ecuacion diferencial ejemplos

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS

26 de junio de 2015 · Actualizado: 1 de octubre de 2023

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS

Si lees hasta el final el siguiente artículo entenderás y aplicarás mejor el método de los 4 pasos para resolver Ecuaciones Diferenciales Exactas con el cual puedes resolver cualquier Ecuación Diferencial de éste tipo.

Éste método en pasos, tiene la finalidad de simplificar la resolución de Ecuaciones Diferenciales Exactas, mediante el mostrar un razonamiento lógico que pertmite fácilmente sistematizar su solución. Según Sergio Martinic, director del Centro de Investigación y Desarrollo de la Educación (CIDE) en Chile, define la sistematización del conocimiento como

Sistematización del conocimiento: Un proceso metodológico, cuyo objeto es que el educador(...)recupere su relación con la acción, organizando lo que sabe de su práctica para darla a conocer a otros.

METODOLOGÍA DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

-Forma estándar de la ED exactas

$ M(x, y) {dx} + N (x, y) {dy} = 0$

-Criterio de Exactitud (ó para definir la exactitud de una diferencial)

$ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$

4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS (Método alternativo)

1. $ F (x, y) = \int N (x, y) d y + h (x)$

2. $ \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y + h' (x) = M (x, y)$

3. $ h (x) = \int M (x, y) d x - \int \frac{\delta}{\delta x} \int N (x,y) d y d x$

4. Sustituimos $latex g (y)$ del paso (3) en (1) e igualamos a $c$ ($c=$ constante)

$ \int N (x, y) d y + h (x) = c$

Si encontramos que la función $ M (x, y)$, es más fácilmente integrable podemos utilizar los mismos cuatro pasos en función de $ M$, ver el primer ejemplo de éste artículo o los ejemplos del artículo Ecuaciones Diferenciales Exactas y revisar los 4 pasos del método en base a la integración de M(x,y) aquí, click aquí

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EJEMPLOS RESUELTOS

El primer ejemplo se realizó utilizando los 4 pasos descritos en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Exactas y revisar los pasos aquí, click aquí. Pues la integración del primer paso es más facil utilizando dichos pasos.

Los demás ejemplos se realizaron con los 4 pasos aquí listados.

Los pasos listados aquí o en el artículo citado: Ecuaciones Diferenciales Exactas, deben utilizarse indistintamente, solo guiados por el criterio de cúal de ellos resulta en un desarrollo más sencillo.

EJEMPLO 1

$ \large (y^2 e^{x y^2} + 4 x^3) d x + (2 x y e^{x y^2} - 3 y^2) d y = 0$

-Determinamos si es exacta la ED

$ M (x, y) = y^2 e^{x y^2} + 4 x^3$; $N (x, y) = 2 x y e^{x y^2} - 3 y^2$

$ \frac{\delta M}{\delta y} = y^2 (2 x y) e^{x y^2} + 2 y e^{x y^2}$; $ \frac{\delta N}{\delta x} = (2 x y) y^2 e^{x y^2} + 2 y e^{x y^2}$

-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:

$ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$

Resolvemos la ED de acuerdo a los pasos listados anteriormente

Paso 1.

\begin{eqnarray*} \int M (x, y) d x + g (y) & = & \int (y^2 e^{x y^2} + 4 x^3) d x + g (y) \\ & = & \int y^2 e^{x y^2} d x + 4 \int x^3 d x + g (y) \\ & = & e^{x y^2} + x^4 + g (y) \end{eqnarray*}

Paso 2.

\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\delta y} \int M (x, y) d x + g' (y) & = & N (x, y) \\ \frac{\delta}{\delta y} (e^{x y^2} + x^4) + g' (y) & = & 2 x y e^{x y^2} - 3 \\ y^2 \\ 2 x y e^{x y^2} + g' (y) & = & 2 x y e^{x y^2} - 3 y^2 \\ g' (y) & = & 2 x y e^{x y^2} - 3 y^2 - 2 x y e^{x y^2} \\ g' (y) & = & - 3 y^2 \end{eqnarray*}

Paso 3.

\begin{eqnarray*} g (y) & = & \int N (x, y) d y - \int \frac{\delta}{\delta y} \int M (x, y) d \\ x d y \\ & = & - 3 \int y^2 d y \\ & = & - \frac{3}{3} y^3 \\ & = & - y^3 \end{eqnarray*}

Paso 4.

\begin{eqnarray*} \int M (x, y) d x + g (y) & = & c \\ e^{x y^2} + x^4 - y^3 & = & c \end{eqnarray*}

