Como hallar solución del pvi ed Definida en partes
Solución de un Problema con Valores Iniciales (PVI), de una Ecuación Diferencial (ED) definida en partes (a trozos).
Ahora, aprenderemos a resolver una Ecuación Diferencial lineal por partes con la variante de que analizaremos y entenderemos qué significa gráficamente la función , que es el coeficiente de la función de estado , que la ED posee como segundo término del lado izquierdo de la ecuación*.
Utilizaremos los mismos 4 pasos que ya hemos utilizado con anterioridad para hallar la solución de una ED lineal de 1er Orden DEFINIDA POR PARTES (a TROZOS), CON VALORES INICIALES.
El Ejercicio:
a) $y’+P(x)y=4x$, $y\left( 0 \right)=3$,
$\LARGE P(x)=\left\{\begin{matrix}2,0\leq x\leq 1\\ -\frac{2}{x},x>1\end{matrix}\right.$
Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 35).
Pasos:
I. Forma estándar de la ED a resolver: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$
Solo sustituimos en valor de la función de entrada $P(x)$.
$\frac{dy}{dx}+2y=4x$
II. Encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,
El valor de $P(x)$ en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $P\left( x \right)=2$.
${{e}^{\mathop{\int }^{}2dx}}={{e}^{2\mathop{\int }^{}dx}}$
$={{e}^{2x}}$
III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:
Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}$, donde: $P\left( x \right)=2$ encontrado en el primer paso, y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.
$\frac{dy}{dx}+2y=0$
${{y}_{c1}}={{C}_{1}}{{e}^{-2\mathop{\int }^{}dx}}$
$={{C}_{1}}{{e}^{-2x}}$
$=\frac{{{C}_{1}}}{{{e}^{2x}}}$
IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:
Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{2x}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=2$. obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.
$\frac{dy}{dx}+2y=4x$
${{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}(4x)dx$
${{y}_{p1}}=\frac{4}{{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}x{{e}^{2x}}dx$
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
$u=x$ $dv={{e}^{2x}}dx$
$du=dx$ $v=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}$
$~\mathop{\int }^{}x{{e}^{2x}}dx=\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}-\frac{1}{2}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}dx$
$=\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}-\frac{1}{4}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}(2)dx$
$=\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{2x}}$
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Por tanto:
${{y}_{p1}}=\frac{4}{{{e}^{2x}}}[\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{2x}}]$
${{y}_{p1}}=2x-1$
Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo:
$\frac{dy}{dx}+2y=4x$, donde su función de entrada es igual a: $\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=4\mathbf{x}$, es:
${{y}_{1}}\left( x \right)=\frac{{{C}_{1}}}{{{e}^{2x}}}+2x-1$
Ahora encontraremos la solución general para el coeficiente P(x)=$ -\frac{2}{x}$ y $f\left( x \right)=4x$
Procedemos igual que en el caso anterior. Es decir, si tenemos:
$y’-\frac{2}{x}y=4x$
I. Forma estándar de la ED a resolver:
$\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=4x$
II. Encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,
Es el mismo que el anterior:
${{e}^{-2\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{-2\ln \left| x \right|}}={{e}^{\ln {{\left| x \right|}^{-2}}}}={{x}^{-2}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}$
III. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:
${{y}_{c2}}={{C}_{2}}{{e}^{(-)-2\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{C}_{2}}{{e}^{2\ln \left| x \right|}}={{C}_{2}}{{x}^{2}}$
IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:
Acá es donde varían un poco los cálculos, como sigue:
${{y}_{p2}}=\frac{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}}}\mathop{\int }^{}\frac{1}{{{x}^{2}}}(4x)dx$
${{y}_{p2}}={{x}^{2}}\mathop{\int }^{}\frac{4}{x}dx$
${{y}_{p2}}=4{{x}^{2}}\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx$
${{y}_{p1}}=4{{x}^{2}}\ln |x|$
Donde su solución general es:
${{y}_{2}}\left( x \right)={{C}_{2}}{{x}^{2}}+4{{x}^{2}}\ln |x|$
Una vez obtenidas las dos soluciones generales, vamos a encontrar las soluciones particulares para resolver el problema de valores iniciales que nos piden.
Para este propósito, NECESITAMOS seleccionar primero la parte de la función $P(x)$ que contiene los valores iniciales, es decir, seleccionamos:
$\frac{dy}{dx}+2y=4x$
Ya que cuando: $P\left( x \right)=2$, la función está definida en $0\le x\le 1$donde podemos encontrar incluidos los valores iniciales ($y\left( 0 \right)=3$) se encuentran dentro de su dominio, como lo podemos ver en:
$\LARGE P(x)=\left\{\begin{matrix}2,0\leq x\leq 1\\ …\end{matrix}\right.$
De modo que encontraremos la solución particular o “RESPUESTA DEL SISTEMA”, para los valores iniciales: $y\left( 0 \right)=3$.