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Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos G. Zill Cap 2.3 (6-10)

Ecuación Diferencial, Ejercicios Resueltos del libro: Dennis G. Zill Capitulo 2.3 (6-10)

12 de septiembre de 2012 · Actualizado: 16 de junio de 2021

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos G. Zill Cap 2.3 (6-10), 7ª Ed.

El siguiente método utilizados en Ecuación Diferencial Ejercicios Zill Cap 2.3 (6-10) te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante
  1. Forma Standard:  $ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
  2. Factor Integrante: $ {{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$
Forma de solución: $ y= y_{c}+y_{p}$ 3               $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ 4              $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}{\int }^{}{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$ [su_divider top="no" style="double" size="10" margin="30"]

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos Cap. 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problemas 6 al 10)

a)      $$\Large {{y'}}+2xy={{x}^{3}}$$ Pasos:
  1. $ \frac{dy}{dx}+2xy={{x}^{3}}$
  2. $ {{e}^{2{\int }^{}xdx}}={{e}^{2x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-{{x}^{2}}}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx$
$ {\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx={\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)\left( {{x}^{2}} \right)dx$ $ {{e}^{u}}={{e}^{{{x}^{2}}}}$ $ du=2x$ Por tanto: $ \frac{1}{2}{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( 2 \right)xdx=\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$ Por tanto: $ u={{x}^{2}}$   ;    $ dv={{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)dx$ $ du=2x$ ; $ v=\frac{1}{2}{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}(2)xdx$ $ =\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$ Por tanto: $ {\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx=~\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)dx$ De modo que (siguiendo con iv): $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}(\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$) $ =\frac{1}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}$ Por tanto: $$\large y=C{{e}^{-{{x}^{2}}}}+\frac{1}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}$$ [su_divider top="no" style="double" size="7" margin="27"] b)      $$\Large {{x}^{2}}{{y'}}+xy=1$$ Pasos:
  1. $ \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=\frac{1}{{{x}^{2}}}$
  2. $ {{e}^{{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{\ln x}}=x$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\ln x}}$
$ =C{{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}$ $ =C{{x}^{-1}}$ 4.  $ {{y}_{p}}=\frac{1}{x}{\int }^{}x\frac{1}{{{x}^{2}}}dx$ $ =\frac{1}{x}{\int }^{}\frac{1}{x}dx$ $ =\frac{1}{x}\ln x$ Por tanto: $$\large y=C{{x}^{-1}}+\frac{1}{x}\ln x$$ [su_divider top="no" style="double" size="7" margin="27"] c)      $$\Large {{y'}}=2y+{{x}^{2}}+5$$ Pasos:
  1. $ \frac{dy}{dx}-2y={{x}^{2}}+5$
  2. $ {{e}^{-2{\int }^{}dx}}={{e}^{-2x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{2x}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-2x}}}{\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}}+5)dx$
$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}\left( {{x}^{2}}+5 \right)dx={\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx+5{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx$ $ {\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx$ $ u={{x}^{2}}$       ;   $ dv={{e}^{-2x}}dx$ $ du=2xdx$        $ v=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}$ Por tanto: $ {\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}+\frac{2}{2}{\int }^{}{{e}^{-2x}}(x)dx$ $ {\int }^{}{{e}^{-2x}}(x)dx$ $ u=x$       ;   $ dv={{e}^{-2x}}dx$ $ du=dx$        $ v=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}$ Por tanto: $ {\int }^{}{{e}^{-2x}}\left( x \right)dx=-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}+\frac{1}{2}{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx$ $ {\int }^{}{{e}^{-2x}}dx$ $ {{e}^{u}}={{e}^{-2\text{x}}}$ $ du=-2dx$ $ {\int }^{}{{e}^{-2x}}dx=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}$ $ \int e^{-2x}\left ( x^{2}+5 \right )dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}x^{2}+(-\frac{1}{2}xe^{-2x}+\frac{1}{2}[-\frac{1}{2}e^{-2x}] )+5\int e^{-2x}dx$ $ =-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}+5(-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}})$ $ =-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}-\frac{5}{2}{{e}^{-2x}}$ Esto implica: $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-2x}}}(-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}-\frac{5}{2}{{e}^{-2x}})$ $ =\frac{1}{{{e}^{-2x}}}[-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\left( \frac{1}{4}+\frac{5}{2} \right){{e}^{-2x}}]$ $ =-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{11}{4}$ Por tanto: $$\large y=C{{e}^{2x}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{11}{4}$$ [su_divider top="no" style="double" size="7" margin="27"] d)      $$\Large x\frac{dy}{dx}-y={{x}^{2}}\sin x$$ Pasos:
  1. $ \frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x\sin x$
  2. $ {{e}^{-{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{-\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}={{x}^{-1}}=\frac{1}{x}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{\left( - \right)-{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}=C{{e}^{{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}$
$ =C{{e}^{\ln x}}=Cx$ 4.   $ {{y}_{p}}=\frac{1}{\frac{1}{x}}{\int }^{}\frac{1}{x}\left( x\sin x \right)dx$ $ =x{\int }^{}\sin xdx$ $ =-x\cos x$ Por tanto: $$\large y=Cx-x\cos x$$ [su_divider top="no" style="double" size="7" margin="27"] e)      $$\Large x\frac{dy}{dx}+2y=3$$ Pasos:
  1. $ \frac{dy}{dx}+2\frac{y}{x}=\frac{3}{x}$
  2. $ {{e}^{2{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{2\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{2}}}}={{x}^{2}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-2{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}=C{{e}^{-2\ln x}}=C{{e}^{\ln {{x}^{-2}}}}=C{{x}^{-2}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}{\int }^{}{{x}^{2}}\left( \frac{3}{x} \right)dx$
$ =\frac{3}{{{x}^{2}}}{\int }^{}xdx$ $ =\frac{3}{2{{x}^{2}}}{{x}^{2}}=\frac{3}{2}$ Por tanto: $$\large y=\frac{C}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{2}$$

