{3}}} \ast \frac{d u}{d x} \end{eqnarray*}

Tenemos:

\begin{eqnarray*} \frac{d y}{d x} +y & = & x y^{4} \\ - \frac{1}{3u^{ \frac{4}{3}}} \ast \frac{d u}{d x} + \\ \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} & = & x \left( \frac{1}{u^{\frac{1}{3} }} \right)^{4} \\ \frac{d u}{d x} - \frac{3u^{\frac{4}{3}}}{u^{\frac{1}{3}}} & = & x \left( \frac{-3u^{\frac{4}{3}}}{u^{\frac{4}{3}}} \right) \\ \frac{d u}{d x} -3u^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} & = & x \left( -3u^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}} \right) \\ \frac{d u}{d x} -3u & = & -3x \end{eqnarray*}

Paso 1. ED lineales:

$\frac{d u}{d x} -3u=-3x$

Paso 2. ED lineales:

\begin{eqnarray*} e^{\int P ( x ) d x} & = & e^{\int -3d x} \\ & = & e^{-3 \int d x} \\ & = & e^{-3x} \end{eqnarray*}

Paso 3. ED lineales:

\begin{eqnarray*} y_{c} & = & C_{1} e^{\int P ( x ) d x} \\ u_{c} & = & C_{1} e^{- \int -3d x} \\ & = & C_{1} e^{3 \int d x} \\ & = & C_{1} e^{3x} \end{eqnarray*}

Paso 4. ED lineales:

\begin{eqnarray*} u_{p} & = & \frac{1}{e^{-3x}} \int e^{-3x} ( -3x ) d x \\ & = & \frac{1}{e^{-3x}} \int -3x e^{-3x} d x \\ & = & \frac{1}{e^{-3x}} \int x e^{-3x} ( -3 ) d x \end{eqnarray*}

Utilizando integración por partes:

$u=x$ $dv=e^{-3x} ( -3 ) d x$

$du=d x$ $v=e^{-3x}$

Por tanto tenemos:

\begin{eqnarray*} u_{p} & = & \frac{1}{e^{-3x}} \int x e^{-3x} ( -3 ) d x \\ & = & \frac{1}{e^{-3x}} \left[ x e^{-3x} - \int e^{-3x} d x \right] \\ & = & \frac{1}{e^{-3x}} \left[ x e^{-3x} + \frac{1}{3} \int e^{-3x} ( -3 ) d x \right] \\ & = & \frac{1}{e^{-3x}} \left[ x e^{-3x} + \frac{1}{3} e^{-3x} \right] \\ & = & \frac{e^{-3x}}{e^{-3x}} \left[ x+ \frac{1}{3} \right] \\ & = & x+ \frac{1}{3} \end{eqnarray*}

Por tanto, el resultado buscado es:

\begin{eqnarray*} u & = & u_{c} +u_{p} \\ & = & C_{1} e^{3x} +x+ \frac{1}{3} \end{eqnarray*}

Y regresando a las variables originales, si: $u= \frac{1}{y^{3}}$, entonces:

\begin{eqnarray*} u & = & C_{1} e^{3x} +x+ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{y^{3}} & = & C_{1} e^{3x} +x+ \frac{1}{3} \\ \frac{3}{y^{3}} & = & 3C_{1} e^{3x} +3x+1 \\ \frac{3}{3C_{1} e^{3x} +3x+1} & = & y^{3} \end{eqnarray*}

Es decir, el resultado final o la solución buscada, es:

$\large y^{3} = \frac{3}{3C_{1} e^{3x} +3x+1}$

Un gráfica de la familia de soluciones de la Ecuación Diferencial (3), se muestra a continuación:

Figura 2. Algunas curvas solución de la familia de soluciones para la Ecuación Diferencial de Bernoulli (3)

Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 18

Resuelve la siguiente ecuación diferencial

\begin{equation*} \Large x \frac{d y}{d x} - ( 1+x ) y=x y^{2} \end{equation*} (4)

Solución

Paso 1. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente: $\frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$

Por tanto:

\begin{eqnarray*} x \frac{d y}{d x} - ( 1+x ) y & = & x y^{2} \\ \frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} - \frac{x y}{x} & = & \frac{x}{x} y^{2} \\ \frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} -y & = & y^{2} \\ \frac{d y}{d x} - \left( \frac{1}{x} +1 \right) y & = & y^{2} \end{eqnarray*}

Por tanto la ED es de Bernoulli.

Paso 2. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal (Ver la definición completa del paso en la sección de metodología, mas arriba).

Tenemos, si:

$u=y^{1-n}$ y $n=2$, entonces: $u=y^{1- (2 )} =y^{1-2} =y^{-1}=\frac{1}{y}$

Por tanto:

\begin{eqnarray*} \frac{1}{y} & = & u \\ \frac{1}{u} & = & y \\ \Rightarrow y & = & \frac{1}{u} \\ \Rightarrow y & = & u^{-1} \end{eqnarray*}

Y además, por la regla de la cadena, $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \ast \frac{d u}{d x}$, tenemos:

\begin{eqnarray*} \frac{d y}{d x} & = & -u^{-1-1} \frac{d u}{d x} \\ & = & -u^{-2} \frac{d u}{d x} \\ & = & \frac{-1}{u^{2}} \ast \frac{d u}{d x} \end{eqnarray*}

Tenemos:

\begin{eqnarray*} \frac{d y}{d x} - \left( \frac{1}{x} +1 \right) y & = & y^{2} \\ \frac{-1}{u^{2}} \ast \frac{d u}{d x} - \left( \frac{1}{x} +1 \right) \\ \left( \frac{1}{u} \right) & = & \left( \frac{1}{u} \right)^{2} \\ \frac{d u}{d x} - \left( \frac{1}{x} +1 \right) \left( \frac{-u^{2}}{u} \right) & = & \left( \frac{-u^{2}}{u^{2}} \right) \\ \frac{d u}{d x} - \left( \frac{1}{x} +1 \right) ( -u ) & = & -1 \\ \frac{d u}{d x} + \left( \frac{1}{x} +1 \right) u & = & -1 \end{eqnarray*}

Paso 1. ED lineales:

$\frac{d u}{d x} + \left( \frac{1}{x} +1 \right) u=-1$

Paso 2. ED lineales:

\begin{eqnarray*} e^{\int P ( x ) d x} & = & e^{\int \left( \frac{1}{x} +1 \right) d x} \\ & = & e^{\int \frac{d x}{x} + \int d x} \\ & = & e^{\ln | x | +x} \\ & = & e^{\ln | x |} e^{x} \\ & = & x e^{x} \end{eqnarray*}

