a)      ${{y}^{‘}}+\left( \tan x \right)y={{\cos }^{2}}x$,             $ y\left( 0 \right)=-1$

Utilizaremos el método del Factor Integrante (ver enlace), mediante los 4 pasos que hemos utilizamos aquí para resolver cualquier ED lineal de 1er orden (link: Método de los 4 pasos)

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 30).

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Multiplicamos el lado derecho de la ecuación y agrupamos, para obtener la forma estándar. Note que $ f(x)$ , es una constante.

$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$

$ \frac{dy}{dx}+(\tan x)y={{\cos }^{2}}x$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: $ {{\mathbf{e}}^{{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

${{e}^{{\int }^{}\tan xdx}}={{e}^{-\ln (\cos x)}}$

$ ={{e}^{\ln {{(\cos x)}^{-1}}}}$

$ ={{(\cos x)}^{-1}}$

$ =\frac{1}{\cos x}$

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

${{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}\tan xdx}}$

$ =C{{e}^{(-)-\ln (\cos x)}}$

$ =C{{e}^{\ln (\cos x)}}$

$ =C\cos x$

Solución Específica para el Sistema Homogéneo.

Intervalo de solucion ecuaciones diferenciales

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de $ x=0;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }y=-1$ , de modo que:

Sustituyendo en:

${{y}_{c}}=C\cos x$

Tenemos:

$ -1=C\cos 0~\Rightarrow ~~C=~-1$

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

$ {{y}_{c1}}=-\cos x$

La función $ {{y}_{c}}=C\cos x$, tiene como dominio más largo el intervalo: \({{D}_{{y}_{c}}}:\big\{x \in R \mid – \frac{ \pi }{2} < x <  \frac{ \pi }{2}\big\}\). Sin embargo, la solución particular \( {{y}_{{c}_{1}}}=\cos x\), tiene el mismo dominio:

$D_{y_{c1}}:\left \{ x \epsilon R|-\infty< x< \infty \right \}$

Es decir, la función del problema de valores iniciales, no tiene el mismo que el de la función, solución general. El valor de \(C\) es \(C=-1\), para le solución particular del PVI \(\frac{dy}{dx}+\big(\tan x\big) \ast y=0\), con \(y \left ( 0 \right ) = -1\).  Ver gráfica al final del ejercicio. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

Intervalo de solucion ecuaciones diferenciales

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “$ x$” e “$ y$”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “ C”.

$x=0;~~~~~~y=-1$