MÉTODO PARA FUNCIONES PARES O IMPARES

Después de terminar de leer éste artículo podrás calcular la Serie de Fourier de una función definida en partes (dividida a trozos), mediante una metodología ordemada y clara; donde ésta función sea par o impar.

Además, y como consecuencia, aprenderás a obtener la serie de Fourier de funciones pares o impares que no estén definidas por intervalos, siempre y cuando puedas definir el periodo base de una función

Para esclarecer qué significa una función par o impar puedes ver el artículo: Funciones pares e impares y la Serie de Fourier, click aquí

La definición de Serie de Fourier

La Serie de Fourier de una función $f$ definida en el intervalo $(-p,p)$, está dada por:

$$f (x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n = 1} \left( a_n \cos \frac{n\pi}{p} x + b_n \sin \frac{n \pi}{p} x \right)$$

donde:

$$a_0 = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) d x$$

$$a_n = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) \cos \frac{n \pi}{p} x d x$$

$$b_n = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) \sin \frac{n \pi}{p} x d x$$

Donde, $a_0$, $a_n$, $b_n$ son los coeficientes de la Serie de Fourier, $p$ es la mitad del periodo base de la funcion $f$ y $n = 1, 2, 3,$ … es el número de término de la Serie de Fourier (más propiamente se le puede entender como el número de Armónico de la Serie de Fourier).

Funciones pares e impares

Para nuestro propósito de calcular la Serie de Fourier de una función dividida en partes cuando sea par o impar, no es necesario utilizar la definición anterior, si no utilizar las propiedades matemáticas de las funciones pares o impares para simplificar los cálculos de la Serie.

En el artículo Funciones pares e impares y la Serie de Fourier click aquí, se puede ver a detalle las propiedades de dichas funciones que a continuación utilizaremos para realizar nuestros calculos.

Metodologías para calcular la serie de Fourier de una función definida en partes si ésta es una función par o impar

• Definimos si la función es par o impar o ninguna de éstas. Podemos clarificar su tipo graficándola.
• Definimos el periodo base (p) de la función $f(t)$
• Si la función $f$ es par en el intervalo $(- p, p)$, su Serie de Fourier, es la serie de cosenos: $$f (x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n = 1} a_n \cos \frac{n\pi}{p} x$$ donde: $$a_0 = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) d x$$ $$a_n = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) \cos \frac{n \pi}{p} x d x$$
• Si la función $f$ es impar en el intervalo $(- p, p)$, su Serie de Fourier es la serie de senos: $$f (x) = \sum^{\infty}_{n = 1} b_n \sin \frac{n \pi}{p} x$$ donde: $$b_n = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) \sin \frac{n \pi}{p} x d x$$

Ejemplos de cómo calcular la Serie de Fourier de una función definida en partes cuando es par o impar (funciones divididas a trozos)

Ejemplo 1. Calcular la Serie de Fourier de la función: $$\Large f (t) = \left\{ \begin{array}{l} 5, 0 < t < \pi\\ – 5, \pi < t < 2 \pi \end{array} \right. $$

Considerando que al extender la función en el eje negativo de $t$ en forma periodica, la función es impar.
Solución.

Según la metodología anterior, definimos si:

• La función es par o impar. Para éste caso, el problema menciona que se considere como impar la función en la extensión sobre el eje negativo de $t$; es decir, tomar su extensión del lado negativo del eje de $t$ como simétrica respecto del origen.

De modo que, podemos decir que: $$f (t) = \left\{ \begin{array}{l} 5, – 2 \pi < t < – \pi\\ – 5, – \pi < t < 0\\ 5, 0 < t < \pi\\ – 5, \pi < t < 2 \pi \end{array} \right. $$ Graficándola, vemos que:

• Periodo base ($p$) de una funcion $f(t)$. Antes de comenzar con los cálculos, debemos notar que el periodo base de la función $f$ es $2 \pi$; es decir, $p = \pi$ (ya que de $- p$ a $p$ [o de $- \pi$ a $\pi$], la función $f$ cumple un ciclo completo, que es el que se repide de nuevo en los demás intervalos similares), de modo que ahora podemos calcular los coeficientes de la Serie.

