Teorema del Valor Medio

En este artículo aprenderás y podrás aplicar el concepto de valor medio para una integral, mediante una técnica poderosa de aprendizaje significativo que consiste en relacionar temas previamente aprendidos con los temas nuevos por aprender. Para esto utilizaremos el concepto de Valor Promedio, el cual es bien conocido y utilizado comúnmente, además de tener una obvia relación con el tema que vamos a aprender. En términos matemáticos, el promedio de una serie de cantidades (o números), se escribe de la siguiente forma:

$ \Large \bar{a} = \frac{a_1 + a_3 + a_3 + \cdots + a_n}{n}$

Donde: $ \bar{a}$: promedio de las cantidades $ a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ $ n$: cantidad de mediciones que se quieren hacer.

O más formalmente:

\begin{equation} \label{promedios} \bar{a} = \frac{1}{n} \sum^n_{i = 1} a_i \end{equation}(1)

Supongamos que la serie de valores $ a_1, a_2, a_3, …, a_n$ corresponden a valores de temperatura medidos de alguna sustancia cotidiana como el agua cuando la calentamos. La representación de la temperatura en función del tiempo, la podemos escribir, de la siguiente manera:

\begin{equation} T = f ( t) \end{equation}(2)

Donde: $ f_1( t), f_2( t), f_3( t), \cdots , f_n( t)$ serían los valores particulares de la temperatura durante el proceso de calentamiento. Ahora, como nuestro objetivo es buscar la temperatura promedio de una función (integral), sigamos la siguiente estratégia: ESTRATEGIA PARA ENCONTRAR EL PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN

Buscaremos construir una función que modele el promedio de las temperaturas medidas durante el calentamiento de una cantidad cualquiera de agua.

Para tal efecto, utilizaremos el concepto básico que representa la integral, que es el de realizar un SUMA de cantidades y dividiremos dicha cantidad entre el intervalo de tiempo que se toma el agua para evaporarse que va desde su comienzo a una cierta temperatura (en este caso 25º C), hasta su punto de evaporación (que es de 100º C, al nivel del mar).

La idea es ir incrementando el número de mediciones tomadas dentro el mismo intervalo de tiempo que se toma el agua para evaporarse desde su temperatura inicial, de tal manera que eventualmente nos encontremos con tal cantidad de mediciones que nos permitan modelar el corportamiento de la temperatura mediante una función matemática.

La función buscada, al depender del tiempo es una función contínua.

Asumiremos que el experimento se realiza en altitudes próximas al nivel del mar.

Para mayor claridad en el desplegado de la gráfica se ha exagerado el tiempo de evaporación del agua al nivel del mar.

CLAVE: relacionar los promedio de las mediciones con el promedio de las áreas bajo la curva que son delimitadas por dichas mediciones.

Entonces, partiendo de lo más básico tomamos una medición entre la temperatura inicial (25º C) y la final (100º C) para empezar a realizar nuestro modelo matemático mientras graficamos las mediciones obtenidas y podamos ver el comportamiento de la temperatura de ésta forma. Medimos las temperaturas en un intervalo de 12 minutos y graficamos con resprecto al tiempo el calentamiento del agua al nivel del mar:

Teorema del Valor Medio

Figura 1. Mediciones para el calentamiento de una cantidad arbitraria de agua al nivel del mar. En intervalos de 12 minutos.

Aplicando la fórmula (1) a los resultados de las mediciones, agregando la temperatura de evaporación que es de 100º C, para encontrar el promedio de las mediciones, obtenemos:

\begin{equation} T_{promedio} = \frac{25.0 + 77.4 + 93.2}{3} = 65.2 \end{equation}

Ahora, nuestra estrategia es tomar cada vez más mediciones dentro del mismo intervalo de tiempo que el agua utiliza para evaporarse desde su temperatura inicial (que en este caso es de 25º C) e ir calculando los promedios de las mediciones y al mismo tiempo calcular el promedio de las áreas que se forman bajo la gráfica formada por la unión de las mediciones por medio de lineas rectas, como lo muestra la siguiente gráfica:

Teorema del Valor Medio

Figura 2. Áreas y sus magnitudes. Áreas que se forman uniendo las mediciones de temperatura realizadas a intervalos de 12 minutos

Calculando el promedio de las áreas acá encontradas, tenemos:

$ \large Promedio_{areas} = \frac{300.0 + 314.4 + 94.8 + 628.8 + 300.0}{24} = 68.25$

Como observas, el promedio de las áreas entre el intervalo de tiempo total para el calentamiento del agua (que en este caso consideramos es de 24 min), es parecido al promedio de las temperaturas tomadas -que son los puntos que delimitan estas áreas.

Siguiendo la misma estrategia para las mediciones en intervalos de 8 minutos, 6 minutos y 4 minutos, tendríamos: INTERVALOS DE 8 MINUTOS

Teorema Valor Medio

Figura 3. Mediciones de la temperatura del agua a intervalos de 8 minutos. Magnitudes y áreas formadas bajo la curva.

