En este artículo, entenderás fácilmente el concepto del Teorema del Valor Medio relacionándolo con su significado gráfico. Esto te permitirá tener una imagen clara en la mente para que nunca se te olvide el concepto.
Nuestro cerebro recuerda más fácilmente las imágenes, es por eso que te presentaré una gráfica que engloba el concepto de Teorema de Valor Medio, relacionando la simbología matemática del Teorema con el área de un rectángulo y la función para la cual se desea conocer su valor medio.
Valor Promedio de una función y el Teorema del Valor medio para una función integral
En el artículo Teorema del Valor Medio, vimos dos fórmulas importantes que esencialmente representan lo mismo:
Valor promedio de una función
El valor promedio $ \bar{y}$ de la función $ y = f ( x)$ para $ x$ en el intervalo $ [ a, b]$, es:
| \begin{equation} \overline{\label{valorprom} y} = \frac{1}{b – a} \int^b_a f ( x) dx \end{equation} |
(1) |
Suponiendo que $ f$ es integrable en el intervalo $ [ a, b]$.
Teorema del Valor Medio
Si $ f$ es continua en $ [ a, b]$, entonces:
| \begin{equation} \label{valpro} f ( \bar{x}) = \frac{1}{b – a} \int^b_a f ( x) dx \end{equation} |
(2) |
para algún número $ \bar{x}$ en $ [ a, b]$.
El concepto matemático que estas fórmulas representan se puede entender fácilmente si vemos su representación gráfica. Para esto necesitamos primero despejar las integrales de la manera siguiente:
Al despejar la integral de la fórmula (1), tenemos:
| \begin{equation} \label{desprom} \int^b_a f ( x) dx = \bar{y} \ast ( b – a) \end{equation} |
(3) |
Si realizamos el mismo procedimiento para la fórmula (2), tenemos:
| \begin{equation} \label{rec} \int^b_a f ( x) dx = f ( \bar{x}) \ast ( b – a) \end{equation} |
(4) |
Analizando las fórmulas (3) y (4), vemos que los dos lados izquierdos de cada una fórmula, son idénticos, y sus dos lados derechos solo varían en los términos $ \bar{y}$ y $ f ( \bar{x})$, que de hecho representan lo mismo. Es decir, si analizamos la Figura 1, veremos que, $ \overline{y} = f ( \bar{x})$, y que ambas representan la altura de un rectángulo.
Si $ f$ tiene valores positivos en $ [ a, b]$, las ecuaciones (3) y (4) implican que el área bajo $y = f ( x)$ sobre el intervalo $ [ a, b]$ es igual al área de un rectángulo cuya base tiene longitud $ b – a$ y altura $ \bar{y}$ (o altura $ f ( \bar{x})$), vea la Figura 1:
Figuras 1. Significado Geométrico del Teorema del Valor Medio.
Una vez, visualizado el concepto, aplicamos el Teorema del Valor Medio a una función para verificar lo que sabemos. Sigue leyendo