• La función es impar, de modo que utilizamos las fórmulas para la serie de senos de la Serie de Fourier de una función que vimos anteriormente: $$f (x) = \sum^{\infty}_{n = 1} b_n \sin \frac{n \pi}{p} x$$ donde: $$b_n = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) \sin \frac{n \pi}{p}x dx$$

Calculo de los coeficientes de la Serie de Fourier de una función dividida en partes

Ahora mostramos el cálculo del coeficiente $b_{n}$ para la Serie de Fourier, (función impar), y la justificación de por qué utilizar la formula reducida: $b_{n}=\frac{2}{p}\int^{p}_{0}f(x) \sin(\frac{n π}{px}) d x$

De modo que para nuestra función:

$$f (t) = \left\{ \begin{array}{l} 5, – 2 \pi < t < – \pi\\ – 5, – \pi < t < 0\\ 5, 0 < t < \pi\\ – 5, \pi < t < 2 \pi \end{array} \right. $$

Al ser impar, solo es necesario el cálculo del coeficiente $b_{n}$. Para éste propósito extraemos el periodo base que va desde $-\pi<t<\pi$ según vemos en la Figura 1, pues los demás intervalos solo son una repetición de éste.

Calculamos primero el coeficiente, $b_n$: $$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \int^0_{- \pi} – 5 \sin (n t) d t + \int^{\pi}_0 5 \sin (n t) d t \right] $$
Esto implica:
$$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \int^0_{- \pi} \underbrace{- 5 \sin (nt)}_{\text{función par}} d t + \int^{\pi}_0 \underbrace{5 \sin (n t)}_{\text{función par}} d t \right] $$

Debido a que el producto de dos funciones impares da como resultado una función par(como lo dice la propiedad numero $2$ para las funciones pares e impares vistas anteriormente), tenemos que podemos aplicar la propiedad $6$ de éstas funciones, de modo que podemos escribir:
\begin{eqnarray*} b_n & = & \frac{1}{\pi} \left[ \int^0_{- \pi} – 5 \sin (n t) d t + \int^{\pi}_0 5 \sin (n t) d t \right]\\ & = & \frac{2}{\pi} \left[ \int^{\pi}_0 5 \sin (n t) d t \right] \end{eqnarray*}

Desarrollo de la fórmula $b_{n}$ reducida

aplicando la propiedad $6$, por tanto, desarrollamos:

\begin{eqnarray*} b_n & = & \frac{2}{\pi} \left[ \int^{\pi}_0 5 \sin (n t) d t \right]\\ & = & \frac{10}{\pi} \left[ \int^{\pi}_0 \sin (n t) d t \right]\\ & = & \frac{10}{\pi} \left( \left. – \frac{\cos (n t)}{n} \right]^{\pi}_0 \right)\\ & = & \frac{10}{n \pi} (- \cos (n \ast \pi) + \cos (n \ast 0))\\ & = & \frac{10}{n \pi} (- (- 1)^n + 1)\\ & = & \frac{10}{\pi} \left( \frac{1 – (- 1)^n}{n} \right)\\ b_n & = & \left\{ \begin{array}{l} 0, \text{n par}\\ \frac{- 20}{n \pi}, \text{n impar} \end{array} \right.\end{eqnarray*}

Por tanto, sustituyendo éste resultado en la fórmula para la Serie de Fourier de funciones impares, la cual es:

$$f (x) = \sum^{\infty}_{n = 1} b_n \sin \frac{n \pi}{p} x $$

(1)

tenemos:

\begin{eqnarray*} f (t) & = & \sum^{\infty}_{n = 1} b_n \sin (n t) \end{eqnarray*} debido a que $p = \pi$ y $x=t$ para nuestro caso. Ahora, sustituyendo el valor de $b_n$ en la fórmula (1):

\begin{eqnarray*} f (t) & = & \sum^{\infty}_{n = 1} b_n \sin (n t)\\ & = & \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{10}{\pi} \left( \frac{1 – (- 1)^n}{n} \right) \sin (n t)\\ & = & \frac{10}{\pi} \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{1 – (- 1)^n}{n} \sin(n t) \end{eqnarray*}