Paso 3. ED lineales:

\begin{eqnarray*} y_{c} & = & C_{1} e^{- \int P ( x ) d x} \\ u_{c} & = & C_{1} e^{- \int \left( \frac{1}{x} +1 \right) d x} \\ & = & C_{1} e^{- \int \frac{d x}{x} - \int d x} \\ & = & C_{1} e^{- \ln | x | -x} \\ & = & C_{1} e^{\ln | x^{-1} | -x} \\ & = & C_{1} e^{\ln | x^{-1} |} e^{-x} \\ & = & C_{1} x^{-1} e^{-x} \end{eqnarray*}

Paso 4. ED lineales:

\begin{eqnarray*} y_{p} & = & \frac{1}{e^{\int P ( x ) d x}} \int e^{\int P ( x ) d x} f ( x \\ ) d x \\ u_{p} & = & \frac{1}{x e^{x}} \int x e^{x} f ( x ) d x \\ & = & \frac{1}{x e^{x}} \int x e^{x} ( -1 ) d x \\ & = & \frac{-1}{x e^{x}} \int x e^{x} d x \end{eqnarray*}

Integrando por partes:

$u=x$ $d v=e^{x} d x$

$d u=d x$ $v=e^{x}$

Por tanto tenemos:

\begin{eqnarray*} u_{p} & = & \frac{-1}{x e^{x}} \left[ x e^{x} - \int e^{x} d x \right] \\ & = & \frac{-1}{x e^{x}} [ x e^{x} -e^{x} ] \\ & = & \frac{-e^{x}}{x e^{x}} [ x-1 ] \\ & = & - \frac{1}{x} ( x-1 ) \\ & = & - \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \\ & = & -1+ \frac{1}{x} \end{eqnarray*}

Por tanto, el resultado buscado es:

\begin{eqnarray*} u & = & u_{c} +u_{p} \\ & = & \frac{C_{1}}{x e^{x}} + \frac{1}{x} -1 \end{eqnarray*}

Y regresando a las variables originales, si: $u= \frac{1}{y}$, entonces:

\begin{eqnarray*} u & = & \frac{C_{1}}{x e^{x}} + \frac{1}{x} -1 \\ \frac{1}{y} & = & \frac{C_{1}}{x e^{x}} + \frac{1}{x} -1 \\ \frac{1}{y} & = & \frac{C_{1} +e^{x} -x e^{x}}{x e^{x}} \\ \frac{1}{C_{1} +e^{x} -x e^{x}} & = & \frac{y}{x e^{x}} \\ \frac{x e^{x}}{C_{1} +e^{x} -x e^{x}} & = & y \end{eqnarray*}

Es decir, el resultado final o la solución buscada, es:

$ \large y=\frac{x e^{x}}{C_{1}+e^{x}-x e^{x}}$

Un gráfica de la familia de soluciones de la Ecuación Diferencial (4), se muestra a continuación:

Figura 3. Algunas curvas solución de la familia de soluciones para la Ecuación Diferencial (4)

Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 19

Resuelva la siguiente ecuiacion diferencial

\begin{equation*} \Large t^{2 } \frac{d y}{d t} +y^{2} =t y \end{equation*} (5)

Solución

Paso 1. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente: $\frac{d y}{d x} +P ( x ) y=f ( x ) y^{n}$

Por tanto:

\begin{eqnarray*} t^{2} \frac{d y}{d t} +y^{2} & = & t y \\ \frac{d y}{d t} + \frac{y^{2}}{t^{2}} & = & \frac{t y}{t^{2}} \\ \frac{d y}{d t} + \frac{y^{2}}{t^{2}} & = & \frac{y}{t} \\ \frac{d y}{d t} - \frac{y}{t} & = & - \frac{y^{2}}{t^{2}} \end{eqnarray*}

Por tanto la ED es de Bernoulli.

Paso 2. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal (Ver la definición completa del paso en la sección de metodología, mas arriba).

Tenemos, si:

$u=y^{1-n}$ y $n=2$, entonces: $u=y^{1- ( 2 )} =y^{1-2} =y^{-1}=\frac{1}{y}$

Por tanto:

\begin{eqnarray*} \frac{1}{y} & = & u \\ \frac{1}{u} & = & y ">y ">y ">y \\ y & = & \frac{1}{u} \\ y & = & u^{-1} \end{eqnarray*}

Y además, por la regla de la cadena, $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \ast \frac{d u}{d x}$, tenemos:

\begin{eqnarray*} \frac{d y}{d t} & = & -u^{-1-1} \frac{d u}{d t} \\ & = & -u^{ -2} \frac{d u}{d t} \\ & = & - \frac{1}{u^{2}} \ast \frac{d u}{d t} \end{eqnarray*}

Tenemos:

\begin{eqnarray*} \frac{d y}{d t} - \frac{y}{t} & = & - \frac{y^{2}}{t^{2}} \\ - \frac{1}{u^{2}} \ast \frac{d u}{d t} - \frac{\frac{1}{u}}{t} & = & - \\ \frac{\left( \frac{1}{u} \right)^{2}}{t^{2}} \\ - \frac{1}{u^{2}} \ast \frac{d u}{d t} - \frac{1}{u t} & = & - \\ \frac{\frac{1}{u^{2}}}{t^{2}} \\ \frac{d u}{d t} - \frac{-u^{2}}{u t} & = & - \frac{-u^{2}}{u^{2} t^{2}} \\ \frac{d u}{d t} + \frac{u}{t} & = & \frac{1}{t^{2}} \end{eqnarray*}

Paso 1. ED lineales:

\begin{eqnarray*} \frac{d u}{d t} + \frac{u}{t} & = & \frac{1}{t^{ 2}} \end{eqnarray*}

Paso 2. ED lineales:

\begin{eqnarray*} e^{\int P ( x ) d x} & = & e^{\int \frac{d t}{t}} \\ & = & e^{\ln | t |} \\ & = & t \end{eqnarray*}

Paso 3. ED lineales:

\begin{eqnarray*} y_{c} & = & C_{1} e^{- \int P ( x ) d x} \\ u_{c} & = & C_{1} e^{- \int \frac{d t}{t}} \\ & = & C_{1} e^{- \ln | t |} \\ & = & C_{1} e^{ \ln | t^{-1} |} \\ & = & C_{1} t^{-1} \\ & = & C_{1} \left( \frac{1}{t} \right) \\ & = & \frac{C_{1}}{t} \end{eqnarray*}

Paso 4. ED lineales:

\begin{eqnarray*} y_{p} & = & \frac{1}{e^{\int P ( x ) d x}} \int e^{\int P ( x ) d x} f ( x \\ ) d x \\ u_{p} & = & \frac{1}{t} \int t \left( \frac{1}{t^{2}} \right) d t \\ & = & \frac{1}{t} \int \frac{{dt}}{t} \\ & = & \frac{1}{t} \ln | t | \end{eqnarray*}

