Ecuación Diferencial, Ejercicios resueltos del libro: Dennis G. Zill Capitulo 2.3 (6-10)

Ecuación diferencial, ejercicios resueltos del libro: Dennis G. Zill 7ª Ed.

El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

  1. Forma Standard:  $ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
  2. Factor Integrante: $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y= y_{c}+y_{p}$

3               $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4              $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problemas 6 al 10)

a)      $ {{y}^{‘}}+2xy={{x}^{3}}$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}+2xy={{x}^{3}}$
  2. $ {{e}^{2\mathop{\int }^{}xdx}}={{e}^{2x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-{{x}^{2}}}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx$

$ \mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx=\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)\left( {{x}^{2}} \right)dx$

$ {{e}^{u}}={{e}^{{{x}^{2}}}}$

$ du=2x$

Por tanto: $ \frac{1}{2}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( 2 \right)xdx=\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

Por tanto:

$ u={{x}^{2}}$   ;    $ dv={{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)dx$

$ du=2x$ ; $ v=\frac{1}{2}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}(2)xdx$

$ =\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

Por tanto:

$ \mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx=~\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)dx$

De modo que (siguiendo con iv):

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}(\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$)

$ =\frac{1}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}$

Por tanto:

$ y=C{{e}^{-{{x}^{2}}}}+\frac{1}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}$


b)      $ {{x}^{2}}{{y}^{‘}}+xy=1$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=\frac{1}{{{x}^{2}}}$
  2. $ {{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{\ln x}}=x$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\ln x}}$

$ =C{{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}$

$ =C{{x}^{-1}}$

4.  $ {{y}_{p}}=\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}x\frac{1}{{{x}^{2}}}dx$

$ =\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx$

$ =\frac{1}{x}\ln x$

Por tanto:

$ y=C{{x}^{-1}}+\frac{1}{x}\ln x$


c)      $ {{y}^{‘}}=2y+{{x}^{2}}+5$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}-2y={{x}^{2}}+5$
  2. $ {{e}^{-2\mathop{\int }^{}dx}}={{e}^{-2x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{2x}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}}+5)dx$

$ \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}\left( {{x}^{2}}+5 \right)dx=\mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx+5\mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx$

$ \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx$

$ u={{x}^{2}}$       ;   $ dv={{e}^{-2x}}dx$

$ du=2xdx$        $ v=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}$

Por tanto:

$ \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}+\frac{2}{2}\mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}(x)dx$

$ \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}(x)dx$

$ u=x$       ;   $ dv={{e}^{-2x}}dx$

$ du=dx$        $ v=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}$

Por tanto:

$ \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}\left( x \right)dx=-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}+\frac{1}{2}\mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx$

$ \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx$

$ {{e}^{u}}={{e}^{-2\text{x}}}$

$ du=-2dx$

$ \mathop{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}$

$ \int e^{-2x}\left ( x^{2}+5 \right )dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}x^{2}+(-\frac{1}{2}xe^{-2x}+\frac{1}{2}[-\frac{1}{2}e^{-2x}] )+5\int e^{-2x}dx$

$ =-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}+5(-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}})$

$ =-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}-\frac{5}{2}{{e}^{-2x}}$

Esto implica:

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-2x}}}(-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}-\frac{5}{2}{{e}^{-2x}})$

$ =\frac{1}{{{e}^{-2x}}}[-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\left( \frac{1}{4}+\frac{5}{2} \right){{e}^{-2x}}]$

$ =-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{11}{4}$

Por tanto:

$ y=C{{e}^{2x}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{11}{4}$


d)      $ x\frac{dy}{dx}-y={{x}^{2}}\sin x$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x\sin x$
  2. $ {{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{-\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}={{x}^{-1}}=\frac{1}{x}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{\left( – \right)-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}$

$ =C{{e}^{\ln x}}=Cx$

4.   $ {{y}_{p}}=\frac{1}{\frac{1}{x}}\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}\left( x\sin x \right)dx$

$ =x\mathop{\int }^{}\sin xdx$

$ =-x\cos x$

Por tanto:

$ y=Cx-x\cos x$


e)      $ x\frac{dy}{dx}+2y=3$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}+2\frac{y}{x}=\frac{3}{x}$
  2. $ {{e}^{2\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{2\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{2}}}}={{x}^{2}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}=C{{e}^{-2\ln x}}=C{{e}^{\ln {{x}^{-2}}}}=C{{x}^{-2}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{2}}\left( \frac{3}{x} \right)dx$

$ =\frac{3}{{{x}^{2}}}\mathop{\int }^{}xdx$

$ =\frac{3}{2{{x}^{2}}}{{x}^{2}}=\frac{3}{2}$

Por tanto:

$ y=\frac{C}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{2}$

5 pensamientos en “Ecuación Diferencial, Ejercicios resueltos del libro: Dennis G. Zill Capitulo 2.3 (6-10)

  1. Pingback: Resolucion de un ecuacion diferencial de primer orden

    • Jose
      Si ves el paso iv, la formula es:

      $ y_{p}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx$

      Esta es la que sustituí, sencillamente con el resultado que había obtenido:

      $ \mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx=~\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-\mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)dx$

      Ó, integrando:

      $ \mathop{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx=~\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

      De modo que nos resulta:

      $ y_{p}=\frac{1}{e^{{x}^{2}}}(\frac{1}{2}x^{2}e^{{x}^{2}}-\frac{1}{2}e^{{x}^{2}})$

      Saludos

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