El cual es la Serie de Fourier buscada para la función $f$. Es decir, la Serie de Fourier para la función $f$ es: $$\Large f (t) = \frac{10}{\pi} \sum^{\infty}_{n = 1} \frac{1 – (- 1)^n}{n} \sin (n t) $$

Formas alternativas para el resultado obtenido

Sin embargo, para simplificar los casos donde los armónicos (o términos) de la Serie de Fourier son cero (debido a que para $t = – \pi$, $t = 0$ y $t = \pi$ el seno converge a $0$), podemos escribir:

$$f (t) = \frac{10}{\pi} \sum_{n- impar} \frac{1 – (- 1)^n}{n} \sin (n t) $$ ó $$f (t) = \frac{10}{\pi} \sum^{\infty}_{k = 0} \frac{1 – (- 1)^{k + 1}}{k + 1} \sin ((k + 1) t) $$ para evitar los resultados iguales a cero.

Gráficas de la Serie de Fourier de la función $f(t)$ del Ejemplo 1, para diferentes cantidades de armónicos

El cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier que a continuación se muestran en las gráficas, se obtuvieron mediante el software MATHEMATICA, donde se programó la ecuación (1); dicho código se presenta más adelante.

La gráfica de la Serie de Fourier resultante, sobrepuesta a la de la función $f(t)$ original, se puede ver para diferentes numeros de armónicos(o términos de la Serie).

Código de MATHEMATICA para calcular la Serie de Fourier

Clear[f]

 (*Definición de la función dividada en partes f(t)*)
 f[t_] := 5 /; -2Pi <= t < -Pi
 f[t_] := -5 /; -Pi < t < 0
 f[t_] := 5 /; 0 < t < Pi
 f[t_] := -5 /; Pi < t <= 2Pi

 (*Gráfica de la función f(t)*)
 graphf = Plot[f[t], {t, -2Pi, 2Pi}, 
    AxesStyle -> Directive[Thick, RGBColor[252, 176, 62], 18], 
    PlotStyle -> Directive[Bold, Orange], 
    PlotLabel -> Style[f, {Orange, 28}], 
    Ticks -> {{-2Pi, -Pi, 0, Pi, 2Pi}, {5, 4, 3, 2, 1, 
       0, -1, -2, -3, -4, -5}}, TicksStyle -> Directive[White, 16]];

 (*Valor de los límites de integración*)
 p = Pi;

 (*Cálculo de los coeficientes: a0, an, bn*)
 Print["Valor para a0: "]
 a[0] = If[NIntegrate[f[t], {t, -p, p}]/(2p) > 10^-10,    NIntegrate[f[t], {t, -p, p}]/(2p), 0]; a[0]
 a[n_] := If[NIntegrate[f[t]*Cos[n*t], {t, -p, p}]/p > 10^-10, 
   NIntegrate[f[t]Cos[n*t], {t, -p, p}]/p, 0];
 b[n_] := If[NIntegrate[f[t]*Sin[n*t], {t, -p, p}]/p > 10^-10, 
   NIntegrate[f[t]Sin[n*t], {t, -p, p}]/p, 0];

 (*Tabla para los valores de an, bn*)
 Print["Valores para an y bn: "]
 coeff = Table[{a[i], b[i]}, {i, 1, 11}];
 TableForm[coeff, TableHeadings -> {{}, {an, bn}}]

 (*Cálculo de la Serie de Fourier*)
 fs[k_, t_] := coeff[[k, 1]]*Cos[k*t] + coeff[[k, 2]]*Sin[k*t]
 fourier[n_, t_] := a[0] + Sum[fs[k, t], {k, 1, n}];

