Ecuacion Diferencial autonoma de primer orden

Ecuacion diferencial autonoma de primer orden

En este artículo aprenderás de manera clara y sencilla cuando una Ecuacion Diferencial (ED) ordinaria de primer orden es autonoma, y marcaremos con precisión su forma general, para saber cuándo nos encontramos frente a una de ellas.

Este es un ejercicio resuelto extraído de:

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 38).

Lea el siguiente análisis y construya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones no constantes tienden a la asíntota horizontal $y = 4$  conforme $x \rightarrow \infty$ .

ANÁLISIS:

La solución de una ecuación diferencial :

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-3y=6$ …………………….(1)

Es la suma de dos soluciones:

$y=y_{c}+y_{p}$

Donde:

$y_{C}=C{{\text{e}}^{3x}}$ , es la solución homogénea del (1).

$y_{p}=-2$ es una solución particular de la ecuación no homogénea: $y’-3y=6$ .


(Se puede verificar estos resultados aplicando el Método de los 4 pasos, aquí hay un ejemplo de la aplicación del método, da click aquí, o mejor aún se puede utilizar el método de separación de variables, ver más adelante un ejemplo de solución con este último método)

Ecuación diferencial autonoma y la forma estándar de una ED

Cuando $a_{1}{(x)}, a_{0}{(x)}$ y $g{(x)}$ son constantes en la siguiente ecuación:$a_{1}\left( x \right)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+a_{0}\left( x \right)y=g\left( x \right)$ (FormaestándardeunaED de 1er orden),

La ecuación diferencial es autonoma.

Dicho de otra forma, una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece explícitamente se llama ecuación diferencial autonoma.

En la ecuación diferencial (1), al escribirla en la forma: $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3\left( x+2 \right)$, podemos ver que $-2$, es un punto crítico y que es inestable (un repulsor); esto es más claro, si vemos la gráfica de la ED para diferentes valores de  de $C$, de su solución: $y\left( x \right)=-2+C{{\text{e}}^{3x}}$.

Valores para C Valores de y(x)
-80 -2-80 E^(3 x)
-20 -2-20 E^(3 x)
-5 -2-5 E^(3 x)
-1 -2-E^(3 x)
-0.1 -2-0.1 E^(3 x)
-0.01 -2-0.01 E^(3 x)
-0.001 -2-0.001 E^(3 x)
-0.0001 -2-0.0001 E^(3 x)
-0.00001 -2-0.00001 E^(3 x)
0 -2
0.00001 -2+0.00001 E^(3 x)
0.0001 -2+0.0001 E^(3 x)
0.001 -2+0.001 E^(3 x)
0.01 -2+0.01 E^(3 x)
0.1 -2+0.1 E^(3 x)
1 -2+E^(3 x)
5 -2+5 E^(3 x)
20 -2+20 E^(3 x)
80 -2+80 E^(3 x)
ecuacion diferencial autonoma de primer orden

Ecuacion Diferencial autonoma de primer orden

Gráfica de algunas de las soluciones de la ED (autónoma): $y’-3y=6$. En esta gráfica se ve por qué el nombre de “repulsor” para el valor de $y=-2$. Las curvas por arriba del punto crítico: $y=-2$, son independientes de las curvas solución que pasan por debajo de dicho punto.

En esta gráfica se puede ver como cualquiera de las curvas solución de la ED lineal $y’-3y=6$, que estén por arriba o por debajo del punto crítico (también llamado punto de equilibrio): $y=-2$, se alejan de esta recta horizontal, conforme $x\to \infty $ .

FIN DEL ANÁLISIS.

Ahora, el problema a plantear es:

CONSTRUIR UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN PARA QUE TODAS LAS SOLICIONES NO CONSTANTES TIENDAN A LA ASÍNTOTA $y=4$ , CONFORME $x\to \infty $.

Sigue leyendo

Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10-11)

En éste problema de Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10-11) te mostramos un método que te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos.

Utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

  1. Forma Standard:  $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
  2. Factor Integrante: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $y= y_{c}+y_{p}$

3               ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4              ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

 

Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10)

a)      $x{{y}^{‘}}+2y=3$

Pasos:

  1. $\frac{dy}{dx}+2\frac{y}{x}=\frac{3}{x}$
  2. ${{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{2\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{2}}}}={{x}^{2}}$
  3. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\ln {{x}^{2}}}}=C{{e}^{\ln {{x}^{-2}}}}=C{{x}^{-2}}=\frac{C}{{{x}^{2}}}$
  4. ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}\left( \frac{3}{x} \right)dx$

$=\frac{1}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}3xdx$

$=\frac{3}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}xdx=\frac{3}{2{{x}^{2}}}{{x}^{2}}$

$=\frac{3}{2}$

Por tanto:

                          $y=\frac{C}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{2}$

 

Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (11)

b)      $x{{y}^{‘}}+4y={{x}^{3}}-x$

Pasos:

  1. $\frac{dy}{dx}+\frac{4}{x}y={{x}^{2}}-1$
  2. ${{e}^{4\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{4\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{4}}}}={{x}^{4}}$
  3. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-4\ln x}}$

$=C{{e}^{\ln {{x}^{-4}}}}$

$=C{{x}^{-4}}$

$=\frac{C}{{{x}^{4}}}$

4.   ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{4}}({{x}^{2}}-1)dx$

$=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}({{x}^{6}}-{{x}^{4}})dx$

$=\frac{1}{{{x}^{4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{6}}dx-\mathop{\int }^{}{{x}^{4}}dx$

$=\frac{1}{7{{x}^{4}}}{{x}^{7}}-\frac{1}{5{{x}^{4}}}{{x}^{5}}$

$=\frac{1}{7}{{x}^{3}}-\frac{1}{5}x$

Por tanto:

$y=\frac{C}{{{x}^{4}}}+\frac{1}{7}{{x}^{3}}-\frac{1}{5}x$

La gráfica de la familia de soluciones para ésta última ecuación diferencial es la siguiente:

Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10-11)

Figura 1. Familia de soluciones de la ED:  $\large xy^{‘}+4y=x^{3}-x$.

En la gráica de la Figura 1, la función solución en amarillo: $y(x) = -\frac{x}{5}+\frac{x^{3}}{7}$, corresponde a la solución de la ecuación diferencial en cuestion ($xy^{‘}+4y=x^{3}-x$), para los valores iniciales $y(0)=0$

 

Ecuacion Diferencial Ejercicio Resuelto G. Zill cap 2.3 prob (10-11)

Te invito a que practiques la solución de problemas mediante los pasos aquí descritos y que puedes ver a detalle en el siguiente artículo: Método de 4 pasos para ED’s lineales.

La aplicación ordenada del conocimiento adquirido permite que desarrolles tu intuición al tener una estructura mental donde se pueda depositar nuevo conocimiento.

La intuición, es una parte de la inteligencia que toma el conocimiento de partes del cerebro que no son accesibles para el consciente, en esta parte se encuentra toda tu sabiduría, tu Genio Interno.

Para saber más sobre como desarrollar tu intuición y aprender Ecuaciones Diferenciales, te invito a leer el artículo: La Técnica Perfecta para Aprender Ecuaciones Diferenciales(da click aquí).

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