Ecuacion diferencial lineal de primer orden
Intervalo de definición de la solución del problema del valor inicial. Problema 25 Capítulo 2.3. Dennis G. Zill.
Utilizaremos el método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.
Método: Factor Integrante (ver enlace)
Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 25). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.
$xy’+y={{e}^{x}}$
Pasos:
I. El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:
Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $\frac{dy}{dx}$, que es “$x$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.
$\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{{{e}^{x}}}{x}$
II. En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,
El valor de $P(x)$ en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, $P(x)=\frac{1}{x}$. El manejo de las funciones trascendentes e integrales se muestra al final del ejercicio.
${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{\ln x}}$
$=\text{x}$
III. Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:
El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=0$. Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, donde: $P(x)=\frac{1}{x}$ encontrado en el primer paso, y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.
${{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}$
$=C{{e}^{-\ln x}}$
$=C{{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}$
$=C{{\text{x}}^{-1}}$
Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:
${{y}_{c}}=\frac{C}{x}$
Mostramos, primero la famila de soluciones del sistema homogéneo asociado ${{y}_{c}}=\frac{C}{x}$ . Además, mostramos una solución particular ${{y}_{c1}}=\frac{2}{x}$ donde $C=2$. Notar que la función ${{y}_{c}}=\frac{C}{x}$ , tiene como dominio más largo el intervalo: ${{D}_{{{y}_{c}}}}:x\in \mathcal{R}-(0,0)$. Es decir, el dominio de la función abarca todos los reales a excepción del CERO. Sin embargo, decimos que el intervalos más largo de solución de la función es $0Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo..
IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:
El sistema no homogéneo: $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{{{e}^{x}}}{x}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=x$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}}{x}$ obtenido en el punto i. Observar como la solución particular fue idéntica a $f\left( x \right)$. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.
${{y}_{p}}=\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}x(\frac{{{e}^{x}}}{x})dx$
$=\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx$
$=\frac{1}{x}[{{e}^{x}}]$
$=\frac{{{e}^{x}}}{\text{x}}$
Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:
$y=\frac{C}{x}+\frac{{{e}^{x}}}{x}$
La solución del sistema no homogéneo, es decir la solución de la ED lineal completa, para el problema del valor inicial (PVI) es:$ ~y\left( x \right)=\frac{2-\text{e}+{{\text{e}}^{x}}}{x}$ , Donde: $ C=2-e$. El dominio de la solución está en el intervalo: $D_{y_{p}}:0< x< \infty$ o dicho de forma más común, el dominio de la solución del problema del PVI es el intervalo: $\left ( 0,\infty \right )$
Por tanto, la solución general de la ecuacion diferencial lineal de primer orden
$xy’+y={{e}^{x}}$, es:
$y=\frac{C{{e}^{x}}}{x}$
Con intervalo de solución:
$I:\left \{ x\epsilon \mathbb{R}\mid 0< x< \infty \right \}$
Recordar:
Logaritmos y exponenciales
$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$
Debido a que:
$y={{e}^{x}}$implica $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:
$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$ y
${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$
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