Por tanto, el resultado buscado es:

\begin{eqnarray*} u & = & u_{c} +u_{p} \\ & = & \frac{C_{1}}{t} + \frac{1}{t} \ln | t | \end{eqnarray*}

Y regresando a las variables originales, si: $u= \frac{1}{y}$, entonces:

\begin{eqnarray*} u & = & \frac{C_{1}}{t} + \frac{1}{t} \ln | t | \\ \frac{1}{y} & = & \frac{C_{1}}{t} + \frac{1}{t} \ln | t | \\ \frac{1}{y} & = & \frac{C_{1} + \ln | t |}{t} \\ \frac{1}{C_{1} + \ln | t |} & = & \frac{y}{t} \\ \frac{t}{C_{1} + \ln | t |} & = & y \end{eqnarray*}

Es decir, el resultado final o la solución buscada, es:

$\large y= \frac{t}{C_{1} + \ln | t |}$

Un gráfica de la familia de soluciones de la Ecuación Diferencial (5), se muestra a continuación:

Figura 4. Algunas curvas solución de la familia de soluciones para la Ecuación Diferencial (5)

El código de MATHEMATICA para resolver y graficar el problema 19, es:

Clear["Global`*"] 
eq5 = y'[t] - (y[t]/t) == -y[t]^2/t^2;
Sn5 = DSolve[eq5, y[t], t] // Simplify Sn5[[1, 1, 2]];
t5 = Table[Evaluate[Sn5[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -10, 10}];
Plot[Tooltip[t5], {t, 0, 15}, PlotRange -> {-7, 7},   PlotStyle -> {Thick}]

Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones e IA

Ecuaciones Diferenciales e Inteligencia Artificial para modelado de Sistemas Dinámicos no lineales.

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Necesito ejemplos de aplicaciones de ED's (Da click aquí)
Tipos de Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
Guía para entender las Ecuacioenes Diferenciales desde cero.
No, necesito un ejemplo más sobre Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli (Método Alternativo mediante Factores Integrantes, da click aquí) Ejemplo 2. Resuelva la siguiente ED (Ecuación de Bernoulli)
Un ejemplo más sobre Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli resueltas mediante Factores Integrantes (Método Alternativo mediante Factores Integrantes, da click aquí) Ejemplo 5. Resolver la Siguiente ED (Ecuación de Bernoulli)

Da click aquí para leer sobre la mejor técnica para aprender ecuaciones diferenciales.

Te invito a que me contactes aquí para cualquier sugerencia sobre la página y si tienes una duda en particular sobre el tema tratado, por favor, deja tu comentario al final de esta página. Que estés bien. ;-)

99 comentarios de la comunidad

Preguntas y aportes reales de lectores a lo largo de los años. Se conservan tal como se publicaron originalmente.

