Programa para simular circuitos electricos. Software de simulación: MATHEMATICA. Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales en Circuitos Eléctricos
En este artículo aprenderás a aplicar y simular una Ecuación Diferencial para un circuito eléctrico RLC conectado en serie utilizando el software para simulación: MATHEMATICA.
Con esto podrás comprobar todos tus ejercicios resueltos de circuitos eléctricos RLC en serie, con lo que podrás aumentar tu confianza en tus resultados.
El código aquí utilizado está pensado para servirte en la solución de cualquier problema que involucre una ecuación diferencial lineal de 2º orden no homogénea de coeficientes constantes, así como en cualquier problema de Circuitos eléctricos RLC simples conectados en serie.
El modelado de un circuito eléctrico proviene de la aplicación básica de las leyes de Kirchoff como lo vimos en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales, así como de conocer las relaciones entre los diferentes componentes del mismo al variar en el tiempo, las más básicas se pueden ver en la Tabla 1, del artículo citado.
Comenzamos retomando el ejemplo visto en el artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales, el cual es descrito en la Figura 1.
El código en MATHEMATICA paso a paso es:
Datos:
Clear["Global`*"] es = 110 (*Volts*) frec = 60 (*Hertz*) velAngular = Round[2*Pi*frec, 1] // N; volE[t_] = es*Sin[velAngular t]; capac = 500 *10^-6(*micro faradios*)// N lind = 100 *10^-3(*mH*)// N resist = 50(*ohms*)// N
Luego modelamos el circuito según Kirchoff (ver artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales), el cual nos da una Ecuación Diferencial Lineal de 2º orden no homogénea:
| \begin{equation} L \frac{d^2 {I}}{d{t}^2} +{R} \frac{d{I}}{d{t}} + \frac{1}{C} {I}= E’ ( t) \end{equation} | (1) |
La cual modelamos en MATHEMATICA como sigue:
eq0 = lind*itr''[t] + resist*itr'[t] + (1/capac)*itr[t] == volE'[t];
La solución buscada es (ver el artículo, Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales):
| \begin{equation} {I}={I}_{{tr}} +{I}_{{ps}} \end{equation} | (2) |
La cual se obtiene resolviendo los sistemas: Homogéneo Asociado y no Homogéneo.
En MATHEMATICA dichos sistemas se resuelven con los siguientes códigos.
Programa para simular circuitos electricos. Solución del Sistema Homogéneo asociado mediante el método para ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes
El código en MATHEMATICA para el sistema homogéneo asociado es:
eq1 = lind*itr''[t] + resist*itr'[t] + (1/capac)*itr[t] == 0;
Obtención de la corriente transitoria, itr (derivada del sistema homogéneo asociado):
eqSh = DSolve[eq1, itr[t], t] // ExpandEl resultado obtenido es:
{itr[t] -> 0. + E^(-456.155 t) C[1] + E^(-43.8447 t) C[2]}}Donde, itr[t] es la corriente transitória
El cual representa la solución:
| \begin{equation} {I}_{{tr}} = C_1 e^{- 43.8447 t} + C_2 e^{- 456.155 t} \end{equation} | (3) |
Ahora, para encontrar la corriente periódica estacionaria, resolvemos el sistema no homogéneo.
