Ecuacion diferencial ejercicios resueltos

Metodo de Euler

11 de enero de 2015 · Actualizado: 25 de septiembre de 2023

MÉTODO DE EULER

Al culminar de leer el siguiente artículo, podrás resolver cualquier ecuación diferencial de primer orden con valores iniciales, mediante el método de euler y demás podrás graficar tus resultados aquí mismo o copiando el código de MATHEMATICA al final del artículo.

Según la Dra Barbara Oakley de la UC San Diego, en su curso Leaning how to learn, se puede acceder a la memoria a largo plazo mediante la técnica: Palacio de la memoria, donde se utiliza un lugar físico y totalmente familiar para memorizar objetos que no tienen conexión entre si, como lo puede ser la lista del supermercado.

Otra técnica efectiva para memorizar nombres es la de utilizar frases memorables para memorizar conceptos. En dicha técnica la primera letra de una frase es también la primera letra de una lista que necesita ser memorizada.

Por ejemplo, la frase en ingles: Old People from Texas Eat Spiders, es utilizada en medicina para memorizar los huesos en el cráneo, donde las primeras letras de las siguientes palabras corresponden a las primeras letras de la frase en ingles.

Metodo de Euler — **Figura 1**. Old People from Texas Eat Spiders

De modo que las primeras letras de cada palabra en la frase: Old People From Texas Eat Spiders, corresponden a las primeras letras de las palabras
en la siguiente lista: Occipital, Parietal, Frontsal, Temporal, Ethmoid, Sphenoid.

Esta técnica podría ser muy util para memorizar los pasos que aquí proponemos para resolver los tipos de ecuaciones diferenciales, como las que corresponden al método de Euler que a continuación se describen.

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER

FORMULAS USADAS

\begin{equation*} \LARGE y_{n + 1} = y_n + h f (x_n, y_n) \end{equation*} (1)

\begin{equation*} \LARGE x_{n + 1} = x_n + h \end{equation*} (2)

Donde:

$ n = 0, 1, 2, 3, \ldots$

$ h =$ tamaño del incremento en $latex x$

$ f (x_n, y_n) =$ segundo miembro de la ED de primer orden cuando tiene la forma:

$ \large \frac{d y}{d x} = f (x, y)$

PROCEDIMIENTO:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro

ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema, ejemplo:

para el PVI: $ y^{\prime} = 0.12 \sqrt{y} + 0.4 x^2$, $ y (2) = 4$, $ y (2.5)$,
con $ h = 0.5$, las variables buscadas son: $ x_0 = 2$, $ y_0 = 4$ y $ h = 0.5$

iii. Plateamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales, como sigue:
$ \large y_{0 + 1} = y_0 + h f (x_0, y_0)$

Y una vez obtenido este primer resultado repetimos el proceso iterativamente utilizando los nuevos datos:
$ \large y_{1 + 1} = y_1 + h f (x_1, y_1)$

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 2.5$,
como se ve el los datos del problema del inciso anterior.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER

En los problemas 1 y 2 siguientes use el método de euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado, ejecute a mano la ecuación de recursión $ y_{n + 1} = y_n + h f (x_n, y_n)$, usando primero $ h = 0.1$ y después usando $ h = 0.5$.

Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 1)

$ \Large y^{\prime} = 2 x - 3 y + 1$, $ y (1) = 5$, $ y (1.2)$

Primer caso $ h = 0.1$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = 2 x - 3 y + 1$
ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_0 = 1$,

$ y_0 = 5,$

Para este primer caso: $ h = 0.1$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*} y_{0 + 1} & = & y_0 + h f (x_0, y_0) \\ y_1 & = & y_0 + h \ast (2 x_0 - 3 y_0 + 1) \\ y_1 & = & 5 + (0.1) (2 (1) - 3 (5) + 1) \end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x =1.2$. (Ver datos del problema)

\begin{eqnarray*} y_1 & = & 5 + (0.1) (2 - 15 + 1) \\ & = & 5 + (0.1) (- 12) \\ & = & 5 - 1.2 \\ y_1 = y (1.1) & = & 3.8000 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{1 + 1} & = & y_1 + h f (x_1, y_1) \\ y_2 & = & y_1 + h \ast (2 x_1 - 3 y_1 + 1) \\ y_2 & = & 3.8 + (0.1) (2 (1.1) - 3 (3.8) + 1) \\ y_2 & = & 3.8 + (0.1) (2.2 - 11.4 + 1) \\ & = & 3.8 + (0.1) (- 8.2) \\ & = & 3.8 - 0.82 \\ y_2 = y (1.2) & = & 2.9800 \end{eqnarray*}

