Cómo se resuelve una Ecuacion Diferencial lineal No Homogenea

Cómo resolver una Ecuacion Diferencial lineal No Homogenea y obtener su intervalo de solución

En este artículo identificarás cómo es una Ecuación Diferencial no homogénea y aprenderás a resolverla en 4 pasos, señalando con precisión su intervalo de solución mediante la graficación de la familia de soluciones de la misma.

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 26). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.

Encontrar la solución para el problema del valor inicial (PVI), sujeta a:

a)      $y\frac{dx}{dy}-x=2{{y}^{2}}$,             $y(1)=5$

Y, encontrar el intervalo I de solución.

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entre el coeficiente de $\frac{dx}{dy}$, que es “ ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x” en realidad aunque la ED está planteada para resolver en función de . Simplificamos.

$\frac{dx}{dy}+P\left( y \right)x=f(y)$

$\frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=2y$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( y \right)\mathbf{dy}}}$,  

El valor de P($y$) en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}$, $P(y)=\frac{1}{y}$. El manejo de las funciones trascendentes e integrales se muestra al final del ejercicio.

${{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{y}dy}}={{e}^{-\ln |y|}}$

$={{\text{e}}^{\ln {{y}^{-1}}}}$

$={{\text{y}}^{-1}}$

$=\frac{1}{y}$

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:$\frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=0$. Sustituimos en ${{x}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}$, donde: $P(y)=\frac{1}{y}$ encontrado en el primer paso,  y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{x}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.

${{\text{x}}_{c}}=C{{e}^{(-)-\mathop{\int }^{}\frac{1}{y}dy}}$

$=C{{e}^{\ln |y|}}$

$=C\text{y}$

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de $\text{x}=1;\text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ y}=5$ , de modo que:

$1=C\left( 5 \right)~\Rightarrow ~~C=\frac{1}{5}$

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

${{x}_{c}}=\frac{1}{5}y$

Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:

${{x}_{c}}=Cy$ y la solución particular  ${{x}_{c}}=\frac{1}{5}y$

Ecuacion Diferencial lineal No Homogenea

La función ${{x}_{c}}=Cy$ , tiene como dominio más largo el intervalo:

$D_{x_{c}}:\left \{ x\epsilon \mathbb{R}|0< x< \infty \right \}$

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

El sistema no homogéneo: $\frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=2y$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{x}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}f(y)dy$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( y \right)dy}}={{y}^{-1}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=2y$ obtenido en el punto i. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.

${{x}_{p}}=\frac{1}{{{y}^{-1}}}\mathop{\int }^{}{{y}^{-1}}(2y)dy$

$=2y\mathop{\int }^{}dy$

$=2{{y}^{2}}$

Solución del Problema de Valores Iniciales (PVI) de la ED lineal de 1er Orden

La solución del problema del PVI se obtiene al encontrar una solución específica que cumpla con las condiciones iniciales (que las contenga), del problema. Para esto, necesitamos encontrar el valor de “C”, de la solución general, sustituyendo en la solución general, los valores de “x” y “y”, que vienen como condiciones iniciales y despejando “C”.

$x=1;~~~~~~y=5$

Por tanto:

$1=C\left( 5 \right)+2{{(5)}^{2}}$

$\Rightarrow 1=5C+50$

$\Rightarrow 5C=1-50$

$\Rightarrow C=-\frac{49}{5}$

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

$y=-\frac{49}{5}y+2{{y}^{2}}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$y=Cy+2{{y}^{2}}$

y la solución particular:
$y=-\frac{49}{5}y+2{{y}^{2}}$

Ecuacion Diferencial lineal No Homogenea

El dominio de la solución está en el intervalo:

$D_{x_{p}}:\left \{ x\epsilon \mathbb{R}|-\infty < x< \infty \right \}$

o dicho de forma más común, el dominio de la solución del problema del PVI es el intervalo: $(-\infty ,\infty )$. Notar que nuevamente, el dominio para la solución general de la ED lineal es:

$D_{x}:-\infty < x< 0$  o  $D_{x}:0 < x < \infty$

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial, de la ecuación diferencial 

$y\frac{dx}{dy}-x=2{{y}^{2}}$, es:

$y=-\frac{49}{5}y+2{{y}^{2}}$

Con intervalo de solución:

$I:\left\{ x\in R|-\infty < x < \infty \right \}$

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$ implica  $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

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