Programa para simular circuitos electricos. Solución del sistema no homogéneo mediante el método de coeficientes indeterminados
El código de MATHEMATICA para el sistema no homogéneo es:
eq0 = 0.1*ips''[t] + 50*ips'[t] + 2000*ips[t] == volE'[t];
OJO: Los coeficientes numéricos (en vez de las variables que utilizamos como coeficientes en el apartado de datos y en las definiciones de las primeras 2 ecuaciones escritas en MATHEAMTICA), son simplemente el resultado de aplicar los valores descritos en el apartado de datos a la ecuación (1). 🙂
Obtención de la corriente periódica estacionaria, ips (derivada del sistema no homogéneo):
- Primero encontramos el conjunto fundamental de soluciones para la forma ($A*Sin(\omega t)$, el porqué de este paso se describe en el artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales), que según el método de coeficientes indeterminados, es:
| \begin{equation} {I}_{{ps}} = A \cos 377 t + B {sen} 377 t \end{equation} | (4) |
y en MATHEMATICA es:
ips[t_] = A*Cos[377*t] + B*Sin[377*t]2. Ahora, según el método de los coeficientes indeterminados, derivamos la ecuación anterior, que representa el conjunto fundamental de soluciones y lo sustituimos en la ecuación (1), para encontrar el sistema de ecuaciones que nos permita, a su vez, encontrar los coeficientes indeterminados. Dicho sistema de ecuaciones lo encontramos con MATHEMATICA con el siguiente código:
eq0 = 0.1*ips''[t] + 50*ips'[t] + 2000*ips[t] == volE'[t] // N // Simplify
Resultando:
(-41470. - 12212.9 A + 18850. B) Cos[377. t] + (-18850. A - 12212.9 B) Sin[377. t] == 0
Lo que implica
$( – 12212.9 A + 18850 B) \cos 377 t + ( – 12212.9 B – 18850 A) {sen} 377 t = …$
$ = 41470 \cos 377 t + 0 {sen} 377 t$
Ecuación que al igualar sus miembros, se obtiene el sistema de ecuaciones algebraicas que necesitamos resolver:
\begin{eqnarray*}
– 12212.9 A + 18850 B & = & 41470\\
– 12212.9 B – 18850 A & = & 0
\end{eqnarray*}
3. Por último resolvemos el sistema de ecuaciones algebraicas resultantes de la ecuación anterior, para encontrar los coeficientes indeterminados. Para esto, utilizamos en MATHEMATICA el siguiente código:
- Igualando coeficientes y resolviendo, tenemos:
cvals = Solve[-12212.9*A + 18850*B == 41470 && -12212.9*B - 18850*A ==0]
Resultando:
{{A -> -1.00395, B -> 1.54954}}Por lo que la solución particular buscada es:
| \begin{equation} {I}_{{ps}} = – 1.00395 \cos 377 t + 1.54954 {sen} 377 t \end{equation} | (5) |
Para convertir la función resultante en una función únicamente representada por seno (como típicamente ocurre para el voltaje suministrado a un circuito de corriente alterna), utilizamos el conocimiento de que:
| \begin{eqnarray} A \cos {\omega}t + B {sen} {\omega}t = C {sen} ( {\omega}t -{\delta}) \end{eqnarray} | (6) |
Ecuación que está marcada como la número (23) del artículo: Circuitos y Ecuaciones Diferenciales, donde se explica su origen.
Además vimos que:
| \begin{equation} C = \sqrt{A^2 + B^2} \end{equation} | (7) |
- Con lo que encontramos $C$ y $\delta$, con MATHEMATICA de la siguiente forma:
A = -1.00394772191131;
B = 1.5495430698710537;
c = Sqrt[A^2 + B^2]
alpha = ArcTan[A/B]
Por lo que, la solución buscada es:
| \begin{equation} {I}_{{ps}} = 1.84635 \cos ( 377 t – 0.995899) \end{equation} | (8) |
- Sustituyendo estos valores en la función propuesta como solución, tenemos:
ips[t] /. cvals[[1]]
- Por tanto, la solución general del problema es, en MATHEMATICA:
itot[t_] = C1*Exp[-456.15529 t] + C2*Exp[-43.8447 t] - 1.00394772191131 Cos[377 t] + 1.5495430698710537 Sin[377 t]
o escrito en forma convencional:
| \begin{equation} {I}_{{tot}} = C_1 e^{- 43.8447 t} + C_2 e^{- 456.155 t}+1.84635 \cos ( 377 t – 0.995899) \end{equation} | (9) |
Por último, para encontrar los valores de $C_{1}$ y $C_{2}$, derivamos esta última ecuación (9) y la sustituimos en la ecuación (1), considerando los valores iniciales para este ejercicio, los cuales según el planteamiento del problema descrito en el artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales, son:
$I(0)=0$
y de: $Q(0)=0$ y $LI^{‘}\left ( 0 \right )+RI\left ( 0 \right )+\frac{1}{C}Q\left ( 0 \right )=E\left ( 0 \right )$, obtenemos que:
$I^{‘}(0)=0$
para de nuevo obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que nos lleve a poder despejar los valores de $C_{1}$ y $C_{2}$.
