Series de Fourier: Funciones Pares e Impares

Con éste artículo aprenderás a reconocer fácilmente a las funciones pares e impares lo que te ayudará a resolver Series de Fourier mediante la obtención de los coeficientes de la misma cuando abordes funciones con éstas características: funciones pares e impares.

Al final del artículo te mostramos las formulas simplificadas de la Serie de Fourier donde se utiliza la definición de función par e impar para obtener los coeficientes de ésta serie.

La definición de Serie de Fourier

La Serie de Fourier de una función $f$ definida en el intervalo $(-p,p)$, está dada por:

$$f (x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n = 1} \left( a_n \cos \frac{n\pi}{p} x + b_n \sin \frac{n \pi}{p} x \right)$$

donde:

$$a_0 = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) d x$$

$$a_n = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) \cos \frac{n \pi}{p} x d x$$

$$b_n = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) \sin \frac{n \pi}{p} x d x$$

Donde, $a_0$, $a_n$, $b_n$ son los coeficientes de la Serie de Fourier, $p$ es la mitad del periodo base de la funcion $f$ y $n = 1, 2, 3, \ldots .$ es el número de término de la Serie de Fourier (más propiamente se le puede entender como el número de Armónico de la Serie de Fourier).

Estas fórmulas permiten obtener los coeficientes ($a_0$, $a_n$, $b_n$) de las Serie de Fourier de la función $f$ en cuestión; es decir, nos permiten obtener los coeficientes: $a_0$, $a_n$ y $b_n$ de la función $f(x)$ a la cual se le quiere escribir como una Serie de Fourier.

Ahora, el cálculo de éstos coeficientes puede ser simplificado de manera dramática, sobre todo en la cantidad de cálculos realizados, para los casos en donde las funciones son pares o impares.

Función Par

El concepto es muy sencillo. $f (x)$ es una función par en $[- p, p]$ si: $$f (- x) = f (x)$$ para $- p \leqslant x \leqslant p$.

Ejemplos:

1. $f (x) = x^2$ esto implica que: $f (- x) = (- x)^2 = x^2 = f (x)$
2. $f (x) = \cos \left( \frac{5 \pi x}{3} \right)$ esto implica que : $f (- x) = \cos \left( \frac{5 \pi (- x)}{3} \right) = \cos \left( \frac{5 \pi x}{3} \right)$ ya que: $\cos (- x) = \cos (x)$
3. $f (x) = e^{- | x |}$ esto implica que: $f (- x) = e^{- | (- x) |} = e^{- | x |}$
4. $f (x) = \left\{ \begin{array}{c} x + 5, – 2 < x < 0\\ – x + 5, 0 \leqslant x < 2 \end{array} \right.$ es par, ya que $f (- x) = f (x)$

Función Impar

De igual manera $f (x)$ es una función impar en $[- p, p]$ si: $$f (- x) = – f (x)$$ para $- p \leqslant x \leqslant p$.

Ejemplos:

1. $f (x) = x^3$ es impar, ya que $f (- x) = (- x)^3 = – x^3 = – f (x)$
2. $f (x) = \sin \left( \frac{n \pi x}{p} \right)$ es impar, ya que: $f (- x) = \sin \left( \frac{n \pi (- x)}{p} \right) = – \sin \left( \frac{n \pi x}{p} \right) = – f (x)$ [notar que: \sin$(- x) = – \sin (x)$], donde: $n$ y $p$ son constantes.
3. $f (x) = x \cos (x)$ es impar, ya que $f (- x) = (- x) \cos ((- x)) = – x \cos (x) = – f (x)$
4. $f (x) = \left\{ \begin{array}{l} – 1, – \pi < x < 0\\ 1, 0 < x < \pi \end{array} \right.$ es impar, ya que $f (- x) = – f (x)$

Es importante también saber que la mayoría de las funciones no son ni par ni impar, aunque cada función $g(x)$ puede ser escrita como la suma de una función par mas una función impar, como veremos más adelante$.

Ejemplo:

1. $f (x) = e^x$, ya que $f (- x) = e^{- x}$ donde $e^{- x} \neq e^x \neq – e^x$

Una forma de poder «ver» qué tipo de función es la que tenemos, es graficándola, ya que el efecto directo de las condiciones mencionadas son visibles.

