Ecuacion Diferencial lineal homogenea y no homogenea
Con el método de los 4 pasos podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.
Te recomiendo que uses el método varias veces para resolver cualquier ecuacion diferencial lineal homegenea y no homogenea, usándolo antes de entrar a la teoría, pues la mente necesita estar acostumbrada a manejar la simbología, el álgebra y la secuencia de cualquier método para posteriormente poder entenderlo con éxito.
Esto lo saque de las nuevas corrientes de aprendizaje holístico, PNL y neurociencias. Espero te sirva.
Método: Factor Integrante (ver enlace)
Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 23). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.
$x\frac{dy}{dx}+\left( 3x+1 \right)y={{e}^{-3x}}$
Pasos:
I. El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:
Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $\frac{dy}{dx}$, que es “$x$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.
$\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
$\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}$
II. En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,
Para esto sustituimos el valor de $P\left( x \right)dx$en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, donde:$P(x)=\frac{(3x+1)}{x}$. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes y las funciones trigonométricas, vea el final del ejercicio.
${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{3x+1}{x}dx}}={{e}^{3\mathop{\int }^{}dx+\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}$
$={{e}^{3x+\ln x}}$
$=\text{x}{{e}^{3x}}$
III. Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:
Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial:$\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, los valores de $P(x)=\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}$, encontrado en el primer paso, y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.
${{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{3x+1}{x}dx}}$
$=C{{e}^{-3\mathop{\int }^{}dx-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}$
$=C{{e}^{-3x-\ln x}}$
$=C{{e}^{-3x+\ln {{x}^{-1}}}}$
$=C{{x}^{-1}}{{e}^{-3x}}$
$=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}$
Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:
${{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}$
Se puede ver una solución particular ${{y}_{c1}}=-\frac{{{\text{e}}^{\frac{3}{2}-3x}}}{x}$ donde $C=-{{e}^{\frac{3}{2}}}$. Notar que la función ${{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}$ , tiene como dominio más largo el intervalo: $0<x<\infty $.</x<\
El intervalo más largo de definición de UNA solución es: $(0~,\infty )$, aunque el intervalo para la función es: $y:\{x\in \mathbb{R}-\left( 0 \right)\}$, o dicho de otra forma más sencilla, el valor de la función $y$, es: $\left( -\infty ,0 \right);(0,\infty )$. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.
IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:
El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}Q\left( x \right)dx}}=\text{x}{{e}^{3x}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.
${{y}_{p}}=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}\mathop{\int }^{}x{{e}^{3x}}(\frac{{{e}^{-3x}}}{x})dt$
$=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}\mathop{\int }^{}dx$
$=\frac{1}{x{{e}^{3x}}}[x]$
$={{e}^{-3x}}$
Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:
$y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}$
Se puede ver una solución particular $y\left( x \right)={{\text{e}}^{-3x}}-\frac{{{\text{e}}^{\frac{3}{2}-3x}}}{x}-\frac{{{\text{e}}^{-3x}}}{2x}$, Donde: $C=-\frac{1}{2}-{{e}^{\frac{3}{2}}}$. Nuevamente notar que la función $y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}$ , tiene como dominio el intervalo (más largo): 0 Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.
Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{\left( 3x+1 \right)}{x}y=\frac{{{e}^{-3x}}}{x}$, es:
$\Large y=\frac{C{{e}^{-3x}}}{x}+{{e}^{-3x}}$
Con intervalo de solución:
$I:\left \{ x\epsilon \mathbb{R}\mid 0< x< \infty \right \}$
Ecuacion diferencial lineal homegenea y no homogenea (Conceptos a recordar)
Logaritmos y exponenciales
$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$
Debido a que:
$y={{e}^{x}}$implica $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:
$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$ y
${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$
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