MÉTODO PARA FUNCIONES PARES O IMPARES
Después de terminar de leer éste artículo podrás calcular la Serie de Fourier de una función definida en partes (dividida a trozos), mediante una metodología ordemada y clara; donde ésta función sea par o impar.
Además, y como consecuencia, aprenderás a obtener la serie de Fourier de funciones pares o impares que no estén definidas por intervalos, siempre y cuando puedas definir el periodo base de una función
Para esclarecer qué significa una función par o impar puedes ver el artículo: Funciones pares e impares y la Serie de Fourier, click aquí
La definición de Serie de Fourier
La Serie de Fourier de una función $f$ definida en el intervalo $(-p,p)$, está dada por:
$$f (x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n = 1} \left( a_n \cos \frac{n\pi}{p} x + b_n \sin \frac{n \pi}{p} x \right)$$
donde:
$$a_0 = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) d x$$
$$a_n = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) \cos \frac{n \pi}{p} x d x$$
$$b_n = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) \sin \frac{n \pi}{p} x d x$$
Donde, $a_0$, $a_n$, $b_n$ son los coeficientes de la Serie de Fourier, $p$ es la mitad del periodo base de la funcion $f$ y $n = 1, 2, 3,$ … es el número de término de la Serie de Fourier (más propiamente se le puede entender como el número de Armónico de la Serie de Fourier).
Funciones pares e impares
Para nuestro propósito de calcular la Serie de Fourier de una función dividida en partes cuando sea par o impar, no es necesario utilizar la definición anterior, si no utilizar las propiedades matemáticas de las funciones pares o impares para simplificar los cálculos de la Serie.
En el artículo Funciones pares e impares y la Serie de Fourier click aquí, se puede ver a detalle las propiedades de dichas funciones que a continuación utilizaremos para realizar nuestros calculos.
Metodologías para calcular la serie de Fourier de una función definida en partes si ésta es una función par o impar
- Definimos si la función es par o impar o ninguna de éstas. Podemos clarificar su tipo graficándola.
- Definimos el periodo base (p) de la función $f(t)$
- Si la función $f$ es par en el intervalo $(- p, p)$, su Serie de Fourier, es la serie de cosenos: $$f (x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n = 1} a_n \cos \frac{n\pi}{p} x$$ donde: $$a_0 = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) d x$$ $$a_n = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) \cos \frac{n \pi}{p} x d x$$
- Si la función $f$ es impar en el intervalo $(- p, p)$, su Serie de Fourier es la serie de senos: $$f (x) = \sum^{\infty}_{n = 1} b_n \sin \frac{n \pi}{p} x$$ donde: $$b_n = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) \sin \frac{n \pi}{p} x d x$$
Ejemplos de cómo calcular la Serie de Fourier de una función definida en partes cuando es par o impar (funciones divididas a trozos)
Ejemplo 1. Calcular la Serie de Fourier de la función: $$\Large f (t) = \left\{ \begin{array}{l} 5, 0 < t < \pi\\ – 5, \pi < t < 2 \pi \end{array} \right. $$
Considerando que al extender la función en el eje negativo de $t$ en forma periodica, la función es impar.
Solución.
Según la metodología anterior, definimos si:
- La función es par o impar. Para éste caso, el problema menciona que se considere como impar la función en la extensión sobre el eje negativo de $t$; es decir, tomar su extensión del lado negativo del eje de $t$ como simétrica respecto del origen.
De modo que, podemos decir que: $$f (t) = \left\{ \begin{array}{l} 5, – 2 \pi < t < – \pi\\ – 5, – \pi < t < 0\\ 5, 0 < t < \pi\\ – 5, \pi < t < 2 \pi \end{array} \right. $$ Graficándola, vemos que:

- Periodo base ($p$) de una funcion $f(t)$. Antes de comenzar con los cálculos, debemos notar que el periodo base de la función $f$ es $2 \pi$; es decir, $p = \pi$ (ya que de $- p$ a $p$ [o de $- \pi$ a $\pi$], la función $f$ cumple un ciclo completo, que es el que se repide de nuevo en los demás intervalos similares), de modo que ahora podemos calcular los coeficientes de la Serie.
- La función es impar, de modo que utilizamos las fórmulas para la serie de senos de la Serie de Fourier de una función que vimos anteriormente: $$f (x) = \sum^{\infty}_{n = 1} b_n \sin \frac{n \pi}{p} x$$ donde: $$b_n = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) \sin \frac{n \pi}{p}x dx$$
Calculo de los coeficientes de la Serie de Fourier de una función dividida en partes
Ahora mostramos el cálculo del coeficiente $b_{n}$ para la Serie de Fourier, (función impar), y la justificación de por qué utilizar la formula reducida: $b_{n}=\frac{2}{p}\int^{p}_{0}f(x) \sin(\frac{n π}{px}) d x$
De modo que para nuestra función:
$$f (t) = \left\{ \begin{array}{l} 5, – 2 \pi < t < – \pi\\ – 5, – \pi < t < 0\\ 5, 0 < t < \pi\\ – 5, \pi < t < 2 \pi \end{array} \right. $$
Al ser impar, solo es necesario el cálculo del coeficiente $b_{n}$. Para éste propósito extraemos el periodo base que va desde $-\pi<t<\pi$ según vemos en la Figura 1, pues los demás intervalos solo son una repetición de éste.
