Ecuación Diferencial, Ejercicios Resueltos del libro: Dennis G. Zill Capitulo 2.3 (6-10)

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos G. Zill Cap 2.3 (6-10), 7ª Ed.

El siguiente método utilizados en Ecuación Diferencial Ejercicios Zill Cap 2.3 (6-10) te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Resolución de ED lineales Libro de Dennis G. Zill Ed 7ma.

Método: Factor Integrante

  1. Forma Standard:  $ \frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
  2. Factor Integrante: $ {{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

Forma de solución: $ y= y_{c}+y_{p}$

3               $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4              $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}{\int }^{}{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos Cap. 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problemas 6 al 10)

a)      $$ \Large {{y’}}+2xy={{x}^{3}}$$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}+2xy={{x}^{3}}$
  2. $ {{e}^{2{\int }^{}xdx}}={{e}^{2x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-{{x}^{2}}}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx$

$ {\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx={\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)\left( {{x}^{2}} \right)dx$

$ {{e}^{u}}={{e}^{{{x}^{2}}}}$

$ du=2x$

Por tanto: $ \frac{1}{2}{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( 2 \right)xdx=\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

Por tanto:

$ u={{x}^{2}}$   ;    $ dv={{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)dx$

$ du=2x$ ; $ v=\frac{1}{2}{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}(2)xdx$

$ =\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

Por tanto:

$ {\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx=~\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)dx$

De modo que (siguiendo con iv):

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}(\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$)

$ =\frac{1}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}$

Por tanto:

$$\large y=C{{e}^{-{{x}^{2}}}}+\frac{1}{2{{e}^{{{x}^{2}}}}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}$$

b)      $$\Large {{x}^{2}}{{y’}}+xy=1$$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=\frac{1}{{{x}^{2}}}$
  2. $ {{e}^{{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{\ln x}}=x$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-\ln x}}$

$ =C{{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}$

$ =C{{x}^{-1}}$

4.  $ {{y}_{p}}=\frac{1}{x}{\int }^{}x\frac{1}{{{x}^{2}}}dx$

$ =\frac{1}{x}{\int }^{}\frac{1}{x}dx$

$ =\frac{1}{x}\ln x$

Por tanto:

$$\large y=C{{x}^{-1}}+\frac{1}{x}\ln x$$

c)      $$\Large {{y’}}=2y+{{x}^{2}}+5$$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}-2y={{x}^{2}}+5$
  2. $ {{e}^{-2{\int }^{}dx}}={{e}^{-2x}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{2x}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-2x}}}{\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}}+5)dx$

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}\left( {{x}^{2}}+5 \right)dx={\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx+5{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx$

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx$

$ u={{x}^{2}}$       ;   $ dv={{e}^{-2x}}dx$

$ du=2xdx$        $ v=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}$

Por tanto:

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}({{x}^{2}})dx=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}+\frac{2}{2}{\int }^{}{{e}^{-2x}}(x)dx$

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}(x)dx$

$ u=x$       ;   $ dv={{e}^{-2x}}dx$

$ du=dx$        $ v=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}$

Por tanto:

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}\left( x \right)dx=-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}+\frac{1}{2}{\int }^{}{{e}^{-2x}}dx$

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}dx$

$ {{e}^{u}}={{e}^{-2\text{x}}}$

$ du=-2dx$

$ {\int }^{}{{e}^{-2x}}dx=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}$

$ \int e^{-2x}\left ( x^{2}+5 \right )dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}x^{2}+(-\frac{1}{2}xe^{-2x}+\frac{1}{2}[-\frac{1}{2}e^{-2x}] )+5\int e^{-2x}dx$

$ =-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}+5(-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}})$

$ =-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}-\frac{5}{2}{{e}^{-2x}}$

Esto implica:

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-2x}}}(-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{-2x}}-\frac{5}{2}{{e}^{-2x}})$

$ =\frac{1}{{{e}^{-2x}}}[-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}-\left( \frac{1}{4}+\frac{5}{2} \right){{e}^{-2x}}]$

$ =-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{11}{4}$

Por tanto:

$$\large y=C{{e}^{2x}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{11}{4}$$

d)      $$\Large x\frac{dy}{dx}-y={{x}^{2}}\sin x$$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x\sin x$
  2. $ {{e}^{-{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{-\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}={{x}^{-1}}=\frac{1}{x}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{\left( – \right)-{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}=C{{e}^{{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}$

