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Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales. Marcapasos de Corazón
Marcapasos de Corazón
Si aprendes lo que te voy a enseñar en éste artículo sobre Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales, conocerás una manera ordenada de Cómo ANALIZAR y MODELAR matemáticamente un Sistema Físico de Primer Orden, aplicando Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Además, utilizarás el Método de Separación de Variables de 3 pasos propuesto en este sitio para simular un marcapaso del corazón.
Cualquier intento para diseñar un sistema debe comenzar con una predicción de su desempeño antes de que el sistema pueda ser diseñado en detalle o construido. Tal predicción es basada sobre una descripción matemática de las características dinámicas del sistema. Esta descripción matemática es llamada Modelo Matemático. Para muchos sistemas físicos, los modelos matemáticos útiles que los describen, están en términos de Ecuaciones Diferenciales.
Katsuhiko Ogata
Metodología para Modelado de un Sistema Físico de Primer Orden
Como vimos en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas; Modelos No lienales. La metodología para modelar un sistema físico propuesta por el autor Kasuhico Ogata en su libro System Dynamics es la siguiente:
Sigue leyendoEcuaciones diferenciales por sustitucion
Ecuaciones Diferenciales por sustitución ejemplos (reducidas a variables separables)
Despúes de terminar de leer éste artículo podrás tener una idea clara de cómo abordar problemas de ecuaciones diferenciales cuando pueden ser reducidas a variables separables, además de contar con una metodología que te ayude a resolverlas.
La intiución es una parte muy importante en las matemáticas y la resolución de problemas. Según Sebastian Thrun, vice presidente de Google y el inventor de los Google glasses, dice que la intuición en la resolución de problemas es muy importante para llegar al entendimiento profundo de los mismos.
«La intuición nos perimte realizar una evaluacvión de un problema cuando hay numeros involucrados…», dice Sebastian.
Al final, ver el mundo desde un punto de vista intuitivo (no necesarimente racional, si no con un sentido de entendimiento sutil), nos ayudará a tomar los caminos necesarios para la resolución del problema; ésto en última instancia es pensar como un matemático, segun dice Thrun.
Por experiencia personal, y seguramente de uds como lectores, sabemos que es mucho más fácil saber cómo abordar un problema si tenemos una visión intuitiva de cómo se comporta y cómo podemos modelarlo y/o manipular su modelo para resolverlo.
El ejercicio de éste «don» nos permitirá desarrollar ese pensamiento matemático, que nos hace falta para la comprención profunda de los conceptos o fenómenos físicos.
La mente intuitiva es un don sagrado, y la mente racional es un fiel sirviente. Hemos creado una sociedad que honra al sirviente y ha olvidado el don.
Albert Einstein
Un ejemplo interactivo de las sumas de Riemann se encuentra en la celda de SAGEMATH, dale click a Evaluate para verlo. 😉
Metodología de 4 pasos para resolver ecuaciones diferenciales reducidas a variables separables
Sigue leyendoECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES
Ecuaciones Diferenciales Separables
ECUACIONES DIFERENCIABLES SEPARABLES
Si lees el siguiente artículo hasta el final conocerás varios trucos para resolver ecuaciones diferenciales separables (sobre todo para integrar funciones, que aparecen de forma recurrente), mediante una metodología de 3 pasos de fácil aplicación.
El aprendizaje mediante la resolución de problemas es ampliamente utilizado en ciencias para desarrollar habilidades en los alumnos. Al utilizar ésta metodología se debe considerar que el cometer errores es fundamental para el aprendizaje pues se logran dos cosas:
1.- El crecimiento del cerebro en término de sus conexiones neuronales mediante la sinapsis
2.- Ser más inteligente.
Esto lo dice la Profesora Karol Dwek, profesora de psycología por la Universidad de Stanford, durante una entrevista para el curso online: How to learn math de la Universidad de Stanford, durante el tema Teaching for a Growth Minset.
De ésta forma, es importante ver que durante el proceso de aprendizaje individual, el cometer errores significa CRECER en INTELIGENCIA, más que verlo como por falta de capacidad del alumno o maestro, pues es en ese momento cuando, al lidear con el error, se generan más conexiones neuronales.