Calculamos primero el coeficiente, $b_n$: $$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \int^0_{- \pi} – 5 \sin (n t) d t + \int^{\pi}_0 5 \sin (n t) d t \right] $$
Esto implica:
$$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \int^0_{- \pi} \underbrace{- 5 \sin (nt)}_{\text{función par}} d t + \int^{\pi}_0 \underbrace{5 \sin (n t)}_{\text{función par}} d t \right] $$
Debido a que el producto de dos funciones impares da como resultado una función par(como lo dice la propiedad numero $2$ para las funciones pares e impares vistas anteriormente), tenemos que podemos aplicar la propiedad $6$ de éstas funciones, de modo que podemos escribir:
\begin{eqnarray*} b_n & = & \frac{1}{\pi} \left[ \int^0_{- \pi} – 5 \sin (n t) d t + \int^{\pi}_0 5 \sin (n t) d t \right]\\ & = & \frac{2}{\pi} \left[ \int^{\pi}_0 5 \sin (n t) d t \right] \end{eqnarray*}
Desarrollo de la fórmula $b_{n}$ reducida
aplicando la propiedad $6$, por tanto, desarrollamos:
\begin{eqnarray*} b_n & = & \frac{2}{\pi} \left[ \int^{\pi}_0 5 \sin (n t) d t \right]\\ & = & \frac{10}{\pi} \left[ \int^{\pi}_0 \sin (n t) d t \right]\\ & = & \frac{10}{\pi} \left( \left. – \frac{\cos (n t)}{n} \right]^{\pi}_0 \right)\\ & = & \frac{10}{n \pi} (- \cos (n \ast \pi) + \cos (n \ast 0))\\ & = & \frac{10}{n \pi} (- (- 1)^n + 1)\\ & = & \frac{10}{\pi} \left( \frac{1 – (- 1)^n}{n} \right)\\ b_n & = & \left\{ \begin{array}{l} 0, \text{n par}\\ \frac{- 20}{n \pi}, \text{n impar} \end{array} \right.\end{eqnarray*}
Por tanto, sustituyendo éste resultado en la fórmula para la Serie de Fourier de funciones impares, la cual es:
$$f (x) = \sum^{\infty}_{n = 1} b_n \sin \frac{n \pi}{p} x $$ | (1) |
tenemos:
\begin{eqnarray*} f (t) & = & \sum^{\infty}_{n = 1} b_n \sin (n t) \end{eqnarray*} debido a que $p = \pi$ y $x=t$ para nuestro caso. Ahora, sustituyendo el valor de $b_n$ en la fórmula (1):
\begin{eqnarray*} f (t) & = & \sum^{\infty}_{n = 1} b_n \sin (n t)\\ & = & \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{10}{\pi} \left( \frac{1 – (- 1)^n}{n} \right) \sin (n t)\\ & = & \frac{10}{\pi} \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{1 – (- 1)^n}{n} \sin(n t) \end{eqnarray*}
El cual es la Serie de Fourier buscada para la función $f$. Es decir, la Serie de Fourier para la función $f$ es: $$\Large f (t) = \frac{10}{\pi} \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{1 – (- 1)^n}{n} \sin (n t) $$
Formas alternativas para el resultado obtenido
Sin embargo, para simplificar los casos donde los armónicos (o términos) de la Serie de Fourier son cero (debido a que para $t = – \pi$, $t = 0$ y $t = \pi$ el seno converge a $0$), podemos escribir:
$$f (t) = \frac{10}{\pi} \sum_{n- impar} \frac{1 – (- 1)^n}{n} \sin (n t) $$ ó $$f (t) = \frac{10}{\pi} \sum^{\infty}_{k = 0} \frac{1 – (- 1)^{k + 1}}{k + 1} \sin ((k + 1) t) $$ para evitar los resultados iguales a cero.
Gráficas de la Serie de Fourier de la función $f(t)$ del Ejemplo 1, para diferentes cantidades de armónicos
El cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier que a continuación se muestran en las gráficas, se obtuvieron mediante el software MATHEMATICA, donde se programó la ecuación (1); dicho código se presenta más adelante.
La gráfica de la Serie de Fourier resultante, sobrepuesta a la de la función $f(t)$ original, se puede ver para diferentes numeros de armónicos(o términos de la Serie).