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos G. Zill Cap 2.3 (6-10)

Gráfica para la familia de soluciones del problema #1

[caption id="attachment_9182" align="aligncenter" width="745"]Ecuación Diferencial Ejercicios Zill Cap 2.3 (6-10) Sistema homogéneo: $y'+2xy=0$[/caption] [caption id="attachment_9202" align="aligncenter" width="812"]Ecuación Diferencial Ejercicios Zill Cap 2.3 (6-10) Sistema NO homogéneo: $y'+2xy = x^3$[/caption]

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos G. Zill Cap 2.3 (6-10)

Código de MATHEMATICA para simular el ejercicios # 1

Clear["Global`*"]
Integrate[Exp[x^2]*x^3, x]
(*Sistema homogeneo Asociado*)
s = DSolve[y'[x] + 2 x*y[x] == 0, y[x], x]
(*Sistema NO homogeneo*)
sol = DSolve[y'[x] + 2 x*y[x] == x^3, y[x], x]
sols1 = Table[Evaluate[s[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -10, 10}];
sols = Table[Evaluate[sol[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -10, 10}];
(*Gráfica del Sistema homogeneo*)
Plot[sols1, {x, -2, 2}, PlotRange -> All]
(*Gráfica del Sistema NO homogeneo*)
Plot[sols, {x, -2, 2}, PlotRange -> All]

10 comentarios de la comunidad

Preguntas y aportes reales de lectores a lo largo de los años. Se conservan tal como se publicaron originalmente.

  • Jose Domingo Vega Viera25 de marzo de 2016

    ¿El primer ejercicio (ejercicio a) no está mal resuelto? Después de donde dice: "De modo que (siguiendo con iv):" Está escrita una igualdad que es falsa, debería ser igual a (x^2/2) - 1/2

    • Manuel Alejandro Vivas Riverol25 de marzo de 2016

      José, buen día Con mucho gusto te ayudo comprandome un Gigg en fiverr, click aquí Saludos

    • Manuel Alejandro Vivas Riverol15 de octubre de 2016

      Jose Si ves el paso iv, la formula es: $ y_{p}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx$ Esta es la que sustituí, sencillamente con el resultado que había obtenido: $ {\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx=~\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)dx$ Ó, integrando: $ {\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx=~\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$ De modo que nos resulta: $ y_{p}=\frac{1}{e^{{x}^{2}}}(\frac{1}{2}x^{2}e^{{x}^{2}}-\frac{1}{2}e^{{x}^{2}})$ Saludos

  • Jose Domingo Vega Viera25 de marzo de 2016

    Y por cierto, Gran página!!! muchas gracias :D

  • yuli20 de febrero de 2018

    buen dia, necesito porfa unejercicio que no he logrado reliazar es: cosydx=(xseny+tany)dy

    • Manuel Alejandro Vivas Riverol21 de febrero de 2018

      Es una Ecuación Exacta yuli, buenas tardes: Si agrupas te queda: $\cos{y}dx + (-x\sin{y} - \tan{y})dy$ Por tanto: $M(x,y) = \cos{y}$ $N(x,y) = -x\sin{y} - \tan{y}$ Donde puedes comprobar que : $\frac{\delta M}{\delta y} = \frac{\delta N}{\delta x}$ Una vez que veas ésto, sigue los pasos que están en éste artículo: Ecuaciones Diferenciales Exactas, click aquí Saludos

  • kiana2 de mayo de 2018

    me podrían resolver esta ecuación dy/dx-3y=6

    • Manuel Alejandro Vivas Riverol2 de mayo de 2018

      kiana, acá la respeusta: Paso 1. ED standar $\frac{dy}{dx}-3y=6$ Paso 2. Factor Integrante $e^{\int{-3dx}}$ $e^{-3\int{dx}}$ $e^{-3x}$ Paso 3. $y_{c}=Ce^{3x}$ Se le quitó el signo a propósito Paso 4. $y_{p}=\frac{1}{e^{-3x}}\int{e^{-3x}\left(6\right)}dx$ $y_{p}=\frac{6}{e^{-3x}}\int{e^{-3x}}dx$ $y_{p}=-\frac{6}{3e^{-3x}}\int{e^{-3x}\left(-3\right)}dx$ $y_{p}=-\frac{2}{e^{-3x}}e^{-3x}$ $y_{p}=-2$ Por tanto, la solución general, es: $\large y(x) = Ce^{3x} - 2$ Saludos

  • JOSE4 de julio de 2019

    Alguien pudiera apoyarme con el desarrollo de este planteamiento. Encontrar la solución del problema con valor inicial Y’’’’-Y=0 Y0=0, Y’0=1, Y’’0=0, Y’’’=0 En verdad se lo agradecería. Saludos.

    • Manuel Alejandro Vivas Riverol5 de julio de 2019

      José, com mucho gusto te ayudo, la yuda gratuita es para ED's lineales de 1er orden y para ED's separables, si quieres que te desarrolle paso a paso tu problema sería con costo. Puedes contactarme de manera directa mediante le chat de nuestra página de facebook, te dejo el enlace: Ecuaciones Diferenciales Ejercicios y Aplicaciones, click aquí Un saludo

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