FANY :)20 de julio de 2015
HOLA ME GUSTARIA SABER SI ME PUEDES AYUDAR EN UNA ECUACION DIFERENCIAL QUE LE DEJARON A MI HIJO LA VDD YA LE INTENTE PERO NO PODEMOS ESPERO ME PUEDAN AYUDAR
FANY :)20 de julio de 2015
POR FAVOR AYUDENME A LA SOLUCION DE ESTA EC. YA SEA POR METODO DE BERNULLI, LINEAL ETC dy/dx=4x-6/y-x+1
- Manuel Alejandro Vivas Riverol21 de julio de 2015
  Claro que si FANY, aqui le dejo la respuesta: Es una Ecuación Diferencial Exacta $$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{4 x + y - 6}{y - x + 1}$$ Forma Estandar: $$(4 x + y - 6) {dx} + (x - y - 1) {dy} = 0$$ Criterio de Exactitud: $$M = 4 x + y - 6$$; $$N = x - y - 1$$ $$\frac{\delta N}{\delta x} = 1$$; $$\frac{\delta N}{\delta x} = 1$$ $$\Rightarrow \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$$ $$\Rightarrow$$ La ED es exacta Paso 1 $$\int M (x, y) {dx} + g (y) = \int (4 x + y - 6) {dx} + g (y)$$ $$ = 4 \int x {dx} + y \int {dx} - 6 \int {dx} + g (y)$$ $$ = \frac{4}{2} x^2 + x y - 6 x + g (y)$$ $$ = 2 x^2 + x y - 6 x + g (y)$$ Paso 2 $$\frac{\delta}{\delta y} \int M (x, y) {dx} + g' (y) = N (x, y)$$ $$\frac{\delta}{\delta y} (2 x^2 + x y - 6 x) + g' (y) = x - y - 1$$ $$x + g' (y) = x - y - 1$$ $$g' (y) = y - 1$$ Paso 3 $$g (y) = \int N (x, y) {dy} - \int \frac{\delta}{\delta y} \int M(x, y) {dx} {dy}$$ $$ = \int (y - 1) {dy}$$ $$ = \int y {dy} - \int {dy}$$ $$ = \frac{y^2}{2} - y$$ Paso 4 $$\int M (x, y) {dx} + g (y) = c$$ $$2 x^2 + x y - 6 x + \frac{y^2}{2} - y = c$$ Por lo que el resultado buscado es: $$2 x^2 + x y - 6 x + \frac{y^2}{2} - y = c$$
katya21 de agosto de 2015
ola.ayudeme con este ejercicios por favor....dy/dx=2x-x+5/2x-y-4
- Manuel Alejandro Vivas Riverol21 de agosto de 2015
  Hola Katya, con mucho gusto me podrías decir si la ED eslasiguiente? $$\frac{dy}{dx}= 2x - \frac{x+5}{2x-y-4}$$ ¿O cual esla ED? Delimita el numerador y denominador mediante parentesis, por favor... Espero tu respuesta. Saludos
- Manuel Alejandro Vivas Riverol21 de agosto de 2015
  Katya, es una función fraccionaria? Es decir es dy/dx = 2x-(x+5)/(2x-y-4)
Daniel21 de octubre de 2015
hola buanas me podria ayudar con esta ecuacion x^2 dy/dx-2xy=3y^4
- Manuel Alejandro Vivas Riverol24 de octubre de 2015
  Daniel Te dejo la respuesta: $$x^2 \frac{dy}{dx} - 2 x y = 3 y^4$$ $$\Rightarrow \frac{dy}{dx} - \frac{2 x y}{x^2} = \frac{3y^4}{x^2}$$ $$\Rightarrow \frac{dy}{dx} - \frac{2 y}{x} = \frac{3 y^4}{x^2}$$ Vemos que es una ED Bernoulli La resuelves de acuerdo a los pasos de éste artículo. Simplificando los pasos: $u = y^{1 - n}$, $n = 4$, $ \Rightarrow$ $u = y^{- 3}$ $\Rightarrow \ u = \frac{1}{y^3}$ $y^3 = \frac{1}{u} \ \Rightarrow \ y^3 = u^{- 1}$ $\Rightarrow$ $y = u^{- \frac{1}{3}}$ y: $\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1}\frac{du}{dx}$ $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{1}{3} u^{- \frac{4}{3}}\frac{du}{dx}$ Sustituyendo los valores de $y$ y $\frac{dy}{dx}$ en: $\frac{dy}{dx} - \frac{2 y}{x} = \frac{3 y^4}{x^2}$, $$- \frac{1}{3} u^{- \frac{4}{3}} \frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u^{- \frac{1}{3}} = \frac{3}{x^2} u^{\left( u^{- \frac{1}{3}} \right)^4}$$ Dividiendo toda la ED entre: $- \frac{1}{3} u^{- \frac{4}{3}}$, Tenemos: $$\frac{du}{dx} - \frac{2}{x} \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{\left( - \frac{u^{- \frac{4}{3}}}{3} \right)} = \frac{3}{x^2} \frac{u^{- \frac{4}{3}}}{\left( - \frac{u^{- \frac{4}{3}}}{3} \right)}$$ $\Rightarrow$ $\frac{du}{dx} + \frac{6}{x} u = - \frac{9}{x^2}$ ..................... (1) La ED ahora es lineal de 1er Orden, resolvemos mediante el método de F.I. descrito en el artículo: Factores Integrantes, Ejemplo 1 De modo que, simplificando los pasos: F.I.: $e^{\int P (x) dx} = e^{\int \frac{6}{x} d x} = e^{6 \int \frac{dx}{x}}$ $$\Rightarrow e^{6 Ln x} = e^{Ln x^6} = x^6$$ F.I. = $x^6$ Sustituyendo en (1) y simplificando: $$x^6 \left( \frac{du}{dx} + \frac{6}{x} u \right) = x^6 \left( - \frac{9}{x^2} \right)$$ $$\Rightarrow u' x^6 + \frac{6}{x} u x^6 = - 9 x^4$$ Esto implica: $$\frac{d}{dx} [u x^6] = - 9 x^4$$ Integrando: $$u x^6 = - 9 \int x^4 dx + C$$ $$\Rightarrow u x^6 = - \frac{9}{5} x^5 + C$$ $$\Rightarrow u = - \frac{9}{5} \frac{x^5}{x^6} + C x^{- 6}$$ $$\Rightarrow u = - \frac{9}{5 x} + C x^{- 6}$$ Regresando a $y$: $$\frac{1}{y^3} = - \frac{9}{5 x} + C x^{- 6}$$ $$\Rightarrow y^3 = \frac{x}{- \frac{9}{5} + C x^{- 5}}$$ De modo que el resultado es: $$y = \sqrt[3]{\frac{x}{- 9 x^5 + 5 C}}$$ Saludos
  - Daniel26 de octubre de 2015
    muchas GRACIAS!!!!
masterle024 de octubre de 2015
me puede ayudar con este x(dy/dx)+y=y2lnx
- Manuel Alejandro Vivas Riverol26 de octubre de 2015
  Hola masterle0 Te dejo la respuesta: Tenemos: $$x \frac{dy}{dx} + y = y^2 Ln x$$ Esto implica: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = y^2 \frac{Ln x}{x}$ ....(1) La cual es una ED de Bernoulli. Siguiendo el método de este artículo: $u = y^{1 - n}$, $n = 2$ $\Rightarrow$ $u = y^{1 - 2} = y^{- 1}$ Por tanto: $u = \frac{1}{y}$, $y = \frac{1}{u}$ $\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dx}$ Sustituyendo $y$ y $\frac{dy}{dx}$ en (1): $- \frac{1}{u^2} \frac{du}{dx} + \frac{1}{u x} = \left(\frac{1}{u} \right)^2 \frac{Ln x}{x}$ $\Rightarrow - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dx} + \frac{1}{u x} = \frac{Ln x}{u^2 x}$ multiplicando por $- u^2$: $\frac{du}{dx} - \frac{u}{x} = \frac{(- u^2)}{u^2 x} Ln x$ $\Rightarrow \frac{du}{dx} - \frac{u}{x} = - \frac{Ln x}{x}$ ..... (2) La cual es un ED lineal de primer orden. La resolvemos mediante el metodo descrito en el artículo: Factores Integrantes, Ejemplo 1: F.I.: $e^{\int P (x) dx} = e^{- \int \frac{dx}{x}} = e^{- Ln x}$ $\Rightarrow e^{Ln x^{- 1}} = e^{Ln \frac{1}{x}} = \frac{1}{x}$ multiplicamos este factor por toda la ED (2): $\frac{1}{x} \left( u' - \frac{u}{x} \right) = - \left( \frac{1}{x} \right) \frac{Ln x}{x}$ $\Rightarrow \frac{u'}{x} - \frac{u}{x^2} = - \frac{Ln x}{x^2}$ Esto implica: $\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{x} \ast u \right] = - \frac{Ln x}{x^2}$ $\Rightarrow d \left[ \frac{1}{x} \ast u \right] = - \frac{Ln x}{x^2}dx$ Integrando: $\frac{u}{x} = - \int \frac{Ln x}{x^2} dx + C_1$ Usamos Int por partes: $u = Ln x$ ; $dV = \frac{1}{x^2} dx$ $d u = \frac{1}{x}$ ; $V = \frac{x^{- 2 + 1}}{- 2+ 1}$ $V = - \frac{1}{x}$ De modo que: $\frac{u}{x} = - \left( - \frac{1}{x} Ln x + \int \frac{1}{x^2}dx \right) + C_1$ $\Rightarrow \frac{Ln x}{x} - \left( \frac{x^{- 2 + 1}}{- 2 + 1} \right) + C_1$ $\Rightarrow \frac{Ln x}{x} + \frac{1}{x} + C_1$ $\Rightarrow u = Ln x + 1 + C_1 x$ Regresando a la variable $y$: $\frac{1}{y} = Ln x + 1 + C_1 x$ Por tanto el resultdo, es: $y = \frac{1}{Ln x + 1 + C_1 x}$ Saludos
