Después de terminar de leer éste artículo podrás calcular la Serie de Fourier de una función definida en partes (dividida a trozos), mediante una metodología ordemada y clara; donde ésta función sea par o impar.
Además, y como consecuencia, aprenderás a obtener la serie de Fourier de funciones pares o impares que no estén definidas por intervalos, siempre y cuando puedas definir el periodo base de una función
Antae de ver como instalar sagemath en tu computadora, te comento qué es sageamth.
Sageamth es un sistema de software para matematicas de código abierto (open-source) distribuido bajo la licencia GPL.
SAGEMATH está construido sobre muchos paquetes de software existentes en la actualidad como: NumPy, SciPy, matplotlib, Sympy, Maxima, GAP, FLINT, R y muchos más
Se puede acceder a su poder combinado a través de un lenguaje común basado en Python o directamente a través de interfaces.
Te enseño dos formas para poder utilizar sageamth:
Una es instalandolo en tu computadora y
La segunda es codificando en linea utilizando el portal cocalc.com
Instalando sageamth en windows
A continuación te dejo un video corto para que puedas instalar SAGEMATH en tu computadora con sistema operativo windows.
Con éste artículo aprenderás a reconocer fácilmente a las funciones pares e impares lo que te ayudará a resolver Series de Fourier mediante la obtención de los coeficientes de la misma cuando abordes funciones con éstas características: funciones pares e impares.
Al final del artículo te mostramos las formulas simplificadas de la Serie de Fourier donde se utiliza la definición de función par e impar para obtener los coeficientes de ésta serie.
La definición de Serie de Fourier
La Serie de Fourier de una función $f$ definida en el intervalo $(-p,p)$, está dada por:
$$f (x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n = 1} \left( a_n \cos \frac{n\pi}{p} x + b_n \sin \frac{n \pi}{p} x \right)$$
donde:
$$a_0 = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) d x$$
$$a_n = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) \cos \frac{n \pi}{p} x d x$$
$$b_n = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) \sin \frac{n \pi}{p} x d x$$
Donde, $a_0$, $a_n$, $b_n$ son los coeficientes de la Serie de Fourier, $p$ es la mitad del periodo base de la funcion $f$ y $n = 1, 2, 3, \ldots .$ es el número de término de la Serie de Fourier (más propiamente se le puede entender como el número de Armónico de la Serie de Fourier).
¿Cómo resolver una integral del tipo: $\int e^{-st} \sin{\left(at\right)} dt$?
Con éste artículo las integrales para resolver transformada de Laplace -Integral compleja, serán un día de campo. En éste artículo aprenderás a resolver de una vez y para siempre, la integral de la forma:
$\large \int e^{-st}\sin{\left(at\right)}dt$ o
$\large \int e^{-st}\cos{\left(bt\right)}dt$
por los métodos
Integracion de funciones exponenciales complejas
Integración por partes
Además incluiremos los códigos de SAGEMATH, para que no te equiviques
Las resolveremos como integrales definidas, al aplicar Laplace, por supuesto.
Terminando el artículo no volverás a tener dudas de cómo resolver este tipo de integrales, esenciales para la Transformadas de Laplace, las Series de Fourier, la Transformada Integral, entre otros.
Primero, desarrollamos paso a paso en los primeros $2$ ejercicios y luego vamos más rápido para mostrar la agilidad de éste método. 😉
Metodología utilizada
Conversión de la integral trigonométrica a integral de una función exponencial compleja: complexificación.
Resolvemos la integral para la función compleja obtenida
Extraer la parte real de una función exponencial compleja
Al terminar este artículo podrás resolver TODAS tus ecuaciones diferenciales lineales o NO lineales de 1er oeden, con valores iniciales, mediante el Método de Euler con SAGEMATH.
FIGURA. METODO DE EULER CON SAGEMATH
El método de Euler es implementado en SAGEMATH el cual es un lenguaje de programación de alto nivel, construído sobre python y otros lenguajes de acceso libre, es decir; SAGEMATH es software libre y se utiliza básicamente para la simulación científica. La programación y simulación con dicho lenguaje es muy sencilla, incluso podrás simular tus ejercicios aquí mismo.
Se ponen ejemplos resueltos con SAGEMATH de los ejercicios vistos en artículos anteriores. Ver los enlaces específicos para cada artículo en cada ejercicio resuelto.
Para entender a detalle el código de SAGEMATH para resolver ecuaciones diferenciales con valores iniciales mediante el método de Euler ve la siguiente presentación: De donde sale el método de Euler.
El código para el Método de Euler escrito en SAGEMATH es el siguiente:
CÓDIGO PARA EL MÉTODO DE EULER CON SAGEMATH
### Metodo de Euler
def Euler(fun, a, b, N, y0):
h = (b - a)/N
x = [a]
y = [y0]
for k in range(N):
x.append(x[k]+h)
y.append(y[k]+(h)*fun(x[k], y[k]))
return list(zip(x, y))
Para Utilizar las celdas para simular otras ecuaciones diferenciales solo es necesario editar el apartado de «datos iniciales» y «Solución numérica para h=…». Al final de este artículo les dejo una versión simplificada de esta celda para que la modifiquen y puedan simular otras ecuaciones diferenciales de primer orden con valores iniciales. 😉