Para esto, en MATHEMATICA procedemos de la siguiente manera:
- Obtenemos la primera y segunda derivada de (9) :
e1 = itot[t] e2 = itot'[t]
- Resolvemos los sistemas resultantes evaluando cada uno con $t=0$, según los valores iniciales vistos, por tanto:
e1C = Evaluate[e1 /. t -> 0] e2C = Evaluate[e2 /. t -> 0] stot = Solve[e1C == 0 && e2C == 0]
El resultado obtenido es:
{{C1 -> 1.31008, C2 -> -0.306133}}Por lo que el resultado final es:
La corriente total del Circuito es:
\begin{equation}
{I}_{{tot}} = 1.31008 e^{- 43.8447 t} – 0.306133 e^{- 456.155 t}+1.84635 \cos ( 377 t – 0.995899)
\end{equation}
El código de MATHEMATICA para graficar el Voltaje de Suministro($E(t)=E_{0} Sen(\omega t)$) y La Corriente resultante ($Itot(t)=I_{tr}+I_{ps} = I_{0}Sin(\omega t)$), es:
Clear["Global`*"]
VolE[t_] = 5*Sin[377 t];
CorrI[t_] = 3*Cos[377 t - 0.574897];
pE = Plot[VolE[t], {t, 0, Pi/80}, PlotStyle -> {Red}];
pI = Plot[CorrI[t], {t, -0.00259, Pi/80}, PlotStyle -> {Blue}];
Plot[{VolE[t], CorrI[t]}, {t, 0, Pi/80}, PlotStyle -> {Red, Blue},AxesLabel -> {t, {"I0","E0"}}, Ticks -> {}, {}}]
Show[pE, pI, PlotRange -> {{-0.004, Pi/80}, {-5, 6}},AxesLabel -> {t, {"I0","E"}}, Ticks -> {{}, {}}]NOTA: es posible que el cortar y pegar los códigos de MATHEMATICA se omitan algunos paréntesis o sea necesario arreglar espacios que se generar entre los argumentos de los comandos; es por eso que lo más recomendable es teclear (letra por letra) los códigos.
Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones e IA
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Así, al desarrollar tu intuición y confianza cuando estés estudiando ecuaciones diferenciales, obtendrás cada vez mejores resultados, más rápidos y más fácilmente. Para esto necesitas preparar tu mente, por eso te invito a leer el artículo La técnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales, da click aquí, y practicar con varios ejercicios, de manera que luego, al estudiar los conceptos a fondo tengas toda la información necesaria y verás como todo se aclara, pues tu mente entenderá con facilidad los conceptos más abstractos.
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En si, que representan las lineas, roja y azul en la grafica?
Hola Hector
Gracias por tu interés
Las graficas Roja y Azul Representan al defasamiento entre el voltaje y la corriente para el circuito analizado en este problema.
Te dejo una gráfica mas clara:
Si quieres ver una explicación mas detallada del desarrollo de este ejercicio, dale click al siguiente link:
Circuito Eléctrico Mixto
Saludos
Muchas gracias.
Hola, me gustaría felicitarte por tu aportación a este campo. Y preguntarte una duda, ¿que comandos utilizas para ponerle nombres a las gráficas como las que muestras en tus figuras?
Hola Juan.
Utilizo la opción «Drawing Tools», en el menú «Graphics» del menú principal.
Saludos y muchas gracias por tu comentario.
Hola, disculpa con respecto a la gráfica de la corriente total cuál es?? Pues esa gráfica que se presenta al final es respecto al voltaje y a la solución de la ecuación particular.. pero la gráfica de la corriente total? Cual sería? Por favor publicala lo más antes posible. Gracias
Gráfica respecto del Voltaje (en rojo) y la Corriente (en azul)
Saludos
el software mathematicas donde se puede conseguir? saludos y gracias
Hola Juan,
Lo puedes conseguir online: busca en Internet: Wolfram MATHEMATICA, para poder comprarlo. Saludos
Buenas noches, estoy haciendo un proyecto de un circuito exactamente igual que este y no puedo encontrar las constantes C1 y C2. No tengo ningún software del cual podría auxiliarme. Me podria ayudar a encontrar las constantes con algun metodo por favor? Me urge
Revisa éste enlace William: Circuito RLC, click aquí. Saludos
DISCULPE QUISIERA SABER CUAL ES EL DATO DE velocidad ANGULAR?
Danna, buenas noches.
puedes ver el desarrollo completo a mano en el siguiente artículo:
Circuito mixto (RCL),
donde: $\omega = 377$ que es la velocidad angular o frecuencia natural,
recuerda que:
$I = A\cos{\left(\omega t + \phi\right)}$
Saludos
Disculpe con que programa lo esta realizando
Con MATHEMATHICA Fernández