andres28 de octubre de 2015
Muchisimas gracias por la ayuda en este tema y por tomarse la dedicación de enseñarnos
- Manuel Alejandro Vivas Riverol29 de octubre de 2015
  Al contrario, gracias por tu comentario y recomiendanos, ¿te parece?. Que estes bien. Saludos
Belys19 de noviembre de 2015
buenas en el caso de la ecuación que hiciste anteriormente en el tema dy/dx -y=e^x t ^2 me gustaría saber como seria el resultado si en vez de estar restando se suma, quedaría así dy/dx + y=e^x t ^2
- Manuel Alejandro Vivas Riverol19 de noviembre de 2015
  Belys Si la ED, es: $$\frac{dy}{dx}+y=e^{x}y^{2}$$ Entonces, EL paso 1 y 2, permanecerian igual, luego; Realizando la sustitución: $$ -\frac{1}{u^{2}}+\frac{du}{dx}+\frac{1}{u}=e^{x}(\frac{1}{u})^{2}$$ $$ -\frac{1}{u^{2}}+\frac{du}{dx}+\frac{1}{u}=e^{x}(\frac{1}{u^{2}})$$ $$ \frac{du}{dx}-\frac{u^{2}}{u}=e^{x}(\frac{-u^{2}}{u^{2}})$$ $$ \frac{du}{dx}- u = -e^{x}$$ Si integras ésta ED lineal por el método de los 4 pasos, que esta descrito acá mismo llegarás al resultado: $$u(x) = -xe^{x}+C1e^{x}$$ Y por ultimo al sustituir de nuevo $ u = \frac{1}{y} $, obtendrás: $$y(x) = -\frac{e^{-x}}{x-C1}$$ Saludos
Kai20 de noviembre de 2015
Buenos dias, en verdad agradezco mucho a este blog, estos ejercicios me han ayudado mucho, pero tengo un ultimo ejercicio pendiente, me podrias colaborar con este? : 3(1+x').dy/dx=2xy.(y^3 1) Es el mismo ejercicio 20 del libro de Zill donde tomaste estos ejercicios, muchas gracias.
- Manuel Alejandro Vivas Riverol20 de noviembre de 2015
  Hola Kai El procedimiento es muy largo Pero te dejo el resultado de cada etapa, como la desarrollo en este artículo: Tenemos: $$3 (1 + t^2) \frac{dy}{dx} = 2 t y (y^3 - 1)$$ Resolvemos: Paso 1: Desarrollamos hasta obtener: $$\frac{dy}{dx} + \frac{2 t y}{3 (1 + t^2)} = \frac{2 t}{3 (1 + t^2)} y^4$$ \ ... (1) Paso 2: Convertimos a una ED lineal, haciendo: $$u = y^{1 - 4}$$ ... $$y = \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}$$ $$\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{3 u^{\frac{4}{3}}} \frac{du}{dt}$$ Paso 3: Sustituimos $y$ y $\frac{dy}{dx}$ en (1) y desarrollamos para obtener la ED lineal: $$\frac{dy}{dx} + \frac{2 t y}{3 (1 + t^2)} = \frac{2 t}{3 (1 + t^2)} y^4$$ $$- \frac{1}{3 u^{ \frac{4}{3}}} \frac{du}{dt} + \frac{2 t}{3 (1 + t^2)} \left( \frac{1}{u^{ \frac{1}{3}}} \right) = \frac{2 t}{3 (1 + t^2)} \left( \frac{1}{u^{ \frac{4}{3}}} \right)$$ ... desarrollas $$\frac{du}{dt} - 2 \frac{t u}{(1 + t^2)} = - \frac{2 t}{(1 + t^2)}$$ Paso 4: Resuelves la ed (2), que ahora es lineal mediante los 4 pasos para ed's lineales, ver articulo: CÓMO RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES CON EL MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE, MÉTODO DE 4 PASOS. El resultado es: $$u = C_1 (1 + t^2) + 1$$ Y, por último, regresando a las variables originales: $$u = \frac{1}{y^3}$$, de modo que, $$\frac{1}{y^3} = C_1 (1 + t^2) + 1$$ ... $$y = \sqrt[3]{\frac{7}{C_1 (1 + t^2) + 1}}$$ Saludos
  - Kai22 de noviembre de 2015
    Muchas gracias :D
jaqueline18 de diciembre de 2015
hola, me puedes ayudar con esta ecuacion: y' + 1/3 y = 1/3 (1-2x) y^4
- Manuel Alejandro Vivas Riverol18 de diciembre de 2015
  Jaqueline Sigue los pasos, es una ED de Bernoulli
Alejandrita Mora21 de febrero de 2016
hola intente resolver esta ecuacion pero no la pude realizarla, crees que me puedas ayudar x^2 dy/dx+y^2=xy
- Manuel Alejandro Vivas Riverol21 de febrero de 2016
  Hola Alejandrita Con mucho gusto te ayudo Solo necesitas comprarme un Gig en fiverr Acá d te dejo el enlace: Resuelvo cualquier ecuación diferencial, click aquí
Mariel11 de marzo de 2016
du/dx+3/x u=3/x Por el método de bernoulli Gracias
Daniela Bonilla15 de marzo de 2016
Me podrías ayudar con esta ecuación ecuación, la tengo que resolver por el método de bernulli pero al sustituir para hacer una ecuación lineal no me sale, se que por variables separables también a resumen pero me piden bernulli. Ecuacion: dp/dt=p-p^2
- Manuel Alejandro Vivas Riverol15 de marzo de 2016
  Hola Daniel Con gusto te ayudo Ahora tengo el servicio de solución de Ecuaciones Diferenciales mediante la plataforma fiverr, click aquí Dale click al enlace y en la compra de un Gigg te resuelvo tu ejercicio Espero tu respuesta Saludos
Elier10 de mayo de 2016
La ecuacion de dy/dx=x/x"2y+y"3... por el metodo de bernoulli
- Manuel Alejandro Vivas Riverol10 de mayo de 2016
  Elier, te ayudo con mucho gusto Tengo un servicio en fiverr para solución de ED's Te dejo el enlace: Yo voy a resolver tus problemas de ED's, click aquí Saludos
Jose17 de mayo de 2016
Profe puede ayudarme con esta ecuación de bernoulli dy/dx -5y=-5/2 xy^3 por favor...
daniel31 de agosto de 2017
me puedes ayudar con (x^3y^3)dx+3xy^2dy=0 ecuacion de bernoulli
- Manuel Alejandro Vivas Riverol31 de agosto de 2017