(*Serie de Fourier para f(t) para diferenctes cantidades de armónicos*)
 Print["\nSerie de Fourier para f(t) para diferentes cantidades de \
 armónicos"];
 Print["\nSerie de Fourier para f(t) con 1 armónicos"];
 fourier[2, t]
 Print["\nSerie de Fourier para f(t) con 2 armónicos"];
 fourier[3, t]
 Print["\nSerie de Fourier para f(t) con 3 armónicos"];
 fourier[5, t]
 Print["\nSerie de Fourier para f(t) con 5 armónicos"];
 fourier[9, t]
 Print["\nSerie de Fourier para f(t) con 6 armónicos"];
 fourier[11, t]

(*Gráficas de la Serie de Fourier para la función f(t) sobrepuesta con la gráfica de la función original*)
 Print["\nGráfica de la Serie de Fourier para la función f(t) \
 sobrepuesta con la gráfica de la función original"]
 graphtwo = 
   Plot[fourier[2, t], {t, -2Pi, 2Pi}, 
    AxesStyle -> Directive[Thick, RGBColor[252, 176, 62], 18], 
    PlotStyle -> Directive[Bold, Green], 
    PlotLabel -> Style[f, {Orange, 28}], 
    Ticks -> {{-2Pi, -Pi, 0, Pi, 2Pi}, {5, 4, 3, 2, 1, 
       0, -1, -2, -3, -4, -5}}, TicksStyle -> Directive[White, 16]];
 bothtwo = Show[graphtwo, graphf]
 graphfive = 
   Plot[fourier[5, t], {t, -2Pi, 2Pi}, 
    AxesStyle -> Directive[Thick, RGBColor[252, 176, 62], 18], 
    PlotStyle -> Directive[Bold, Green], 
    PlotLabel -> Style[f, {Orange, 28}], 
    Ticks -> {{-2Pi, -Pi, 0, Pi, 2Pi}, {5, 4, 3, 2, 1, 
       0, -1, -2, -3, -4, -5}}, TicksStyle -> Directive[White, 16]];
 bothfive = Show [graphfive, graphf]
 graphnine = 
   Plot[fourier[9, t], {t, -2Pi, 2Pi}, 
    AxesStyle -> Directive[Thick, RGBColor[252, 176, 62], 18], 
    PlotStyle -> Directive[Bold, Green], 
    PlotLabel -> Style[f, {Orange, 28}], 
    Ticks -> {{-2Pi, -Pi, 0, Pi, 2Pi}, {5, 4, 3, 2, 1, 
       0, -1, -2, -3, -4, -5}}, TicksStyle -> Directive[White, 16]];
 bothnine = Show [graphnine, graphf]
 graph11 = 
   Plot[fourier[11, t], {t, -2Pi, 2Pi}, 
    AxesStyle -> Directive[Thick, RGBColor[252, 176, 62], 18], 
    PlotStyle -> Directive[Bold, Green], 
    PlotLabel -> Style[f, {Orange, 28}], 
    Ticks -> {{-2Pi, -Pi, 0, Pi, 2Pi}, {5, 4, 3, 2, 1, 
       0, -1, -2, -3, -4, -5}}, TicksStyle -> Directive[White, 16]];
 both11 = Show [graph11, graphf]
 Show[GraphicsRow[{bothtwo, bothfive}]]

LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN PARTES Y SUS APLICACIONES

La Serie de Fourier es muy importante para muchas aplicaciones en ingeniería y física, desde problemas de control o creación de filtros digitales hasta el procesado digital de imágenes; desde el análisis de sonido hasta la solución de problemas de ecuaciones diferenciales parciales de la ecuación de la onda o la del calor.

Para tener una base sólida mediante un conocimiento estructurádo y de facil aplicación, sobre éstos temas, te invito a ver mi artículo: Series de Fourier para Ecuaciones Diferenciales click aquí.

En ese artículo aprenderás, mediante una metodología ordenada y sencilla a resolver problemas de Ecuaciones Diferenciales donde se involucren señales de entrada con funciones definidas en partes.

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