Calculando el promedio de las mediciones y el de las áreas, tenemos:

$ \large T_{promedio} = \frac{25.0 + 66.3 + 84.9 + 93.2}{4} = 67.35$

$ \large Promedio_{areas} = \frac{3 \times 200 + 165.2 + 2 \times 330.4+ 74.4 + 148.8 + 33.2}{24} = 70.1$

INTERVALOS DE 6 MINUTOS

Teorema del Valor Medio

Figura 4. Resultados de las mediciones de temperatura para una cantidad arbitraria de agua a altitudes próximas al nivel del mar. Intervalos cada 6 minutos

$ \large T_{promedio} = \frac{25.0 + 58.8 + 77.4 + 87.6 + 93.2}{5} = 68.4$

$ Promedio_{areas} = \frac{4 \times 150 + 101.4 + 3 \times 202.8+ 55.8 + 2 \times 111.6 + 30.6 + 61.2 + 16.8}{24} = 70.725$

INTERVALOS DE 3 MINUTOS

Teorema del Valor Medio

Figura 5. Mediciones cada 3 minutos de la temperatura del agua al calentarse al nivel del mar

$ T_{promedio} = \frac{25.0 + 44.4 + 58.8 + 69.5 + 77.4 + 83.3 + 87.6+ 90.8 + 93.2}{9} = 70.0$

$ Áreas_{suma}1 = 8 \times 75.0 + 29.1 + 7 \times 58.2 + 21.6 +6 \times 43.2 + 16.05 + …$

$ 5 \times 32.1 + 11.85 = 1505.7$

$ Áreas_{suma}2 = 4 \times 23.7 + 8.85 + 3 \times 17.7 + 6.45 +2 \times 12.9 + 4.8 + 9.6 + …$

$ 3.6 = 207.0$

$ Total-areas_{suma} = 1712.7$

$ Promedio_{areas} = \frac{1712.7}{24} = 71.3625$

Si resumimos los resultados podremos notar que mientras más pequeño es el intervalo de medición, el promedio de las áreas se va acercando al promedio de las mediciones.

Tabla 1. Resumen de promedios de mediciones de temperatura y áreas
Promedio medicionesPromedio de las áreasDiferencia
Mediciones cada 12 minutos65.268.253.05
Mediciones cada 8 minutos67.3570.12.75
Mediciones cada 6 minutos68.470.7252.325
Mediciones cada 3 minutos70.071.36251.3625

Como podemos notar mientras más dividamos el intervalo de tiempo en el que se calienta el agua, y obtengamos sus promedios más se acerca al promedio obtenido por la suma de las áreas delimitadas por dichas mediciones.

Si observamos las siguientes gráficas podemos evidenciar que mientras más pequeños sean los intervalos de medición, las áreas entre ellos más se asemejan a una linea más que a un área.

Teorema del Valor Medio

Figura 6. Mediciones de temperatura del agua al calentarse a intervalos de 1 minuto

 

Teorema del Valor Medio

Figura 7. Mediciones de temperatura del agua a intervalos de medio minuto.

Una vez que intuitivamente tenemos la idea clara de que a intervalos mas pequeños, los promedios de las áreas (delimitadas por las mediciones) y los de las mediciones se van aproximando, podemos notar la siguiente aseveración analítica, que víncula el concepto de integral:

$ \large Promedio-de-Mediciones \approx Promedio-de-las-areas$

Es decir:

$ \Large Promedio-de-mediciones = \frac{1}{n} \sum^n_{i = 1} a_i$

Donde:

$n : numero-de-mediciones$ $ a_i : temperatura-medida$ Ahora, la subdivisión del intervalo de medición a cantidades cada vez mas pequeñas, nos lleva al límite:

\begin{equation} promedioDmedicionesDtemperatura ( \bar{T}) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum^n_{i = 1} f ( t_i) \end{equation}(3)

Donde: $ f ( t_i)_{} = a_i$: Temperatura en el tiempo $ i$. Recordemos que $ T = f( t)$

Esta fórmula (3), se representa la división del tiempo de calentamiento del agua en partes cada vez mas pequeñas como lo evidenciamos en las gráficas anteriores, hasta aproximarse al infinito, es decir, hasta que los intervalos de medición sean tan próximos que cada medición prosiga a la otra de manera continua, o dicho de otra forma, que los intervalos de medición sean en partes tan pequeñas como los rangos de millonésimas de unidad de tiempo (por citar un rango muy pequeño), lo cual sería imperceptible para los sentidos humanos. Eso es lo que implica $latex \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}$.

Ahora, la representación de las áreas al hacerse cada vez mas pequeñas las podemos modelar con la fórmula (3), incluyendo un término adicional; el ancho de las áreas sobre el eje $ x$, es decir:

Teorema del Valor Promedio

Figura 8. Áreas bajo la curva formada por las mediciones y su relación simbólica con las fórmulas de integración de la suma de las áreas bajo una curva.