  Daniel, de momento, la única forma de poder atenderte es mediante a gendarte para una asesoria personal o mediante mi servicio de resolución de ejercicios. Si te interesa te dejo un enlace a mmi página de facebook: Ecuacion Diferencial Ejercicios y Aplciaciones, donde me puedes contactar en tiempo real. También te puedo atende si ralizas una donación al sitio. De momento estoy saturado de trabajo y no podría ser de otra forma, lo siento por esta vez, de cualquier forma, te espero en facbook. Saludos
yoandris13 de octubre de 2017
hola. quien me puede ayudar con esta ecuacion de bernoulli. y'+2xy=2xy^2
- Manuel Alejandro Vivas Riverol14 de octubre de 2017
  De momento solo estamos brindando ayuda con costo yoandris, con gusto te podemos ayudar con una respuesta paso a paso para 2 problemas de 1er orden como el que describes por 5 USD, nos puedes contratar mediante nuestra fanpage de facebook, para una respuesta mas rápida, te dejo el enlace: Ecuaciones Diferenciales Ejercicios y Apliacaciones El pago es mediante oxxo si estas en México o mediante paypal si estas en el extranjero. También hay otras formas de pago. Avisanos si necesitas nuestra ayuda. Saludos
Gustavo fernandez18 de noviembre de 2017
Me puedes ayudar?? Dy/dx +1/x-2 y =5(x-2) raíz de y
- Manuel Alejandro Vivas Riverol26 de noviembre de 2017
  Gustavo, la ED es: $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x-2}y = 5\left(x-2\right)\sqrt{y}$?
Jiimmÿ Châmbâ Cümbicôs24 de diciembre de 2017
Me puedes ayuudar con esta? dy/dx = (x+y+1)^2
- Manuel Alejandro Vivas Riverol26 de diciembre de 2017
  Jiimmÿ realiza la sustitución: $u = x + y$ y resuelvela, calculando $\frac{du}{dx}$ y resolviendo para $y$, te dejo ejemplos con los que te puedes guiar: EDs resueltas mediante sustitición, click aquí Saludos
Dulce26 de febrero de 2018
Hola disculpe, me podría ayudar con esta ED de Bernoulli y’+ytanx=-y^2cosx
- Manuel Alejandro Vivas Riverol27 de febrero de 2018
  Dulce, de momento solo te puedo ayudar con costo. Te puedo ayudar hasta con 3 EDs de 1er orden por 100MXN o 5 usd. Si te parece, scribeme el la página de fans : Ecuacion diferencial Facebook fanpage, click aquí. Saludos
carolina8 de marzo de 2018
buenas noches, me podrían colaborar con la solución de este ejercicio. Agradezco su colaboración. (x+raiz de (y^(2)-xy))(dy)/(dx)=y, y(1/2)=1
- Manuel Alejandro Vivas Riverol12 de marzo de 2018
  Hola Carolina, esa ED la puedes resolver con el artículo que escribí sobre resolución de ED's homogéneas, click aquí, la dificultad de la misma es que te toparás con una integral racional que incluye radicales, donde tendrás que realizar una nueva sustitución para poder resolverla. El desarrollo es largo e involucra pericia en ED's, además de, en métodos de integración. Si requieres una solución paso a paso, con mucho gusto te ayudo, por un costo de 5 USD (en realidad cobro 10 USD por ED's de ese tipo) porque su desarrollo es largo y ponerlo en pasos bien justificados y con una secuencia fácilmente entendible es un trabajo minucioso y tardado. Si te parece, escríbeme dentro de la página de facebook del sitio, para atenderte en tiempo real. Saludos
joseph14 de marzo de 2018
buenas tardes profe me podria colaborar con la solucion a este ejercicio x^2 dy/ dx + y^2 =x*y agradezco su colaboracion
- Manuel Alejandro Vivas Riverol15 de marzo de 2018
  joseph, una disculpa por no poderte contestar antes. De momento solo puedo atender a las peticiones que me hacen con una donación al sitio web o con pago. Si aún necesitas la ayuda, por favor contáctame en la página de fans de facebook, click aquí. Te espero por allá. Saludos
Brayan Gómez Betancur15 de marzo de 2018
Buenos días, Alejandro presento dificultades con el siguiente problema que presenta una ecuación de Bernoulli, ya intenté resolverla como tal por dicha "técnica" pero me quedé en cierta parte, espero me pueda ayudar y le agradezco de antemano. Ejercicio: Con el objetivo de hacer regulación de la pesca, se ha establecido comisiones internacionales para implementar los controles. Para la comprensión de tales controles se han elaborado modelos matemáticos de poblaciones de peces. El modelo de crecimiento de von Bertalanffy se refleja en la ecuación de Bernoulli dW dt = αW2/3 − βW donde W = W(t) representa el peso de un pez y α, β son constantes positivas. 1. Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial. 2. Calcular W∞ = l´ım t→∞ W(t), el peso límite del pez.
- Manuel Alejandro Vivas Riverol15 de marzo de 2018
  Hola Brayan, com mucho gusto te ayudo, solo que sería con un costo. para la resolcuíon de ese problema te cobro 6 USD. La resolución es paso a paso, comprobada con software, si te interesa, por favor, contáctame en la página de facebook: Ecuaciones Diferenciales Ejercicios y Aplciaciones, click aquí. Por carga de trabajo, no puedo ayudarte de otra forma. Saludos
Karol Navarro26 de marzo de 2018
como se haría el ejercicio por ecuacion de bernoulli 3(1+x^2)dy/dx= 2xy(y^3-1)
- Manuel Alejandro Vivas Riverol28 de marzo de 2018
  Hola Karol, ¿cómo estas? La ED que escribiste es un ED que puede convertirse en Exacta. Para poder hacer la conversion necesitas ver el siguiente ejercio Y para hacerte más facil la busqueda te comento que el factor integrante es $\mu(y)$, así que vete directamente al segundo caso que se desarrolla en el problema. El factor integrante debe darte: $$\mu(y) = e^{-\frac{4}{3}\log{(y^{3}-1)}}$$; me parece que el desarrollo es largo, no lo he hecho, solo calculé el factor integrante. Cuando vayas a calcular el factor integrante, no olvides dejer un signo positivo este los términos; es decir, debes ordenar así la ecuación: $$2xy\left(y^{3}-1\right)dx + \left(-3-x^{2}\right)dy=0$$ Por último, si necsitass que te ayude con el desarrollo paso a paso con gusto lo hago y sería con un costo, por la complejidad del problema. Saludos
Liz Ruedas Anguiano2 de abril de 2018
Hola. Buenas tardes, quería ver si me podía ayudar a resolver esta ecuación dρ/dθ + 3ρ - 2... Segun nuestro profesor se puede resolver por medio de Bernoulli o Ricatti. Gracias y saludos.
- Manuel Alejandro Vivas Riverol3 de abril de 2018