La solución es:

$ \Large e^{x y^2} + x^4 - y^3 = c$

EJEMPLO 2

$ \large \left( x \sqrt{x^2 + y^2} - y \right) d x + \left( y \sqrt{x^2 + y^2} - x\right) d y = 0$

-Determinamos si es exacta la ED

$ M (x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2} - y$; $N (x, y) = y \sqrt{x^2 + y^2} -x^{}$

$ \frac{\delta M}{\delta y} = x \ast \frac{\delta (x^2 + y^2)}{\delta y} - 1$

$ \frac{\delta M}{\delta y} = x \ast \frac{1}{2} (x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2}} (2y) - 1$

$ \frac{\delta M}{\delta y} = x y (x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2}} - 1$

Además:

$ \frac{\delta N}{\delta x} = y \ast \frac{\delta (x^2 + y^2)}{\delta x} - 1$

$ \frac{\delta N}{\delta x} = y \ast \frac{1}{2} (x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2}} (2x) - 1$

$ \frac{\delta N}{\delta x} = x y (x^2 + y^2)^{- \frac{1}{2}} - 1$

-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:

$ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$

Resolvemos la ED de acuerdo a los 4 pasos listados

Paso 1.

\begin{eqnarray*} \int N (x, y) d y + h (x) & = & \int \left( y \sqrt{x^2 + y^2} - x \right) d \\ y + h (x) \\ & = & \int y \sqrt{x^2 + y^2} d y - x \int d y + h (x) \\ & = & \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} y d y - x \int d y + h (x) \\ & = & \frac{1}{2} \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} (2 y) d y - x \int d y + h \\ (x) \end{eqnarray*}

Consideramos:

$ u = x^2 + y^2$; $d u = 2 y$ y

$ \int u^n d u = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$

De modo que la integral:

$ \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} y d y = \frac{1}{2} \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} (2y) d x$

$ = \frac{1}{2}\left ( \frac{(x^{2}+y^{2})^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} \right )$

$ = \frac{1}{2}\left ( \frac{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right )$

$ = \frac{1}{2} \ast \frac{2}{3} \ast (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}$

$ = \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}$

Por lo que continuando con el Paso 1:

\begin{eqnarray*} \int N (x, y) dy + h (x) & = & \frac{1}{2} \int (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} (2 y) d y - x \int d y + h \\ (x) \\ & = & \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} - x y + h (x) \end{eqnarray*}

Paso 2.

\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y + h' (x) & = & M (x, y) \\ \frac{\delta}{\delta x} \left( \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} - x y \right) + h' (x) & = & x \sqrt{x^2 + y^2} - y \\ \frac{1}{3} \ast \frac{3}{2} \ast (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} (2 x) - y + h' \\ (x) & = & x \sqrt{x^2 + y^2} - y \\ x (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} - y + h' (x) & = & x (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} - y \\ h' (x) & = & 0 \end{eqnarray*}

Paso 3.

\begin{eqnarray*} h (x) & = & \int M (x, y) d x - \int \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d \\ y d x \\ h (x) & = & 0 \end{eqnarray*}

Paso 4.

\begin{eqnarray*} \int N (x, y) d y + h (x) & = & c \\ \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} - x y & = & c \end{eqnarray*}

De modo que el resultado es:

$ \large \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} - x y = c$

O escrito de forma alternativa:

$ \frac{1}{3} (x^2 + y^2) (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} - x y = c$

De modo que la solución se puede escribir como:

$ \Large \frac{1}{3} x^2 \sqrt{x^2 + y^2} + \frac{1}{3} y^2 \sqrt{x^2 + y^2} - x y =c$

EJEMPLO 3

$ \large (x + 2 y) d x + (2 x + y) d y = 0$

-Determinamos si es exacta la ED

$ M (x, y) = x + 2 y$; $ N (x, y) = 2 x + y^{}$

$ \frac{\delta M}{\delta y} = 2$; $ \frac{\delta N}{\delta x} = 2$

-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:

$ \frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$

Resolvemos la ED de acuerdo a los 4 pasos listados.

Paso 1.

\begin{eqnarray*} \int N (x, y) d y + h (x) & = & \int (2 x + y) d y + h (x) \\ & = & 2 x \int d y + \int y d y + h (x) \\ & = & 2 x y + \frac{y^2}{2} + h (x) \\ & = & \frac{y^2}{2} + 2 x y + h (x) \end{eqnarray*}

Paso 2.

