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Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10-11)

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En éste problema de Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10-11) te mostramos un método que te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos.

Utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

  1. Forma Standard:  $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
  2. Factor Integrante: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $y= y_{c}+y_{p}$

3               ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4              ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10)

a)      $x{{y}^{‘}}+2y=3$

Pasos:

  1. $\frac{dy}{dx}+2\frac{y}{x}=\frac{3}{x}$
  2. ${{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{2\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{2}}}}={{x}^{2}}$
  3. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\ln {{x}^{2}}}}=C{{e}^{\ln {{x}^{-2}}}}=C{{x}^{-2}}=\frac{C}{{{x}^{2}}}$
  4. ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}\left( \frac{3}{x} \right)dx$

$=\frac{1}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}3xdx$

$=\frac{3}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}xdx=\frac{3}{2{{x}^{2}}}{{x}^{2}}$

$=\frac{3}{2}$

Por tanto:

                          $y=\frac{C}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{2}$

 

Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (11)

b)      $x{{y}^{‘}}+4y={{x}^{3}}-x$

Pasos:

  1. $\frac{dy}{dx}+\frac{4}{x}y={{x}^{2}}-1$
  2. ${{e}^{4\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{4\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{4}}}}={{x}^{4}}$
  3. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-4\ln x}}$

$=C{{e}^{\ln {{x}^{-4}}}}$

$=C{{x}^{-4}}$

$=\frac{C}{{{x}^{4}}}$

4.   ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{4}}({{x}^{2}}-1)dx$

$=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}({{x}^{6}}-{{x}^{4}})dx$

$=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{6}}dx-\mathop{\int }^{}{{x}^{4}}dx$

$=\frac{1}{7{{x}^{4}}}{{x}^{7}}-\frac{1}{5{{x}^{4}}}{{x}^{5}}$

$=\frac{1}{7}{{x}^{3}}-\frac{1}{5}x$

Por tanto:

$y=\frac{C}{{{x}^{4}}}+\frac{1}{7}{{x}^{3}}-\frac{1}{5}x$

La gráfica de la familia de soluciones para ésta última ecuación diferencial es la siguiente:

Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10-11)

Figura 1. Familia de soluciones de la ED:  $\large xy^{‘}+4y=x^{3}-x$.

En la gráica de la Figura 1, la función solución en amarillo: $y(x) = -\frac{x}{5}+\frac{x^{3}}{7}$, corresponde a la solución de la ecuación diferencial en cuestion ($xy^{‘}+4y=x^{3}-x$), para los valores iniciales $y(0)=0$

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Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10-11)

Te invito a que practiques la solución de problemas mediante los pasos aquí descritos y que puedes ver a detalle en el siguiente artículo: Método de 4 pasos para ED’s lineales.

La aplicación ordenada del conocimiento adquirido permite que desarrolles tu intuición al tener una estructura mental donde se pueda depositar nuevo conocimiento.

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