  Hola Liz está incompleta tu ecuación, de hecho así como está escrita, no es una ecuación; le hace falta el segundo miembro.
michelle25 de mayo de 2018
estoy enrredadisima con este problema (1-cosx)dy+(2ysenx - tan x)dx=0 ayudaaaaa please
- Manuel Alejandro Vivas Riverol27 de mayo de 2018
  michelle. Gracias por escribirnos. Te pido una disculpa por no poderte contestar antes Te contesté mediante correo electrónico. Estaré al tanto de tu respuesta. Saludos
Hugo G.2 de octubre de 2018
Holaa, me podrías ayudar con este problema, es de Bernoulli. 3(1+t^2) dy/dt=2ty(y^3 - 1)
- Manuel Alejandro Vivas Riverol5 de octubre de 2018
  Siento mucho la tardanza Hugo. Te comento que solo damos ayuda gratuita para problemas de EDs separables Si requieres de ayuda es con costo. Para que nos comuniquenos en tiempo real, puedes enviarme un mensaje a traves de la página de facebook del sitio web, acá el enlace: Ecuaciones Diferenciales Ejercicios y Aplicaciones, click aquí. Saludos
aleja jaimes29 de noviembre de 2018
hola me podria ayudar con este ejercicio de bernoulli dy/dx=1/x+y^3x^2
- Manuel Alejandro Vivas Riverol29 de noviembre de 2018
  Aleja La ayuda en este momento, solo es para ED's lineales o separables. Si necesitas asesoría con gusto te puedo ayudar (con costo), envíame un mensaje por inbox en nuestra página de ED's de facebook, aquí el enlace. Un saludo
Gabriela5 de marzo de 2019
Hola , Buenas Noches , me podrias ayudar con este ejercicio dy/dx + x / t^2 = 1 / t^2
- Manuel Alejandro Vivas Riverol9 de marzo de 2019
  Hola Gabriela, aquí la solución: $\frac{dy}{dx}+\frac{x}{t^{2}}=\frac{1}{t^{2}}$ Solución: $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{t^{2}}+\frac{1}{t^{2}}$ $dy=-\frac{x}{t^{2}}dx+\frac{1}{t^{2}}dx$ $\int dy=-\frac{1}{t^{2}}\int x dx+\frac{1}{t^{2}}\int dx + C$ $y = -\frac{1}{t^{2}}\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{t^2}x+C$ $y=\frac{1}{t^{2}}\left( x-\frac{x^{2}}{2} \right)$ $y=\frac{1}{t^{2}}\left( \frac{2x-x^{2}}{2} \right)$ Listo. Gaby, si no ves el resultado con suficiente resolución, dale click izquierdo al ratón cuando estes posiscionada sobre cualquiera de las ecuaciones y selecciona en el menú contextual "Math Settings" y en el nuevo menú que se abrirá, selecciona "Scale All Math", dale click y te aparecerá una ventana con un texto y una caja con un "100%", cambia ese numero por 200 y dale aceptar y listo. ;-) Saludos
Tatiana10 de abril de 2019
Hola , Buenas Noches , me podrias ayudar con este ejercicio de bernoulli 3y^2 dy/dx +y^3/(x+1) -8(x-1)=0 y(0)=0
- Manuel Alejandro Vivas Riverol11 de abril de 2019
  Hola Tatiana, con gusto te ayudo, la ayuda gratuita es para las ED's separables o lineales de 1er grado, las demás las realizo con costo con mucho gusto, si lo necesitas, comunícate conmigo en tiempo real mediante el chat de la página de facebook del sitio, te dejo el enlace: Ecuación Diferencial Ejercicios y Aplicaciones Saludos
Carlos11 de abril de 2019
Buenas noches es posible que me ayudes con esta de bernoulli dy/dx + y/x =xy^2
- Manuel Alejandro Vivas Riverol12 de abril de 2019
  Carlos, aquí tienes: $\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x y^2$ utiliza: $u = y^{1 - n}$ $n = 2$ Por tanto: $u = \frac{1}{y} \Rightarrow y = \frac{1}{u}$ $\frac{d y}{d x} = - u^{- 1 - 1} \frac{d u}{d x}$ $\Rightarrow \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{u^2} \frac{d u}{d x}$ De modo que, sustituyendo lo anterior en la ED original: $\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x y^2$ $\Rightarrow - \frac{1}{u^2} \frac{d u}{d x} + \frac{1}{x u} = x \left( \frac{1}{u} \right)^2$ $\Rightarrow - \frac{d u}{d x} + \frac{u^2}{x u} = x \frac{u^2}{u^2}$ $\Rightarrow \frac{d u}{d x} - \frac{u}{x} = - x$ Resolviendo la ED resultante (ED lineal): F.I.: $e^{\int P (x) d x} = e^{\int - \frac{d x}{x}} = \frac{1}{x}$ $\Rightarrow \frac{1}{x} \frac{d u}{d x} - \frac{1}{x} \frac{u}{x} = - \frac{x}{x}$ $\Rightarrow \frac{1}{x} \frac{d u}{d x} - \frac{u}{x^{^2}} = - 1$ $\Rightarrow \frac{d}{d x} \left( \frac{1}{x} u \right) = - 1$ $\Rightarrow d \left( \frac{1}{x} u \right) = - d x$ $\Rightarrow \int d \left( \frac{1}{x} u \right) = - \int d x + C$ $\Rightarrow \frac{1}{x} u = - x + C$ $\Rightarrow u = - x^2 + C x$ Regresando a las variables originales: $\Rightarrow \frac{1}{y} = - x^2 + C x$ Por tanto, la solución es: $y = - \frac{1}{x^2 + C x}$
edilberto20 de mayo de 2019
3(1+t^2){dy}{dt}=2+t(y^3-1)
- Manuel Alejandro Vivas Riverol22 de mayo de 2019
  edilberto, simplemente veo una ED No lineal. Se resuelve mediante métodos numéricos. Un saludo
alberto23 de junio de 2019
y(6y^2−x−1)dx+2xdy=0 me puedes ayudar con esta, te agradezco bastante.
- Manuel Alejandro Vivas Riverol26 de junio de 2019
  Alberto, te puedo ayudar con gusto con costo. Si te parece, me puedes contactar directamente mediante el chat de nuestra p{abina de facebook, dale click al siguiente enlace: Ecuaciones Diferenciales Ejercicios y aplicaciones
gaby26 de junio de 2019
hola por favor me podrías ayudar con la ecuación no lineal x dy/dx = y +2(xy) elevado a 1/2 muchas gracias
- Manuel Alejandro Vivas Riverol29 de junio de 2019
  Gaby, no vi tu mensaje antes, te pido una disculpa. Te comento que solo es gratuita la ayuda para EDs lineales de 1er orden y separables. De todas formas, si quieres una solución paso a paso 100% correcta, de ésta o cualquier otra ED, comunicate conmigo directamente mediante el chat(inblox) de nuestra página de facebook: Ecuación diferencial Ejercicios y Aplicaciones, click aquí. Saludos
Paula10 de septiembre de 2019
Ayuda por favor. 2y(1+x^2)y'-2xy^2=1+2x^2
- Manuel Alejandro Vivas Riverol13 de septiembre de 2019
  Paula, divide cada termino de la ED entre $2y(1+x^{2})$ y obtendras una ED lineal en forma estandar. Luego utiliza el indice de este blog para localizar la técnica de resolución que corresponde. Un saludo
