MÉTODO DE EULER

Al culminar de leer el siguiente artículo, podrás resolver cualquier ecuación diferencial de primer orden con valores iniciales, mediante el método de euler y demás podrás graficar tus resultados aquí mismo o copiando el código de MATHEMATICA al final del artículo.

Según la Dra Barbara Oakley de la UC San Diego, en su curso Leaning how to learn, se puede acceder a la memoria a largo plazo mediante la técnica: Palacio de la memoria, donde se utiliza un lugar físico y totalmente familiar para memorizar objetos que no tienen conexión entre si, como lo puede ser la lista del supermercado.

Otra técnica efectiva para memorizar nombres es la de utilizar frases memorables para memorizar conceptos. En dicha técnica la primera letra de una frase es también la primera letra de una lista que necesita ser memorizada.

Por ejemplo, la frase en ingles: Old People from Texas Eat Spiders, es utilizada en medicina para memorizar los huesos en el cráneo, donde las primeras letras de las siguientes palabras corresponden a las primeras letras de la frase en ingles.

De modo que las primeras letras de cada palabra en la frase: Old People From Texas Eat Spiders, corresponden a las primeras letras de las palabras
en la siguiente lista: Occipital, Parietal, Frontsal, Temporal, Ethmoid, Sphenoid.

Esta técnica podría ser muy util para memorizar los pasos que aquí proponemos para resolver los tipos de ecuaciones diferenciales, como las que corresponden al método de Euler que a continuación se describen.

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER

FORMULAS USADAS

\begin{equation} \LARGE y_{n + 1} = y_n + h f (x_n, y_n) \end{equation}

(1)

\begin{equation} \LARGE x_{n + 1} = x_n + h \end{equation}

(2)

Donde:

$ n = 0, 1, 2, 3, \ldots$

$ h =$ tamaño del incremento en $latex x$

$ f (x_n, y_n) =$ segundo miembro de la ED de primer orden cuando tiene la forma:

$ \large \frac{d y}{d x} = f (x, y)$

PROCEDIMIENTO:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro

ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema, ejemplo:

para el PVI: $ y^{\prime} = 0.12 \sqrt{y} + 0.4 x^2$, $ y (2) = 4$, $ y (2.5)$,
con $ h = 0.5$, las variables buscadas son: $ x_0 = 2$, $ y_0 = 4$ y $ h = 0.5$

iii. Plateamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales, como sigue:
$ \large y_{0 + 1} = y_0 + h f (x_0, y_0)$

Y una vez obtenido este primer resultado repetimos el proceso iterativamente utilizando los nuevos datos:
$ \large y_{1 + 1} = y_1 + h f (x_1, y_1)$

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 2.5$,
como se ve el los datos del problema del inciso anterior.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER

En los problemas 1 y 2 siguientes use el método de euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado, ejecute a mano la ecuación de recursión $ y_{n + 1} = y_n + h f (x_n, y_n)$, usando primero $ h = 0.1$ y después usando $ h = 0.5$.

Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

$ \Large y^{\prime} = 2 x – 3 y + 1$, $ y (1) = 5$, $ y (1.2)$

Primer caso $ h = 0.1$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = 2 x – 3 y + 1$
ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_0 = 1$,

$ y_0 = 5,$

Para este primer caso: $ h = 0.1$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*} y_{0 + 1} & = & y_0 + h f (x_0, y_0)\\ y_1 & = & y_0 + h \ast (2 x_0 – 3 y_0 + 1)\\ y_1 & = & 5 + (0.1) (2 (1) – 3 (5) + 1) \end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x =1.2$. (Ver datos del problema)

\begin{eqnarray*} y_1 & = & 5 + (0.1) (2 – 15 + 1)\\ & = & 5 + (0.1) (- 12)\\ & = & 5 – 1.2\\ y_1 = y (1.1) & = & 3.8000 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{1 + 1} & = & y_1 + h f (x_1, y_1)\\ y_2 & = & y_1 + h \ast (2 x_1 – 3 y_1 + 1)\\ y_2 & = & 3.8 + (0.1) (2 (1.1) – 3 (3.8) + 1)\\ y_2 & = & 3.8 + (0.1) (2.2 – 11.4 + 1)\\ & = & 3.8 + (0.1) (- 8.2)\\ & = & 3.8 – 0.82\\ y_2 = y (1.2) & = & 2.9800 \end{eqnarray*}

Nota . El hecho de que la $ x$ varíe $ x_0 = 1$, $ x_1= 1.1$, $ x_2 = 1.2$, etc, tras cada iteración es por que la $ x$ aumenta según la fórmula: $ x_{n + 1} = x_n + h$; la explicación mas precisa matemáticamente se puede ver en la presentación: De donde sale el Método de Euler.

=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.
Segundo caso $ h = 0.05$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = 2 x – 3 y + 1$  Igual al anterior.

ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_0 = 1$,

$ y_0 = 5,$

Para este segundo caso: $ h = 0.05$ (solo este dato cambia)

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*} y_{0 + 1} & = & y_0 + h f (x_0, y_0)\\ y_1 & = & y_0 + h \ast (2 x_0 – 3 y_0 + 1)\\ y_1 & = & 5 + (0.05) (2 (1) – 3 (5) + 1) \end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 1.2$.

\begin{eqnarray*} y_1 & = & 5 + (0.05) (2 – 15 + 1)\\ & = & 5 + (0.05) (- 12)\\ & = & 5 – 0.6\\ y_1 = y (1.05) & = & 4.4000 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{1 + 1} & = & y_1 + h f (x_1, y_1)\\ y_2 & = & y_1 + h \ast (2 x_1 – 3 y_1 + 1)\\ y_2 & = & 4.4 + (0.05) (2 (1.05) – 3 (4.4) + 1)\\ y_2 & = & 4.4 + (0.05) (2.1 – 13.2 + 1)\\ & = & 4.4 + (0.05) (- 10.1)\\ & = & 4.4 – 0.505\\ y_2 = y (1.1) & = & 3.8950 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{2 + 1} & = & y_2 + h f (x_2, y_2)\\ y_3 & = & y_2 + h \ast (2 x_2 – 3 y_2 + 1)\\ y_3 & = & 3.8950 + (0.05) (2 (1.1) – 3 (3.8950) + 1)\\ & = & 3.8950 + (0.05) (2.2 – 11.685 + 1)\\ & = & 3.8950 + (0.05) (- 8.485)\\ & = & 3.8950 – 0.42425\\ y_3 = y (1.15) & = & 3.47075 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{3 + 1} & = & y_3 + h f (x_3, y_3)\\ y_4 & = & y_3 + h \ast (2 x_3 – 3 y_3 + 1)\\ y_4 & = & 3.47075 + (0.05) (2 (1.15) – 3 (3.47075) + 1)\\ & = & 3.47075 + (0, 05) (2.3 – 10.41225 + 1)\\ & = & 3.47075 + (0.05) (- 7.11225)\\ & = & 3.47075 – 0.3556125\\ y_4 = y (1.2) & = & 3.1151 \end{eqnarray*}

El código en SAGE para resolver los problemas mediante métodos numéricos lo puedes ver en la presentación: De donde sale el Método de Euler. da click aquí.

A continuación te dejo este mismo problema resuelto con SAGE. Si quieres aprender a editar la celda de SAGE, revisa el siguiente artículo: Simulación, Graficación y Aplicación de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Físicos can SAGE.

En el siguiente enlace puedes acceder a la celda de SAGE para simular en tiempo real este problema 3.

Ejercicios 2.6. Dennis G. Zill. Problema 1. Da click aquí

Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 2)

$ \Large y^{\prime} = x + y^2$, $ y (0) = 0$; $ y (0.2)$

Primer caso $ h = 0.1$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = x + y^2$
ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_0 = 0$,

$ y_0 = 0,$

Para este primer caso: $ h = 0.1$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*} y_{0 + 1} & = & y_0 + h f (x_0, y_0)\\ y_1 & = & y_0 + h \ast (x_0 + y_0^2)\\ y_1 & = & 0 + (0.1) (0 + 0^2) \end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 0.2$.

\begin{eqnarray*} y_1 & = & 0 + (0.1) (0)\\ & = & 0 + 0\\ y_1 = y (0.1) & = & 0 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{1 + 1} & = & y_1 + h f (x_1, y_1)\\ y_2 & = & y_1 + h \ast (x_1 + y_1^2)\\ y_2 & = & 0 + (0.1) (0.1 + 0^2)\\ & = & 0 + (0.1) (0.1)\\ & = & 0 + 0.01\\ y_2 = y (0.2) & = & 0.01 \end{eqnarray*}

=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.=.

Segundo caso $ h = 0.05$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = x + y^2$
ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_0 = 0$,

$ y_0 = 0,$

Para este segundo caso: $ h = 0.05$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*} y_{0 + 1} & = & y_0 + h f (x_0, y_0)\\ y_1 & = & y_0 + h \ast (x_0 + y_0^2)\\ y_1 & = & 0 + (0.05) (0 + 0^2) \end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 0.2$.

\begin{eqnarray*} y_1 & = & 0 + (0.05) (0)\\ & = & 0 + 0\\ y_1 = y (0.05) & = & 0 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{1 + 1} & = & y_1 + h f (x_1, y_1)\\ y_2 & = & y_1 + h \ast (x_1 + y_1^2)\ y_2 & = & 0 + (0.05) (0.05 + 0^2)\\ & = & 0 + (0.05) (0.05)\\ & = & 0 + 0.0025\\ y_2 = y (0.1) & = & 0.0025 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{2 + 1} & = & y_2 + h f (x_2, y_2)\\ y_3 & = & y_2 + h \ast (x_2 + y_2^2)\\ y_3 & = & 0.0025 + (0.05) (0.1 + 0.0025^2)\\ & = & 0.0025 + (0.05) (0.10000625)\\ & = & 0.0025 + 0.0050003125\\ y_3 = y (0.15) & = & 0.0075003125 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{3 + 1} & = & y_3 + h f (x_3, y_3)\\ y_4 & = & y_3 + h \ast (x_3 + y_3^2)\\ y_4 & = & 0.0075003125 + (0.05) (0.15 + 0.0075003125^2)\\ & = & 0.0075003125 + (0.05) (0.150056254)\\ & = & 0.0075003125 + 0.0075028127\\ y_4 = y (0.2) & = & 0.015003125 \end{eqnarray*}

El código en SAGE para resolver los problemas mediante métodos numéricos lo puedes ver en la presentación: De donde sale el Método de Euler. da click aquí.

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Ejercicios 2.6. Dennis G. Zill. Problema 2. Da click aquí

El código de MATHEMATICA lo pueden ver al final del artículo: METODO DE EULER PARA ECUACIONES DIFERENCIALES, donde también pueden ver más ejemplos de ejercicios resueltos mediante el método de Euler en 4 pasos.

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