Archivo de la etiqueta: Zill Capitulo 2.3 problema 36

Cómo encontrar la solución de un problema de valores iniciales (PVI) y expresarla como una Integral no Elemental

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Solución de un Problema de Valores Iniciales(PVI), expresada como integral no elemental.

En este artículo analizaremos cómo resolver un PVI donde la ED lineal está dividida en partes, pero con una particularidad, que el coeficiente de la segunda Variable de Estado “$ y$” es igual a: $ P\left( x \right)={{e}^{x}}$, con esto nos dará como resultado, al resolver la ED, una integral no elemental y ésto nos permitirá tener una visión más profunda del significado de la función $ P\left( x \right)$, que es el coeficiente de la función de estado $ y(x)$, que la ED posee como segundo término del lado izquierdo de la ecuación*.

Utilizaremos los mismos 4 pasos utilizados con anterioridad para hallar la solución de una ED lineal de 1er Orden DEFINIDA POR PARTES (a TROZOS), CON VALORES INICIALES, sujeta a 3 casos iniciales.

La Ecuación Diferencial es:

$ \LARGE y’+{{e}^{x}}y=4x$,             $ \LARGE y\left( 0 \right)=1$,

Y los 3 casos son:

1.- $\LARGE f(x) = 1, x > 0$

2.- $\LARGE f(x) = 0, x > 0$

3.- $\LARGE f(x) = e^{x}, x > 0$

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 36).

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PRIMER CASO: Empezamos con $ f\left( x \right)=1$:

$ \LARGE y’+{{e}^{x}}y=1$
Pasos:
I.                    Forma estándar de la ED a resolver: $ \frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$

Solo sustituimos en valor de la función de entrada $ f(x)$.

$ \frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y=1$
II.                  Encontramos el factor integrante: $ {{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,  

El valor de $P(x)$ en $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $ P\left( x \right)={{e}^{x}}$.

$ {{e}^{\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}={{e}^{{{e}^{x}}}}$

III.                Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}$, donde: $ P\left( x \right)={{e}^{x}}$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

$ \frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y=0$ $ {{y}_{c1}}={{C}_{1}}{{e}^{-\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx}}$

$ ={{C}_{1}}{{e}^{-{{e}^{x}}}}$

IV. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

Utilizamos la fórmula: $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{{{e}^{x}}}}$ (obtenido en el punto II.) y $ f\left( x \right)={{e}^{x}}$.  obtenido en el punto i.

Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo. $ \frac{dy}{dx}+{{e}^{x}}y=1$

$ {{y}_{p1}}=\frac{1}{{{e}^{{{e}^{x}}}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{e}^{x}}}}(1)dx$

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Utilizando El Teorema Fundamental del Cálculo:

Sea $ f$ continua en el intervalo [a,b], y $ F$ esté definida dentro del mismo intervalo cerrado [a,b], como: $ F\left( x \right)=\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( t \right)dt$ Entonces $ F$es un primitiva de $ f$. Es decir, $ {{F}^{‘}}\left( x \right)=f(x)$ Para $ x$en $ (a,b)$ Siga el link para la demostración:

Teorema Fundamental del Cálculo _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Utilizamos el Teorema Fundamental del Cálculo, para poder lidiar con la integral No Elemental con la que nos hemos topado.

Tenemos: Sigue leyendo →