Gráficas de funciones par e impar

Ahora presentamos ejemplos de gráficas de las funciones par e impar y un ejemplo de una que no cae en ninguna de esas definiciones.

Cuando una función es par, su gráfica en el intervalo $- p \leqslant x \leqslant 0$ es una reflexión sobre el eje $y$ de la gráfica del intervalo $0 \leqslant x \leqslant p$, ejemplo:

De manera similar, cuando una función es impar, su gráfica en el intervalo $- p \leqslant x \leqslant 0$ es una reflexión respecto del origen de la gráfica del intervalo $0 \leqslant x \leqslant p$, ejemplo:

Por último, podemos una función que no es par ni impar, es la fución: $e^x$, veamos sus gráficas para $f (x)$, $f (- x)$ y $- f(x)$.

Ahora, para hacer las simplificaciones a las formulas de la Serie de Fourier enlistadas arriba, es necesario conocer las propiedades de las fuciones pares e impares, las cuales se enlistan a continuación.

Propiedades de las fuciones par e impar

Sea $f$ y $g$ funciones par y $h$ y $u$ funciones impar, entonces:

1. El producto de $f \ast g$ da como resultado una función par
2. El producto de $h \ast u$ da como resultado una función par
3. Los productos de funciones par e impar (ejemplo,$f \ast h$ ó $f \ast u$ ó $g \ast h$ ó $g \ast u$) da como resultado una función impar
4. $f \pm g$ es par
5. $h \pm u$ es impar
6. $\int^a_{- a} f (x) d x = 2 \int^a_0 f (x) d x$, ($f$ es función par)
7. $\int^a_{- a} h (x) d x = 0$, ($h$ es una función impar)

Considerando lo anterior, será clara la metodología que utilizaremos para obtener la Serie de Fourier de una función f, la cual describimos a continuación.

Encuentra las partes pares e impares de una función

Toda función $g(x)$ puede ser escrita como la suma de una función par y una función impar:

$$g(x)=g_{par}\left(x\right)+g_{impar}\left(x\right)$$

donde:

$g_{par}\left(-x\right)=g_{par}\left(x\right)$ y

$g_{impar}\left(-x\right)=g_{impar}\left(x\right)$

Encontrar la función par e impar de la función $e^{x}$

Solución.

Existen varias formas de abordar el problema, he escogido la que me ha parecido más clara y que puede ser prevista mediante una secuencia de razonamientos puntales, si recordamos ciertas definiciones de cursos previos.

Podemos abordarla desde la definición de las funciones hiperbólicas de $\cosh{(x)}$ y $\sinh{(x)}$ o desde la definición de la serie de Maclaurin para la función exponencial $e^{x}$

Tomaremos la última por ser más fácil mostrar que los resultados son, efectivamente, funciones par e impar.

Veamos el siguiente video:

Pizarron

Dale doble click a la imagen de abajo para ver el ejercicio que desarrollamos en el video.

Metodologías para calcular la Serie de Fourier de funciones pares o impares

→ Definimos si la función es par o impar o ninguna de éstas. Podemos clarificar su tipo graficándola ó aplicándoles la definición de función par o impar.
→ Si la función $f$ es par en el intervalo $\left(-p,p\right)$, su Serie de Fourier, es la serie de cosenos:

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n = 1} a_n \cos \frac{n\pi}{p} x$$

donde:

$$a_0 = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) d x$$

$$a_n = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) \cos \frac{n \pi}{p} x d x$$

→ Si la función $f$ es impar en el intervalo $\left(-p,p\right)$, su Serie de Fourier es la serie de senos:

$$f (x) = \sum^{\infty}_{n = 1} b_n \sin \frac{n \pi}{p} x$$

donde:

$$b_n = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) \sin \frac{n \pi}{p} x d x$$

Una ecuación para mí, no significa nada a menos que exprese un pensamiento de Dios.

~Srivanasa Ramanujan

Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones e IA

Por último, si quieres saber cómo calcular la Serie de Fourier utilizando éstas propiedades de las par o impar puedes ver nuestro artículo: CÓMO CALCULAR LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN PARTES, click aquí