Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos G Zill Capítulo 2.3 problema 15 del libro: Dennis G. Zill 7ª Ed.

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos G Zill Capítulo 2.3 problema 15, el siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Método: Factor Integrante

$\frac{dx}{dy}-\frac{4(x+{{y}^{6}})}{y}=0$,

$\frac{dx}{dy}-\frac{4x}{y}-\frac{4{{y}^{6}}}{y}=0$

$\frac{dx}{dy}-\frac{4x}{y}=4{{y}^{5}}$

II. En el segundo paso encontramos el factor integrante:

Para esto sustituimos el valor de P(y) en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}$,   donde: P(y)=$-\frac{4}{y}$. Para recordar las formulas integrales y el manejo de las funciones trascendentes vea el final del ejercicio.

${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( \mathbf{y} \right)\mathbf{dy}}}$,  

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

${{x}_{c}}=C{{y}^{4}}$

Se puede ver una solución particular $x=-3{{y}^{4}}$, donde $C=-3$

Notar que la función ${{x}_{c}}=C{{y}^{4}}$ , tiene como dominio todo el conjunto de los números reales. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo.

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dx}{dy}-\frac{4x}{y}=4{{y}^{5}}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{x}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}f(y)dy$           , donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}={{y}^{-4}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( y \right)=4{{y}^{5}}$, obtenido en el punto i. Notar que la fórmula:

${{x}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}f(y)dy$, es solo la contraparte de la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$ , para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente:

solución del sistema no homogeneo.

${{x}_{p}}=\frac{1}{{{y}^{-4}}}\mathop{\int }^{}{{y}^{-4}}(4{{y}^{5}})dx$

$=\frac{4}{{{y}^{-4}}}\mathop{\int }^{}\text{y}dx$

$=\frac{4}{{{y}^{-4}}}(\frac{1}{2}{{y}^{2}})$

$=2{{y}^{6}}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogeneo:

$x=C{{y}^{4}}+2{{y}^{6}}$

Se puede ver una solución particular $x\left( y \right)=-5{{y}^{4}}+2{{\text{y}}^{6}}$,

Donde: $C=-5$. Nuevamente notar que la función $x=C{{y}^{4}}+2{{y}^{6}}$ , tiene como dominio todo el conjunto de los números reales. Por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), el intervalo que contiene la solución de una ED, debe cumplir con 2 criterios: que la función esté definida y sea derivable en dicho intervalo.

Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial $ydx-4\left( x+{{y}^{6}} \right)dy=0$, es:

$\Large x=C{{y}^{4}}+2{{y}^{6}}$

Notar que:

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$implica  $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por lnobtendremos:

$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$