$ =C{{e}^{\ln x}}=Cx$

4.   $ {{y}_{p}}=\frac{1}{\frac{1}{x}}{\int }^{}\frac{1}{x}\left( x\sin x \right)dx$

$ =x{\int }^{}\sin xdx$

$ =-x\cos x$

Por tanto:

$$\large y=Cx-x\cos x$$

e)      $$\Large x\frac{dy}{dx}+2y=3$$

Pasos:

  1. $ \frac{dy}{dx}+2\frac{y}{x}=\frac{3}{x}$
  2. $ {{e}^{2{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{2\ln x}}={{e}^{\ln {{x}^{2}}}}={{x}^{2}}$
  3. $ {{y}_{c}}=C{{e}^{-2{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}=C{{e}^{-2\ln x}}=C{{e}^{\ln {{x}^{-2}}}}=C{{x}^{-2}}$
  4. $ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}{\int }^{}{{x}^{2}}\left( \frac{3}{x} \right)dx$

$ =\frac{3}{{{x}^{2}}}{\int }^{}xdx$

$ =\frac{3}{2{{x}^{2}}}{{x}^{2}}=\frac{3}{2}$

Por tanto:

$$\large y=\frac{C}{{{x}^{2}}}+\frac{3}{2}$$

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos G. Zill Cap 2.3 (6-10)

Gráfica para la familia de soluciones del problema #1

Ecuación Diferencial Ejercicios Zill Cap 2.3 (6-10)

Sistema homogéneo: $y’+2xy=0$

Ecuación Diferencial Ejercicios Zill Cap 2.3 (6-10)

Sistema NO homogéneo: $y’+2xy = x^3$

Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos G. Zill Cap 2.3 (6-10)

Código de MATHEMATICA para simular el ejercicios # 1

Clear["Global`*"]
Integrate[Exp[x^2]*x^3, x]
(*Sistema homogeneo Asociado*)
s = DSolve[y'[x] + 2 x*y[x] == 0, y[x], x]
(*Sistema NO homogeneo*)
sol = DSolve[y'[x] + 2 x*y[x] == x^3, y[x], x]
sols1 = Table[Evaluate[s[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -10, 10}];
sols = Table[Evaluate[sol[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -10, 10}];
(*Gráfica del Sistema homogeneo*)
Plot[sols1, {x, -2, 2}, PlotRange -> All]
(*Gráfica del Sistema NO homogeneo*)
Plot[sols, {x, -2, 2}, PlotRange -> All]

11 pensamientos en “Ecuación Diferencial, Ejercicios Resueltos del libro: Dennis G. Zill Capitulo 2.3 (6-10)

  1. Pingback: Resolucion de un ecuacion diferencial de primer orden

    • Jose
      Si ves el paso iv, la formula es:

      $ y_{p}=\frac{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx$

      Esta es la que sustituí, sencillamente con el resultado que había obtenido:

      $ {\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx=~\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-{\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( x \right)dx$

      Ó, integrando:

      $ {\int }^{}{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( {{x}^{3}} \right)dx=~\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}}}$

      De modo que nos resulta:

      $ y_{p}=\frac{1}{e^{{x}^{2}}}(\frac{1}{2}x^{2}e^{{x}^{2}}-\frac{1}{2}e^{{x}^{2}})$

      Saludos

    • kiana, acá la respeusta:
      Paso 1. ED standar
      $\frac{dy}{dx}-3y=6$
      Paso 2. Factor Integrante
      $e^{\int{-3dx}}$
      $e^{-3\int{dx}}$
      $e^{-3x}$
      Paso 3.
      $y_{c}=Ce^{3x}$ Se le quitó el signo a propósito
      Paso 4.
      $y_{p}=\frac{1}{e^{-3x}}\int{e^{-3x}\left(6\right)}dx$
      $y_{p}=\frac{6}{e^{-3x}}\int{e^{-3x}}dx$
      $y_{p}=-\frac{6}{3e^{-3x}}\int{e^{-3x}\left(-3\right)}dx$
      $y_{p}=-\frac{2}{e^{-3x}}e^{-3x}$
      $y_{p}=-2$
      Por tanto, la solución general, es:
      $\large y(x) = Ce^{3x} – 2$

      Saludos

  2. Alguien pudiera apoyarme con el desarrollo de este planteamiento.

    Encontrar la solución del problema con valor inicial Y’’’’-Y=0
    Y0=0, Y’0=1, Y’’0=0, Y’’’=0

    En verdad se lo agradecería.
    Saludos.

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