Metodología para resolver ecuaciones diferenciales separables
- La ecuación diferencial se escribe en la FORMA ESTÁNDAR propia de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
$ \Large \frac{{dy}}{{dx}} = f (x, y)$
Ejemplo:
$ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{3 x^2 + 4 x + 2}{2 (y – 1)}$
Donde:
$ f (x, y) = \frac{3 x^2 + 4 x + 2}{2 (y – 1)}$
2. SEPARAMOS LAS VARIABLES de acuerdo al criterio visto en el artículo: Cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden separable.
$ M {dx} = N {dy}$
Donde:
$ M = f (x)$ y $N = f (y)$
3. Por último, INTEGRAMOS ambos miembros de la ecuación mediante las fórmulas y ténicas conocidas del cálculo integral (Para referencia de cómo integrar funciones racionales dar click aquí)
Ecuaciones Diferenciales Separables Ejercicios Resueltos
Ejemplo 1, Problema del Valor Inicial (PVI)
Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Modelos No lineales
Ecuaciones Diferenciales Aplicadas
EVAPORACION
Al terminar el siguiente artículo conocerás y podrás aplicar una metodología ordenada para poder plantear matemáticamente y resolver un modelo No lineal representado mediante ecuaciones diferenciales aplicadas.
En general, lo que se busca, al modelar un sistema físico mediante ecuaciones diferenciales, es utilizar las leyes del movimiento de la física según el sistema del que se esté hablando (mecánico, neumático, hidráulico, eléctrico, etc.), para determinar la variación del comportamiento del mismo respecto del tiempo y así obtener una representación matemática que nos permita realizar predicciones sobre dicho sistema.
De igual forma, se pueden utilizar datos experimentales.
Metodología para modelado matemático de un sistema físico
Según el libro System Dynamics del autor Katsuhico Ogata (4a. Ed), pag. 4, el procedimiento para el modelado matemático es el siguiente:
- – Dibuja un diagrama esquemático del sistema y define las variables,
- – Usando las leyes de la física, escribe las ecuaciones para cada componente, combínalas de acuerdo al diagrama del sistema y obtén un modelo matemático,
- Para verificar la validez del modelo matemático, su desempeño predicho – obtenido mediante el resolver las ecuaciones del modelo, éste es comparado con resultados experimentales.
La validación de cualquier modelo matemático puede ser corroborada unicamente mediante la experimentación.
Ecuaciones Diferenciales Aplicadas ejercicios resueltos
Modelo No lineal
EVAPORACION
Ejercicio Resuelto Dennis G. Zill, Cap 3.2, problema 20
Un tanque decorativo exterior con forma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que el radio del tanque es $R = 10 {pies}$, que el agua se bombea a una rapidez de $\pi \frac{{pies}^3}{\min}$ y que al inicio el tanque está vacio. Ver Figura 1:
Figura 1. Diagrama Esquemático del Sistema
Conforme se llena el tanque, éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez de evaporación es proporcional al área A de la superficie sobre el agua y que la constante de proporcionalidad es $k = 0.01$.
a) La rapidez de cambio $\frac{{dV}}{{dt}}$ del volumen del agua al tiempo $t$ es una rapidez neta. Utilice esta rapidez neta para determinar una ecuacion diferencial para la altura $h$ del agua al tiempo $t$. El volumen de agua que se muestra en la figura es $V = \pi R h^2 -\frac{1}{3} \pi h^3$, donde $R = 10$. Exprese el area de la superficie del agua $A = \pi r^2$ en términos de $h$.
b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Trace la grafica de la solución.
c) Si no hubiera evaporación, ¿cuanto tardaría en llenarse el tanque?
d) Con evaporación, ¿cual es la proporcionalidad del agua en el tiempo que se determino en el inciso c)? ¿Alguna vez se llenara el tanque?
Solución
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a) Determinando una ED para la altura $ h$ al tiempo $ t$ (es decir $ \frac{{dh}}{{dt}}$) utilizando la rapidez de cambio $ \frac{{dV}}{{dt}}$ del volumen del agua.