Código de MATHEMATICA para calcular la Serie de Fourier
Clear[f] (*Definición de la función dividada en partes f(t)*) f[t_] := 5 /; -2Pi <= t < -Pi f[t_] := -5 /; -Pi < t < 0 f[t_] := 5 /; 0 < t < Pi f[t_] := -5 /; Pi < t <= 2Pi (*Gráfica de la función f(t)*) graphf = Plot[f[t], {t, -2Pi, 2Pi}, AxesStyle -> Directive[Thick, RGBColor[252, 176, 62], 18], PlotStyle -> Directive[Bold, Orange], PlotLabel -> Style[f, {Orange, 28}], Ticks -> {{-2Pi, -Pi, 0, Pi, 2Pi}, {5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5}}, TicksStyle -> Directive[White, 16]]; (*Valor de los límites de integración*) p = Pi; (*Cálculo de los coeficientes: a0, an, bn*) Print["Valor para a0: "] a[0] = If[NIntegrate[f[t], {t, -p, p}]/(2p) > 10^-10, NIntegrate[f[t], {t, -p, p}]/(2p), 0]; a[0] a[n_] := If[NIntegrate[f[t]*Cos[n*t], {t, -p, p}]/p > 10^-10, NIntegrate[f[t]Cos[n*t], {t, -p, p}]/p, 0]; b[n_] := If[NIntegrate[f[t]*Sin[n*t], {t, -p, p}]/p > 10^-10, NIntegrate[f[t]Sin[n*t], {t, -p, p}]/p, 0]; (*Tabla para los valores de an, bn*) Print["Valores para an y bn: "] coeff = Table[{a[i], b[i]}, {i, 1, 11}]; TableForm[coeff, TableHeadings -> {{}, {an, bn}}] (*Cálculo de la Serie de Fourier*) fs[k_, t_] := coeff[[k, 1]]*Cos[k*t] + coeff[[k, 2]]*Sin[k*t] fourier[n_, t_] := a[0] + Sum[fs[k, t], {k, 1, n}]; (*Serie de Fourier para f(t) para diferenctes cantidades de armónicos*) Print["\nSerie de Fourier para f(t) para diferentes cantidades de \ armónicos"]; Print["\nSerie de Fourier para f(t) con 1 armónicos"]; fourier[2, t] Print["\nSerie de Fourier para f(t) con 2 armónicos"]; fourier[3, t] Print["\nSerie de Fourier para f(t) con 3 armónicos"]; fourier[5, t] Print["\nSerie de Fourier para f(t) con 5 armónicos"]; fourier[9, t] Print["\nSerie de Fourier para f(t) con 6 armónicos"]; fourier[11, t] (*Gráficas de la Serie de Fourier para la función f(t) sobrepuesta con la gráfica de la función original*) Print["\nGráfica de la Serie de Fourier para la función f(t) \ sobrepuesta con la gráfica de la función original"] graphtwo = Plot[fourier[2, t], {t, -2Pi, 2Pi}, AxesStyle -> Directive[Thick, RGBColor[252, 176, 62], 18], PlotStyle -> Directive[Bold, Green], PlotLabel -> Style[f, {Orange, 28}], Ticks -> {{-2Pi, -Pi, 0, Pi, 2Pi}, {5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5}}, TicksStyle -> Directive[White, 16]]; bothtwo = Show[graphtwo, graphf] graphfive = Plot[fourier[5, t], {t, -2Pi, 2Pi}, AxesStyle -> Directive[Thick, RGBColor[252, 176, 62], 18], PlotStyle -> Directive[Bold, Green], PlotLabel -> Style[f, {Orange, 28}], Ticks -> {{-2Pi, -Pi, 0, Pi, 2Pi}, {5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5}}, TicksStyle -> Directive[White, 16]]; bothfive = Show [graphfive, graphf] graphnine = Plot[fourier[9, t], {t, -2Pi, 2Pi}, AxesStyle -> Directive[Thick, RGBColor[252, 176, 62], 18], PlotStyle -> Directive[Bold, Green], PlotLabel -> Style[f, {Orange, 28}], Ticks -> {{-2Pi, -Pi, 0, Pi, 2Pi}, {5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5}}, TicksStyle -> Directive[White, 16]]; bothnine = Show [graphnine, graphf] graph11 = Plot[fourier[11, t], {t, -2Pi, 2Pi}, AxesStyle -> Directive[Thick, RGBColor[252, 176, 62], 18], PlotStyle -> Directive[Bold, Green], PlotLabel -> Style[f, {Orange, 28}], Ticks -> {{-2Pi, -Pi, 0, Pi, 2Pi}, {5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5}}, TicksStyle -> Directive[White, 16]]; both11 = Show [graph11, graphf] Show[GraphicsRow[{bothtwo, bothfive}]]
LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN PARTES Y SUS APLICACIONES
La Serie de Fourier es muy importante para muchas aplicaciones en ingeniería y física, desde problemas de control o creación de filtros digitales hasta el procesado digital de imágenes; desde el análisis de sonido hasta la solución de problemas de ecuaciones diferenciales parciales de la ecuación de la onda o la del calor.
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Buenas noches para ayuda en resolver un problema por método de reducción de orden. Gracias.
Rafael, e respondí me parece ya por facebook.
si no es así, mándame un mensaje por inbox en la página de facebook del sitio web, aquí te dejo el enlace:
Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones
Saludos
Buenos días para ayuda para resolver un problema por serie de Fourier.
De momento, no podría atenderte Mariana, pero pronto tendremos varios asesores con los que podrás contar. Un disculpa
$y\left(x+x^2senx-3xy^4\right)dx-3x^2dy$ por fa quien me ayauda con por el metodo de bernulli