De esta manera, podemos entender que el área bajo la curva se puede representar como como el área del rectángulo: $ f ( t) \ast \Delta t$, cuando $ \Delta t \rightarrow 0$. Donde: $ \Delta t$: es el intervalo entre mediciones.

Ahora, si analizamos de donde sale $ \Delta t$, podemos ver que es el resultado de dividir el intervalo completo en el cual el agua se evapora entre el número de mediciones que hagamos las cuales las representamos con la letra: $ n$. Es decir:

\begin{equation} \label{delta} \Delta t = \frac{b – a}{n} \end{equation}(4)

Donde:

$ b – a$: equivale el teimpo completo (intervalo completo de medición), el el cual el agua se evapora, para nuestro caso, $ b = 24$, $ a = 0$. Es decir $ \Delta t$: representa la base de una de las áreas que se forman bajo la curva, como lo muestra la Figura 8.

Si agregamos esta fórmula para $ \Delta t$ a la ecuación (3), recordando que para que una sumatoria guarde su equilibro, lo que se le agregué “por delante”, se le debe agregar “por detrás” (despliegue de tecnisismos de alto nivel ;-)) tendríamos:

$ \large \bar{T} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ast \frac{1}{\Delta t}\sum^n_{i = 1} f ( t_i) \ast \Delta t$

y sustituyendo esta fórmula, con (4), obtenemos:

$ \bar{T} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ast \frac{n}{b – a}\sum^n_{i = 1} f ( t_i) \ast \frac{b – a}{n}$

Simplificando, tenemos:

$ \bar{T} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{b – a} \sum^n_{i = 1} f (t_i) \ast \frac{b – a}{n}$

\begin{equation} \label{formulacasicompleta} \bar{T} = \frac{1}{b – a} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum^n_{i = 1} f ( t_i) \ast \frac{b – a}{n} \end{equation}(5)

Ahora, si analizamos la parte siguiente de (5):

$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum^n_{i = 1} f ( t_i) \ast \frac{b – a}{n}$

podemos notar que, mientras $ n \rightarrow \infty$, $ \frac{b – a}{n}$, se convierte en un intervalo infinitesimal, es decir muy pequeño, $ \Delta t\rightarrow dt$, es decir, el intervalo infinitesimal lo representamos en matemáticas como, $ dt$, es decir, observando la fórmula siguiente y la  (4), vemos que:

$ \lim_{n \rightarrow \infty} \Delta t = dt$

Por lo que la fórmula buscada, en términos de una función integral es:

VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN

\begin{equation} \overline{\label{VALPROM} T} = \frac{1}{b – a} \int^b_a f ( t_i) \ast dt \end{equation}(6)

Para nuestro ejemplo específico si el intervalo $latex b – a$de 24 minutos aproximadamente de duración, lo dividimos entre 24, obtenemos 24 intervalos de 1 minuto, es decir:

$ \large \bar{T} = \frac{1}{24} \int_0^{24} f ( t_i) \ast dt$

En este caso, como $ n = 24$ y el intervalo $ b – a = 24$ minutos, los límites de la integral van de $ 0$ a $ 24.$

Así el valor promedio de $ \bar{y}$ de una función, $ y = f ( x)$ para $ x$ en un intervalo cerrado [a,b] es:

$ \large \bar{y} = \frac{1}{b – a} \int^b_a f ( x) dx$

TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN INTEGRAL

El teorema del valor medio de una función, dice que cualquier función continua en un intervalo cerrado  {\tmem{adquiere}} su valor promedio en algún punto del intervalo.

Teorema del valor promedio

Si $ f$ es continua en $ [a, b]$, entonces

$ \Large f ( \bar{x}) = \frac{1}{b – a} \int^b_a f ( x) dx$(7)

para algún número $ \bar{x}$ en $ [a,b]$ Nota, la función utilizada para realizar el ejemplo fue: $ T ( t) = – 75e^{(-\frac{1}{10} t)}+ 100$ y su gráfica resultante se muestra a continuación en la Figura 9.

Teorema del Valor Promedio

Figura 9.

Con esta explicación intuitiva y visual haz obtenido una visión suficientemente clara del concepto del teorema del valor medio para integrales y si aún no te queda claro te invito a graficar la función $ f(x)=x^{2}$ para $ x$ en $ [0, 2]$ y hallar su valor medio con la fórmula (6) y (7) y compara tus resultados. Respuesta (Ver el ejemplo del siguiente artículo) Te invito a desarrollar tu intuición y confiar en ella cuando estés estudiando ecuaciones diferenciales.

Para que obtengas la confianza necesaria deberás practicar los ejercicios con las técnicas que te presento antes de analizarlos para preparar tu mente, de manera que luego, al estudiar los conceptos a fondo tengas toda la información necesaria y verás como todo se aclara, pues tendrás la información necesaria para que tu mente entienda con facilidad los conceptos más abstractos.

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