Metodo de Euler

MÉTODO DE EULER

Al culminar de leer el siguiente artículo, podrás resolver cualquier ecuación diferencial de primer orden con valores iniciales, mediante el método de euler y demás podrás graficar tus resultados aquí mismo o copiando el código de MATHEMATICA al final del artículo.

Según la Dra Barbara Oakley de la UC San Diego, en su curso Leaning how to learn, se puede acceder a la memoria a largo plazo mediante la técnica: Palacio de la memoria, donde se utiliza un lugar físico y totalmente familiar para memorizar objetos que no tienen conexión entre si, como lo puede ser la lista del supermercado.

Otra técnica efectiva para memorizar nombres es la de utilizar frases memorables para memorizar conceptos. En dicha técnica la primera letra de una frase es también la primera letra de una lista que necesita ser memorizada.

Por ejemplo, la frase en ingles: Old People from Texas Eat Spiders, es utilizada en medicina para memorizar los huesos en el cráneo, donde las primeras letras de las siguientes palabras corresponden a las primeras letras de la frase en ingles.

Metodo de Euler

Figura 1. Old People from Texas Eat Spiders

De modo que las primeras letras de cada palabra en la frase: Old People From Texas Eat Spiders, corresponden a las primeras letras de las palabras
en la siguiente lista: Occipital, Parietal, Frontsal, Temporal, Ethmoid, Sphenoid.

Esta técnica podría ser muy util para memorizar los pasos que aquí proponemos para resolver los tipos de ecuaciones diferenciales, como las que corresponden al método de Euler que a continuación se describen.

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER

FORMULAS USADAS

\begin{equation}
\LARGE y_{n + 1} = y_n + h f (x_n, y_n)
\end{equation}
(1)
\begin{equation}
\LARGE x_{n + 1} = x_n + h
\end{equation}
(2)

Donde:

$ n = 0, 1, 2, 3, \ldots$

$ h =$ tamaño del incremento en $latex x$

$ f (x_n, y_n) =$ segundo miembro de la ED de primer orden cuando tiene la forma:

$ \large \frac{d y}{d x} = f (x, y)$

PROCEDIMIENTO:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro

ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema, ejemplo:

para el PVI: $ y^{\prime} = 0.12 \sqrt{y} + 0.4 x^2$, $ y (2) = 4$, $ y (2.5)$,
con $ h = 0.5$, las variables buscadas son: $ x_0 = 2$, $ y_0 = 4$ y $ h = 0.5$

iii. Plateamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales, como sigue:
$ \large y_{0 + 1} = y_0 + h f (x_0, y_0)$

Y una vez obtenido este primer resultado repetimos el proceso iterativamente utilizando los nuevos datos:
$ \large y_{1 + 1} = y_1 + h f (x_1, y_1)$

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 2.5$,
como se ve el los datos del problema del inciso anterior.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER

En los problemas 1 y 2 siguientes use el método de euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado, ejecute a mano la ecuación de recursión $ y_{n + 1} = y_n + h f (x_n, y_n)$, usando primero $ h = 0.1$ y después usando $ h = 0.5$.

Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

$ \Large y^{\prime} = 2 x – 3 y + 1$, $ y (1) = 5$, $ y (1.2)$

Primer caso $ h = 0.1$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = 2 x – 3 y + 1$
ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_0 = 1$,

$ y_0 = 5,$

Para este primer caso: $ h = 0.1$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*}
y_{0 + 1} & = & y_0 + h f (x_0, y_0)\\
y_1 & = & y_0 + h \ast (2 x_0 – 3 y_0 + 1)\\
y_1 & = & 5 + (0.1) (2 (1) – 3 (5) + 1)
\end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x =1.2$. (Ver datos del problema)

\begin{eqnarray*}
y_1 & = & 5 + (0.1) (2 – 15 + 1)\\
& = & 5 + (0.1) (- 12)\\
& = & 5 – 1.2\\
y_1 = y (1.1) & = & 3.8000
\end{eqnarray*}

 

\begin{eqnarray*}
y_{1 + 1} & = & y_1 + h f (x_1, y_1)\\
y_2 & = & y_1 + h \ast (2 x_1 – 3 y_1 + 1)\\
y_2 & = & 3.8 + (0.1) (2 (1.1) – 3 (3.8) + 1)\\
y_2 & = & 3.8 + (0.1) (2.2 – 11.4 + 1)\\
& = & 3.8 + (0.1) (- 8.2)\\
& = & 3.8 – 0.82\\
y_2 = y (1.2) & = & 2.9800
\end{eqnarray*}

Nota . El hecho de que la $ x$ varíe $ x_0 = 1$, $ x_1= 1.1$, $ x_2 = 1.2$, etc, tras cada iteración es por que la $ x$ aumenta según la fórmula: $ x_{n + 1} = x_n + h$; la explicación mas precisa matemáticamente se puede ver en la presentación: De donde sale el Método de Euler.

=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.
Segundo caso $ h = 0.05$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = 2 x – 3 y + 1$  Igual al anterior.

ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_0 = 1$,

$ y_0 = 5,$

Para este segundo caso: $ h = 0.05$ (solo este dato cambia)

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*}
y_{0 + 1} & = & y_0 + h f (x_0, y_0)\\
y_1 & = & y_0 + h \ast (2 x_0 – 3 y_0 + 1)\\
y_1 & = & 5 + (0.05) (2 (1) – 3 (5) + 1)
\end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 1.2$.

\begin{eqnarray*}
y_1 & = & 5 + (0.05) (2 – 15 + 1)\\
& = & 5 + (0.05) (- 12)\\
& = & 5 – 0.6\\
y_1 = y (1.05) & = & 4.4000
\end{eqnarray*}

 

\begin{eqnarray*}
y_{1 + 1} & = & y_1 + h f (x_1, y_1)\\
y_2 & = & y_1 + h \ast (2 x_1 – 3 y_1 + 1)\\
y_2 & = & 4.4 + (0.05) (2 (1.05) – 3 (4.4) + 1)\\
y_2 & = & 4.4 + (0.05) (2.1 – 13.2 + 1)\\
& = & 4.4 + (0.05) (- 10.1)\\
& = & 4.4 – 0.505\\
y_2 = y (1.1) & = & 3.8950
\end{eqnarray*}

 

\begin{eqnarray*}
y_{2 + 1} & = & y_2 + h f (x_2, y_2)\\
y_3 & = & y_2 + h \ast (2 x_2 – 3 y_2 + 1)\\
y_3 & = & 3.8950 + (0.05) (2 (1.1) – 3 (3.8950) + 1)\\
& = & 3.8950 + (0.05) (2.2 – 11.685 + 1)\\
& = & 3.8950 + (0.05) (- 8.485)\\
& = & 3.8950 – 0.42425\\
y_3 = y (1.15) & = & 3.47075
\end{eqnarray*}

 

\begin{eqnarray*}
y_{3 + 1} & = & y_3 + h f (x_3, y_3)\\
y_4 & = & y_3 + h \ast (2 x_3 – 3 y_3 + 1)\\
y_4 & = & 3.47075 + (0.05) (2 (1.15) – 3 (3.47075) + 1)\\
& = & 3.47075 + (0, 05) (2.3 – 10.41225 + 1)\\
& = & 3.47075 + (0.05) (- 7.11225)\\
& = & 3.47075 – 0.3556125\\
y_4 = y (1.2) & = & 3.1151
\end{eqnarray*}

 

El código en SAGE para resolver los problemas mediante métodos numéricos lo puedes ver en la presentación: De donde sale el Método de Euler. da click aquí.

A continuación te dejo este mismo problema resuelto con SAGE. Si quieres aprender a editar la celda de SAGE, revisa el siguiente artículo: Simulación, Graficación y Aplicación de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Físicos can SAGE.

En el siguiente enlace puedes acceder a la celda de SAGE para simular en tiempo real este problema 3.

Ejercicios 2.6. Dennis G. Zill. Problema 1. Da click aquí

 metodo de euler

-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:

-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:

Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 2)

$ \Large y^{\prime} = x + y^2$, $ y (0) = 0$; $ y (0.2)$

Primer caso $ h = 0.1$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = x + y^2$
ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_0 = 0$,

$ y_0 = 0,$

Para este primer caso: $ h = 0.1$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*}
y_{0 + 1} & = & y_0 + h f (x_0, y_0)\\
y_1 & = & y_0 + h \ast (x_0 + y_0^2)\\
y_1 & = & 0 + (0.1) (0 + 0^2)
\end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 0.2$.

\begin{eqnarray*}
y_1 & = & 0 + (0.1) (0)\\
& = & 0 + 0\\
y_1 = y (0.1) & = & 0
\end{eqnarray*}

 

\begin{eqnarray*}
y_{1 + 1} & = & y_1 + h f (x_1, y_1)\\
y_2 & = & y_1 + h \ast (x_1 + y_1^2)\\
y_2 & = & 0 + (0.1) (0.1 + 0^2)\\
& = & 0 + (0.1) (0.1)\\
& = & 0 + 0.01\\
y_2 = y (0.2) & = & 0.01
\end{eqnarray*}

=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.

Segundo caso $ h = 0.05$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = x + y^2$
ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_0 = 0$,

$ y_0 = 0,$

Para este segundo caso: $ h = 0.05$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*}
y_{0 + 1} & = & y_0 + h f (x_0, y_0)\\
y_1 & = & y_0 + h \ast (x_0 + y_0^2)\\
y_1 & = & 0 + (0.05) (0 + 0^2)
\end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 0.2$.

\begin{eqnarray*}
y_1 & = & 0 + (0.05) (0)\\
& = & 0 + 0\\
y_1 = y (0.05) & = & 0
\end{eqnarray*}

