Ecuaciones Diferenciales No Lineales: Ecuación Logística

Al terminar el siguiente artículo podrás resolver cualquier Ecuación Diferencial No lineal en su version de Ecuación Logística de manera ordenada y en solo 4 pasos. Además contarás con el código de MATHEMATICA para simularlas. =)

La técnica presentada para resolver la ecuación logística mediante pasos definidos (descrita más adelante), tiene el objetivo principal de acortar la curva de aprendizaje haciendo asequible el conocimiento repetitivo mediante el estructurar el mismo.

Esto puede ser aprovechado por el estudiante o profesor novicio para dedicarse a obtener un CONOCIMIENTO PROFUNDO del tema al utilizar la técnica para INDAGAR en la APLICACIONES del mismo.

La Dra. Joe Boaler profesora de matematicas en la Universidad de Stanford dice:

Las matemáticas …, no se trata de respuestas correctas o equivocadas sin NTERPRETACIÓN, SIN oportunidad para la CREATIVIDAD…

(curso: How to learn Math, for students), refiriendose a la importancia de vincular las matemáticas con conceptos VISUALES o, mejor aún, conceptos de la vida real para encontrale un significado, poder interpretarlas, ENTENDERLAS y crear con ellas.

METODOLOGIA PARA RESOLVER ANALITICAMENTE UNA ECUACION LOGISTICA

PASOS:

1. Escribir la Ecuación Logística separando sus variables en la ecuación. Es decir:
   1. Tenemos la ecuación logística general:

$ \frac{dP}{dt} = P \left( r – \frac{r}{K} P \right)$

O en su versión reducida:

$ \frac{dP}{dt} = P (a – b P)$

b. Escribimos la ED separando sus variables:

$ \frac{dP}{P \left( r – \frac{r}{K} P \right)} = {dt}$

II. Analizamos la función racional del primer miembro ($ \frac{p (x)}{q(x)} = {dt}$) e identificamos las integrales a resolver.

Para resolver un ED Logística, necesitamos recordar cómo INTEGRAR una función racional. Para este fin, describimos una secuencia de pasos a seguir que la desarrollamos en el artículo: Integración de Funciones Racionales; parte de ésta secuencia se utiliza para resolver las ED que ahora nos ocupan.

Análisis de la función racional para integrar ED Logísticas

1. Sefactoriza el denominador de la función racional y se identifica qué tipo de integral es. Para éste caso las más comunes son:
   1. Integral del tipo logarítmica: $ \int \frac{dT}{T}$
   2. Integral por fracciones parciales, ejemplo: $ \int\frac{constante}{polinomio} = \int\frac{A_1}{factor_1} + \int \frac{A_2}{factor_2} + \ldots$
   3. Integral:
      • Arco Tangente: $ \int \frac{dT}{1 + T^2}$
      • Arco Tangente hiperbólica: $ \int \frac{dT}{1 – T^2}$
      • del tipo: $ \int \frac{dT}{a^2 – T^2}$
   4. Una combinación de algunas y/o todas las integrales de los puntos anteriores al descomponer en fraciones mas simples (por ejemplo fracciones parciales).
   5. Por último, recordar que es posible encontrar una integral mas simple que las mencionadas al realizar la factorizacion del denominador de la funcion racional, por ejemplo, encontrar una integral de la forma: $ \int T^n dT$
2. Este procedimiento es una guía ordenada para abordar este tipo de ED’s, sin embargo las integrales a resolver pueden ser de más tipos, por lo cual habrá que revisar las tablas de integración al toparnos con integrales diferentes a las acá mencionadas.

III. Resolvemos las integrales mediante la técnica e integración correspondiente al tipo de integral:

1. $ \int \frac{dT}{T} = {Ln} | T | + C$
2. Fracciones Parciales:
   1. Factores lineales en el denominador. Por cada factor lineal escribimos una fracción del tipo: $ \frac{A}{a x + b}$
   2. Factores cuadráticos en el denominador. Por cada factor cuadratico escribimos: $ \frac{Ax + B}{ax^{2} + bx + c}$

Nota: Ver el artículo: Integración de Funciones Racionales para mayor detalle

    C.                 Integral:

• $ \int \frac{dT}{1 + T^{2}} = {arcTan} (T) + C$
• $ \int \frac{dT}{1 – T^{2}} = {arcTanh} (T) + C$
• $ \int \frac{dT}{a^2 – T^{2}} = \frac{1}{2 T} {Ln} \left|\frac{a + T}{a – T} \right| + C$,    $ | T | \neq a$   ó
• $ \int \frac{dT}{a^2 – T^2} = \frac{1}{a} {arcTanh} \left(\frac{T}{a} \right) + C$,     $ | T | < a$

D.                Combinacion de las anteriores.

E.                $ \int T^n {dT} = \frac{T^{n + 1}}{n + 1} + C$

 IV. Resolvemos el PVI, mediante la sustitución de los valores iniciales en la función solución.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES

Ecuación Logística

Ejemplo 1. Ejercicios 3.2. Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

La cantidad $ N (t)$ de supermercados del país que están usando sistemas de revisión computarizados se describe por el problema con valores iniciales

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