\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d y + h' (x) & = & M (x, y) \\ \frac{\delta}{\delta x} \left( \frac{y^2}{2} + 2 x y \right) + h' (x) & = & \\ x + 2 y \\ 2 y + h' (x) & = & x + 2 y \\ h' (x) & = & x \end{eqnarray*}

Paso 3.

\begin{eqnarray*} h (x) & = & \int M (x, y) d x - \int \frac{\delta}{\delta x} \int N (x, y) d \\ y d x \\ & = & \int x d x \\ & = & \frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}

Paso 4.

\begin{eqnarray*} \int N (x, y) d y + h (x) & = & c \\ \frac{y^2}{2} + 2 x y + \frac{x^2}{2} & = & c \end{eqnarray*}

La solución es:

$ \Large \frac{y^2}{2} + 2 x y + \frac{x^2}{2} = c$

La representación gráfica en 3D de las curvas solución del Ejemplo 3, se muestra en la Figura 1 y 2.

ecuaciones diferenciales exactas ejemplos — **Figura 1.**

En la Figura 1, vemos una representación 3D de la ecuación $ \frac{y^2}{2} + 2 x y + \frac{x^2}{2} = c$

En la Figura 2, vemos una representación 3D de la ecuación $ \frac{y^2}{2} + 2 x y + \frac{x^2}{2} = c$

Les dejo el código de MATHEMATICA para obtener las gráficas y la solución del ejemplo 3 de acuerdo a los 4 pasos escritos en éste artículo.

Clear[P, Q]
P[x_, y_] := (x + 2*y)
Q[x_, y_] := (2*x + y)
(*Criterio de EXACTITUD*)
xx = Exct == Simplify[D[P[x, y], y] - D[Q[x, y], x]] (* Es exacta? *)

(*Paso 1*)
f3 = fx == Integrate[Q[x, y], y] + h[x]

(*Paso 2*)
df3 = D[f3[[2]], x] == P[x, y]

(*Paso 3*)
s3 = Solve[df3, h'[x]] // Expand

(*Paso 4*)
sf3 = hx == Integrate[s3[[1, 1, 2]], x]

sg3 = f == Evaluate [f3[[2]] /. h[x] -> sf3[[2]]] // Expand

s1 = Solve[sg3[[2]] == c, c] // Expand

(* COMPROBACIÓN *)
eqn = y'[x] == -P[x, y[x]]/Q[x, y[x]] (* Activar si es necesario *)
sol = DSolve[eqn, y[x], x] // Simplify
sols = Table[Evaluate[sol[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -8, 8}];

Plot[Tooltip[sols], {x, .1, 5}, PlotRange -> {-500, 500}, 
 PlotStyle -> Thick]

ContourPlot[x^2/2 + 2*x*y + y^2/2, {x, .1, 5}, {y, -500, 500}, 
 PlotPoints -> 100]

Plot3D[Evaluate[s1[[1, 1, 2]] /. {y[x] -> y}], {x, .1, 5}, {y, -500, 
 500}, MeshFunctions -> {#3 &}, Mesh -> 15, PlotPoints -> 100]

Plot3D[x^2/2 + 2*x*y + y^2/2, {x, .1, 5}, {y, -500, 500}, 
 PlotPoints -> 100]

Ecuaciones Diferenciales Exactas Ejemplos. Video

Aquí te dejo éste video para dejar claro, de una vez por todas, ¿Qué es una ecuación diferencial exacta? y ¿Cómo se construye el método de solución? entre otras cosas. Estoy seguro que te servirá mucho ;-)

Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones

Para que obtengas la confianza necesaria deberás practicar los ejercicios con las técnicas que te presento antes de analizarlos para preparar tu mente, de manera que luego, al estudiar los conceptos a fondo tengas toda la información necesaria y verás como todo se aclara, pues tendrás la información necesaria para que tu mente entienda con facilidad los conceptos más abstractos.

Da click aquí para leer sobre la mejor técnica para aprender ecuaciones diferenciales.

Encontraste la información que buscabas?

No, necesito más ejemplos. (da click aquí)
Necesito Ejemplo de Ecuaciones Diferenciales NO Exactas hechas Exactas:
click aquí Ejemplo #1
click aquí Ejemplo #2
;-)

Te invito a que me contactes aquí para cualquier sugerencia sobre la página y si tienes una duda en particular sobre el tema tratado, por favor, deja tu comentario al final de esta página. Que estés bien. ;)

17 comentarios de la comunidad

Preguntas y aportes reales de lectores a lo largo de los años. Se conservan tal como se publicaron originalmente.