 

\begin{eqnarray*}
y_{1 + 1} & = & y_1 + h f (x_1, y_1)\\
y_2 & = & y_1 + h \ast (x_1 + y_1^2)\
y_2 & = & 0 + (0.05) (0.05 + 0^2)\\
& = & 0 + (0.05) (0.05)\\
& = & 0 + 0.0025\\
y_2 = y (0.1) & = & 0.0025
\end{eqnarray*}

 

\begin{eqnarray*}
y_{2 + 1} & = & y_2 + h f (x_2, y_2)\\
y_3 & = & y_2 + h \ast (x_2 + y_2^2)\\
y_3 & = & 0.0025 + (0.05) (0.1 + 0.0025^2)\\
& = & 0.0025 + (0.05) (0.10000625)\\
& = & 0.0025 + 0.0050003125\\
y_3 = y (0.15) & = & 0.0075003125
\end{eqnarray*}

 

\begin{eqnarray*}
y_{3 + 1} & = & y_3 + h f (x_3, y_3)\\
y_4 & = & y_3 + h \ast (x_3 + y_3^2)\\
y_4 & = & 0.0075003125 + (0.05) (0.15 + 0.0075003125^2)\\
& = & 0.0075003125 + (0.05) (0.150056254)\\
& = & 0.0075003125 + 0.0075028127\\
y_4 = y (0.2) & = & 0.015003125
\end{eqnarray*}

 

El código en SAGE para resolver los problemas mediante métodos numéricos lo puedes ver en la presentación: De donde sale el Método de Euler. da click aquí.

A continuación te dejo este mismo problema resuelto con SAGE. Si quieres aprender a editar la celda de SAGE, revisa el siguiente artículo: Simulación, Graficación y Aplicación de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Físicos can SAGE.

En el siguiente enlace puedes acceder a la celda de SAGE para simular en tiempo real este problema 3.

Ejercicios 2.6. Dennis G. Zill. Problema 2. Da click aquí

metodo de euler

 

El código de MATHEMATICA lo pueden ver al final del artículo: METODO DE EULER PARA ECUACIONES DIFERENCIALESdonde también pueden ver más ejemplos de ejercicios resueltos mediante el método de Euler en 4 pasos.

 Actualmente los cursos de Ecuaciones Diferenciales hacen un énfasis especial en el uso de computadores para procesar los modelos matemáticos generados. La programación para simulación de sistemas dinámicos o físicos en general, se ha vuelto necesaria no solo para quienes quieren dedicarse a las aplicaciones de las matemáticas si no también, para quienes quieren aprenderlas debido a las funcionalidades que proveen los dichos softwares como lo son la graficación y el cálculo numérico, con lo que nos permite realizar análisis cualitativos y cuantitativos para entender mediante las gráficas o los números generados, el comportamiento de nuestros modelos matemáticos y más aun de los conceptos mismos que representan.

Pensando en esto te invito a prepararte de una vez aprendiendo a programar, para esto sigue el siguiente enlace: CURSOS DE PROGRAMACIÓN

Prepara tu mente para desarrollar tu intuición y confianza, para esto te invito a leer el artículo La técnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales, da click aquí, y practicar con varios ejercicios.

Puedes descargar este mismo artículo en formato PDF, aquí (da click aquí)

Quiero más ejemplos resueltos con el Método de Euler

Quiero Ejemplos de cómo resolver estos ejercicios programando el método de Euler con SAGE y simulando en tiempo real

Quiero ejemplos de ecuaciones lineales de 1er orden en pasos

Presentación: De donde sale el Método de Euler. da click aquí.

metodo de euler

Presentación: Algoritmo para Implementar el Método de Euler con SAGE.

metodo de euler

Encontraste la información que buscabas?

Te invito a que me contactes aquí para cualquier sugerencia sobre la página y si tienes una duda en particular sobre el tema tratado, por favor, deja tu comentario al final de esta página. Que estés bien. 😉

13 pensamientos en “Metodo de Euler

  1. precisamente hoy, en una sesión de profesores de matemáticas de nivel medio superior, plantée la necesidad de reconstruir la comunicabilidad de las matemáticas.
    Este trabajo de usted sobre el método de Euler, es un elemento muy significativo en esta dirección

    • Francisco,
      Buenas tardes.
      Le agradezco muchísimo su comentario, pues me sirve mucho para seguir con el mismo estilo.
      Coincido ampliamente con Ud. en relación a que las matemáticas pueden ser mucho más accesibles y me parece que esto puede ayudar al desarrollo en un nivel más profundo y más amplio de las mismas …
      Quedo a sus ordenes para cualquier sugerencia o comentario al respecto.
      Un saludo cordial.

    • Mandamelos Miguel Angel.
      No te puedo garantizar la ayuda por que tengo otras ocupaciones.
      Pero envíamelos y al menos te puedo dar una orientación, en caso de no tener tiempo para mas.
      Te parece?
      Saludos

  2. Hola.
    Muy bien se estudia con esto, gracias por compartir.

    Quisiera saber si tienen los ejercicios de edway penney de la sección 2.4, 2.3… 2.2. y 2.1 algunos resueltos.

Deja un comentario