Encontrar la solución y el intervalo más largo I (intervalo de solucion), para el Problema del Valor inicial(PVI):

El valor de $P(x)$ en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $P\left( x \right)=\frac{1}{x+1}$.

El sistema homogéneo asociado es :$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=0$. Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{\mathop{\int }^{}P(x)dx}}$, donde: $P\left( x \right)=\frac{1}{x+1}$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

${{y}_{c}}=\frac{C}{x+1}$ y la solución particular  ${{y}_{c1}}=\frac{20}{x+1}$

La función $y_{c}=\frac{C}{x+1}$ , tiene como dominio más largo el intervalo: $D_{y_{c}}:\left \{x \epsilon R | -1x<\infty \right \}$. Por tanto, la solución particular $y_{c1}=\frac{20}{x+1}$, tiene el mismo dominio: $D_{{y}_{c1}}:\left\{ x\in R |-1<x<\infty \right\}$, también. Es decir, el dominio de las funciones abarca todos los números reales. El valor de $C=20$ , para la solución particular del PVI $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=0$,  $y(1)=10$. Ver de dónde sale el dominio de la función solución del PVI, analizando cada gráfica que ésta contiene, al final del ejercicio. El intervalo de definición de una solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo

El sistema no homogéneo es: $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}y=\frac{\ln x}{x+1}$. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}={{e}^{-kt}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( t \right)=\frac{1}{x+1}$.  obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogéneo

${{y}_{p}}=\frac{1}{\text{x}+1}\mathop{\int }^{}\text{x}+1(\frac{\ln x}{x+1})dx$

$=\frac{1}{\text{x}+1}\mathop{\int }^{}\ln xdx$

Utilizando, integración por partes:

$u=\ln x~~~~;~~~~~~~~dv=dx$

$du=\frac{dx}{x}~~~~~~;~~~~~~~~v=x$

Por tanto:

$=\frac{1}{\text{x}+1}[x\ln x-\mathop{\int }^{}x\frac{dx}{x}]$

$=\frac{1}{\text{x}+1}[x\ln x-\mathop{\int }^{}dx]$

$=\frac{1}{\text{x}+1}[x\ln x-x]$

$=\frac{x\ln x}{\text{x}+1}-\frac{x}{x+1}$

Por tanto:

Si la solución general del Sistema no Homogéneo es:

$y\left( x \right)=\frac{C}{x+1}+\frac{x\ln x}{\text{x}+1}-\frac{x}{x+1}$

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
$y\left( 1 \right)=10$

Tenemos:

$10=\frac{C}{1+1}+\frac{1\ln 1}{1+1}-\frac{1}{1+1}$

$\Rightarrow 10=\frac{C}{2}+\frac{1\ln 1}{2}-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 10=\frac{C+1\ln 1-1}{2}$

$\Rightarrow 20=C+1\ln 1-1$

$\Rightarrow 20+1=C+1\ln 1$

$\Rightarrow 21=C+\ln {{1}^{1}}$

$\Rightarrow 21=C+0$

$\Rightarrow C=21$

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

$y\left( x \right)=\frac{21}{x+1}+\frac{x\ln x}{\text{x}+1}-\frac{x}{x+1}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$y\left( x \right)=\frac{C}{x+1}+\frac{x\ln x}{\text{x}+1}-\frac{x}{x+1}$

y la solución particular del PVI:
$y\left( x \right)=\frac{21}{x+1}+\frac{x\ln x}{x+1}-\frac{x}{x+1}$

El dominio de la solución $y\left( x \right)=\frac{21}{x+1}+\frac{x\ln x}{x+1}-\frac{x}{x+1}$ está en el intervalo: ${{D}_{y(x)}}:0<x<\infty$ . O dicho de forma más común, el dominio de la solución del PVI ($\left( x+1 \right)\frac{dy}{dx}+y=\ln x$,   $y(1)=10$), es el intervalo abierto: $(0,\infty )$, ver que el cero no se incluye en el intervalo solución. Notar que el valor de $C=21$ , para el problema del PVI, acá mostrado. Ver al final el desglose de los dominios de cada una de las gráficas que incluye la función solución del PVI (sistema no homogéneo).

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial: 

$\left( x+1 \right)\frac{dy}{dx}+y=\ln x$, $y(1)=10$, es,

$\large y\left( x \right)=\frac{21}{x+1}+\frac{x\ln x}{x+1}-\frac{x}{x+1}$

Con intervalo de solución:

$I:\left \{ x\epsilon R|0 < x < \infty\right\}$

Si analizamos la función Solución General $y\left( x \right)=\frac{C}{x+1}+\frac{x\ln x}{x+1}-\frac{x}{x+1}$, por separado viendo que: $f\left( x \right)=-\frac{x}{1+x}$ ,   $g\left( x \right)=\frac{C}{1+x}$  y  $h\left( x \right)=\frac{x\text{Log}(x)}{1+x}$, podemos notar más evidentemente cual es el dominio de ésta, al notar con mayor claridad el dominio de cada una de sus componentes particulares.

A continuación ponemos las gráficas de cada una de las funciones que conforman la solución del PVI para el sistema NO Homogéneo, por separado y luego en conjunto, para analizar con más cercanía por qué el intervalo de solución se reduce a $latex (0,\infty )$:

El dominio de esta función es $D_{f(x)}:x\in \mathcal{R}-\{-1\}$, es decir, son todos los números reales exceptuando “-1”.

El dominio de esta función es $D_{g(x)}:x\in \mathcal{R}-\{-1\}$, es decir, son todos los números reales exceptuando “-1”. Como sabemos ésta parte de la solución del PVI, es la solución general del sistema homogéneo, que incluye a la gráfica anterior $f(x)$.

El dominio de esta función es $D_{y(x)}:0<x<\infty$, es decir, son todos los números reales exceptuando los negativos y el CERO. Esto se debe a que la función “Logaritmo Natural”, no está definida para cero: ($\ln 0=\infty$).

Esto se pone en mayor evidencia si evaluamos la siguiente función:

Por último, Vemos que la forma de la gráfica solución la da las funciones $g\left( x \right)=\frac{C}{1+x}$Y $h\left( x \right)=\frac{x\ln x}{1+x}$, que al agregarles la función $f\left( x \right)=-\frac{x}{1+x}$, solo termina desplazándola un poco hacia abajo.