Ira16 de agosto de 2015
Esta bien explicado todo paso por paso me gusta
- Manuel Alejandro Vivas Riverol18 de agosto de 2015
  Ira, gracias por tu comentario. Esa es la idea, que sirva de ayuda efectiva. ;-) Saludos
lobo28 de septiembre de 2015
Buenos días. discúlpa podrías ayudarme con está ecuación (x^2 + y/x)dx +(lnx+2y)dy=0 muchas gracias.
Ale13 de octubre de 2015
Buenas podrias ayudarme con esta ecuacion?: (3y^2-x^2)y^-5dy + x/2y^-4dx=0 Gracias :)
- Manuel Alejandro Vivas Riverol16 de octubre de 2015
  Ale Una disculpa por no haber podido responder antes =S Mi interpretación del ejercio es: $$(3y^{2}-x^{2})y^{-5}dy+\frac{x}{2}y^{-4}dx=0$$ Es correcta? Te agradezco me señales si estoy interpretando bien la ED. Te rrespondo lo más pronto posible Saludos
pelayo24 de octubre de 2017
por que en ocasiones se integra a N? por ejemplo en el ejercicio No. 2
- Manuel Alejandro Vivas Riverol24 de octubre de 2017
  Porque es la única forma o por que es la opción más sencilla
  - pelayo24 de octubre de 2017
    Gracias!!
Laura3 de junio de 2018
Hola tengo una pregunta acerca de esta ecuación diferencial exacta: (2ye^x)dx + (4e^x+5y^3)dy = 0, ya que utilizo el factor integrante "y", la solución que me da es c=2y^2e^x+y^5, y me piden que resuelva el PVI y(0)=1 y no me sale. Cuál es el error?
- Manuel Alejandro Vivas Riverol3 de junio de 2018
  Hola Laura Simplemente sustituye en el resultado, es decir en: $y\left(x\right)^{5} + 2 \, e^{x} y\left(x\right)^{2} = C$, para casa valor de $x$ le pones $0$ y para cada valor de $y$ le pones $1$, te debe dar $C = 3$ Desarrollo: $y\left(x\right)^{5} + 2 \, e^{x} y\left(x\right)^{2} = C$ es igual a: $y^{5} + 2 \, e^{x}y^{2} = C$ entonces: $(1)^{5} + 2 \, e^{0} (1)^{2} = C$ Y resuelves para $C$ De modo que: $(1)^{5} + 2 (1) (1)^{2} = C$ Por lo que: $C = 3$
  - Laura4 de junio de 2018
    Vale muchas gracias. Sabe si el resultado de dicha ecuación es el correcto?
    - Manuel Alejandro Vivas Riverol5 de junio de 2018
      El resulado que me enviaste es correcto, cuando $C = 3$, es decir; $y\left(x\right)^{5} + 2 \, e^{x} y\left(x\right)^{2} = 3$
Juan Guillermo Echavarría Trujillo25 de febrero de 2019
Hola Alejandro. Si la ecuación no me da exacta en el chequeo previo para aplicar los 4 pasos que debo hacer?
- Manuel Alejandro Vivas Riverol26 de febrero de 2019
  Hola Juan, en el caso que mencionas, lo que debes hacer, en caso de que quieras revisar si puedes convertirla en exacta, puedes buscar un factor integrante, para ese caso, utiliza el siguiente ejemplo: Ecuación Diferencial NO exacta hecha exacta, click aquí Saludos
Juan Carlos Miranda24 de abril de 2019
Hola Alejandro tengo dudas como hacer esta ecuacion diferencial exacta (xy^3+1)dx-x^2 y^2 dy = 0
- Manuel Alejandro Vivas Riverol5 de mayo de 2019
  Juan Calos: M = $xy^{3}+1$ N = $x^{2}y^{2}$ y sigue los pasos del ejemplo, si no es exacta prueva ver si la puedes convertir en una, utiliza ése artículo:ED No exacta hecha Exacta Espero te sirva la orientación, de todas formas, con gusto te ayudo a detalle si no puedes resolver la ED y sería con costo.
Jonhny13 de abril de 2020
Este es un libro? Se puede comprar el libro
- Manuel Alejandro Vivas Riverol13 de abril de 2020
  Dale click a la imagen Jonhny, para que vayas a la pagina de venta. Saludos

Únete a la conversación

Cargando…