jennifer7 de octubre de 2019
hola buenas noches sera que me puedes ayudar por favor con una E.D de bernoulli que trato y trato y no he podido x(dy)/(dx)+y=(2)/(y^(2))
- Manuel Alejandro Vivas Riverol23 de octubre de 2019
  Sinto mucho responder hasta ahora Jennifer, solo doy ayuda en EDs lineales de 1er orden y separables, ahora, si te parece con mucho gusto te ayudo en tus ejercicios con costo. Contáctame via inbox de la página de facebook del sitio: ecuaciones diferenciales ejercicios y aplicaciones, asi se llama, saludos
stefanny10 de marzo de 2020
Hola por favooor necesito ayuda no se como hacer esto ejercicios gracias y’=y-xy³e-2x 6y²dx – x(2x³+y)dy=0
- Manuel Alejandro Vivas Riverol10 de marzo de 2020
  stepfanny, tratandose de problemas que requieren un tiempo para su resolución (para ponerlos en pasos), la yuda es con costo. Con mucho gusto te puedo ayudar si me envías un mensaje inbox mediante el chat de nuestra página de fans, y sería con costo como te comento. Te dejo el enlace a nuestra página de facebook: Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones Saludos
cmurcia69924 de marzo de 2020
porfa necesito que me ayudes con esto he intentado y no he podido 1.. dy = sen(x+y) dx 2.. dy = y - x + 5 dx e
- Manuel Alejandro Vivas Riverol24 de marzo de 2020
  Es un sistema de Ecuaciones? Puedes utilizar este editor de latex onlien para escribir tus ecuaciones: Editor de Latex Online Estoy al pendiente de ti, saludos
Leo25 de marzo de 2020
Me podria ayudar resolviendo la ecuacion y'-3/4y=x^4y^1/3
- Manuel Alejandro Vivas Riverol27 de marzo de 2020
  De momento no tengo tiempo para atenderte Leo, si gustas ayuda mediante un costo, envíame un mensaje por el inbox de nuestra página de facebook: Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones, un saludo
Mauricio2 de abril de 2020
Me puedes ayuda con la ecuación: x^2y’+2xy=5y^3
- Manuel Alejandro Vivas Riverol2 de abril de 2020
  Mauricio, con mucho gusto. Te comento, la ayuda gratuita ya desde hace un tiempo son solo para EDs de 1er órden, separables y/o lineales, para las demás las hago con mucho gusto con costo. Si te parece escribe un mensaje en la página de Facebook del sitio, la encuentras en Facebook como Ecuaciones Diferenciales Ejercicios y Aplicaciones, ¿cómo ves? Saludos
boni122019 de junio de 2020
Buentas tardes me ayudaría con esta ecuación diferencial de bernoulli y^1/2 y' + y^3/2 = 1 , y(0)=4
- Manuel Alejandro Vivas Riverol20 de junio de 2020
  boni220, con mucho gusto, si quieres contáctame por el inbox de nuestra página de facebook. Un saludo
Kevin12 de octubre de 2020
hola amigo me ayudarías con la siguiente ecuacion? dy/dx = xy^2
- Manuel Alejandro Vivas Riverol12 de octubre de 2020
  Kevin, buen día. Separa las variables. No es una Ed de Bernoulli, es más sencilla. No puedo desarrollartelo hoy, tal vez mañana, pero esta muy sencilla, separa las variables y te queda su sobre y^2 igual a x por dx y listo, íntegras. Un saludo
Alvaro13 de octubre de 2020
Hola amigo!! Me he encontrado con este ejercicio que pide su resolución por el método de Bernulli. Yo no he sabido como se haya la solución, espero me pueda ayudar dy/dx =(3x^2)/(x^2-y^2-a^2) donde a es una constante.
- Manuel Alejandro Vivas Riverol13 de octubre de 2020
  Álvaro, las EDs por Bernoulli las realizó con costo, pero en este momento no podría ayudarte aún con el pago. Espero que puedas encontrar en los ejercicios resueltos para las EDs de Bernoulli una guía. Buscamos en el índice del sitio web. Saludos
Ramón27 de abril de 2021
¿la ecuación dv/dt igual a mg-kvcuadrado es de Bernoulli ? atentamente espero su respuesta.
- Manuel Alejandro Vivas Riverol27 de abril de 2021
  No, es una ED lineal. Buen día Ramón
FEDERICO GUSTAVO ISAZA3 de mayo de 2021
Excelente material, os recomiendo al PROFESOR FEDERICO ISAZA QUIN RESUELVE ECUACIONES DE ESTE TIPO. whastapp: [contacto oculto] (COLOMBIA)
Vianey Rojas26 de junio de 2021
Buen dia, podria ayudarme con la siguiente ecuacion de Bernoulli, es x^3y'+x^2y=x^7y^3/4
- Manuel Alejandro Vivas Riverol30 de junio de 2021
  Vianey, ya no ayudamos gratuitamente, pero si quieres asesorías contactame mediante el buzón dde nuestra página de fans de facebook: Saludos
David Giler12 de julio de 2021
hola buenas noches soy David de Ecuador me gustaria que me orientes en esta ecuacion diferencial .dy/dx=y^2+x^2/4xy
- Manuel Alejandro Vivas Riverol13 de julio de 2021
  Simplemente te diría aplica los pasos del artículo Davis. Te pido disculpas, pero de momento no podría elaborarte más. Un saludo
Ramiro21 de septiembre de 2021
Me podrías ayudar bernoulli dy/dx -y= 2y^2 e^x
- Manuel Alejandro Vivas Riverol24 de septiembre de 2021
  Ramiro, sigue los pasos. Efectivamente es una ED de Bernoulli. Realiza la sustitución, como ves en elos ejemplos y resuelvela. Yo te pòdría dar una asesoría po 10 usd, s aún necesitas ayuda, y vemos paso a paso la solución de éste o de algun otra ED. ¿Te parece? puedes contactaerme directo en el buzón de la pagina de fans del blog: Un saludo
Laura8 de diciembre de 2021
Hola oye me ayudas con esta ecuación de bernoulli X'+1/5X=X-3
David2 de febrero de 2022
Hola me podrían ayudar en esta ecuación de Bernoulli y(6x^2-x-1)dx + xdy=0 Por favor
- Manuel Alejandro Vivas Riverol2 de febrero de 2022
  David, las asesorias ahora son con costo, si quieres podemos agendar una solo contesta éste mensaje. Saludos
jackson10 de enero de 2024
x(dy/dx)−y=2x^2y^2 ; y(1)=2 ayudeme con ese ejercicio por favor
- Manuel Alejandro Vivas Riverol11 de enero de 2024
  Solucionalo como una EDO exacta de primer orden jackson, el resultado es: $-\frac{2x^5y+5x}{5y}=\frac{-9}{10}$ el enlace a los artículos sobre exactas es: Saludos
KAROL LIZETH VASQUEZ AJON1 de abril de 2025
me parece una practica ,muy importante y muy entendible de comprender

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