Nota . El hecho de que la $ x$ varíe $ x_0 = 1$, $ x_1= 1.1$, $ x_2 = 1.2$, etc, tras cada iteración es por que la $ x$ aumenta según la fórmula: $ x_{n + 1} = x_n + h$; la explicación mas precisa matemáticamente se puede ver en la presentación: De donde sale el Método de Euler.

Segundo caso $ h = 0.05$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = 2 x - 3 y + 1$ Igual al anterior.

ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_0 = 1$,

$ y_0 = 5,$

Para este segundo caso: $ h = 0.05$ (solo este dato cambia)

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*} y_{0 + 1} & = & y_0 + h f (x_0, y_0) \\ y_1 & = & y_0 + h \ast (2 x_0 - 3 y_0 + 1) \\ y_1 & = & 5 + (0.05) (2 (1) - 3 (5) + 1) \end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 1.2$.

\begin{eqnarray*} y_1 & = & 5 + (0.05) (2 - 15 + 1) \\ & = & 5 + (0.05) (- 12) \\ & = & 5 - 0.6 \\ y_1 = y (1.05) & = & 4.4000 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{1 + 1} & = & y_1 + h f (x_1, y_1) \\ y_2 & = & y_1 + h \ast (2 x_1 - 3 y_1 + 1) \\ y_2 & = & 4.4 + (0.05) (2 (1.05) - 3 (4.4) + 1) \\ y_2 & = & 4.4 + (0.05) (2.1 - 13.2 + 1) \\ & = & 4.4 + (0.05) (- 10.1) \\ & = & 4.4 - 0.505 \\ y_2 = y (1.1) & = & 3.8950 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{2 + 1} & = & y_2 + h f (x_2, y_2) \\ y_3 & = & y_2 + h \ast (2 x_2 - 3 y_2 + 1) \\ y_3 & = & 3.8950 + (0.05) (2 (1.1) - 3 (3.8950) + 1) \\ & = & 3.8950 + (0.05) (2.2 - 11.685 + 1) \\ & = & 3.8950 + (0.05) (- 8.485) \\ & = & 3.8950 - 0.42425 \\ y_3 = y (1.15) & = & 3.47075 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{3 + 1} & = & y_3 + h f (x_3, y_3) \\ y_4 & = & y_3 + h \ast (2 x_3 - 3 y_3 + 1) \\ y_4 & = & 3.47075 + (0.05) (2 (1.15) - 3 (3.47075) + 1) \\ & = & 3.47075 + (0, 05) (2.3 - 10.41225 + 1) \\ & = & 3.47075 + (0.05) (- 7.11225) \\ & = & 3.47075 - 0.3556125 \\ y_4 = y (1.2) & = & 3.1151 \end{eqnarray*}

El código en SAGE para resolver los problemas mediante métodos numéricos lo puedes ver en la presentación: De donde sale el Método de Euler. da click aquí.

A continuación te dejo este mismo problema resuelto con SAGE. Si quieres aprender a editar la celda de SAGE, revisa el siguiente artículo: Simulación, Graficación y Aplicación de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Físicos can SAGE.

En el siguiente enlace puedes acceder a la celda de SAGE para simular en tiempo real este problema 3.

Ejercicios 2.6. Dennis G. Zill. Problema 1. Da click aquí

Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 2)

$ \Large y^{\prime} = x + y^2$, $ y (0) = 0$; $ y (0.2)$

Primer caso $ h = 0.1$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} = f (x, y)$, para extraer su segundo miembro
$ \frac{d y}{d x} = x + y^2$
ii. Definimos $ x_0$, $ y_0$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_0 = 0$,

$ y_0 = 0,$

Para este primer caso: $ h = 0.1$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*} y_{0 + 1} & = & y_0 + h f (x_0, y_0) \\ y_1 & = & y_0 + h \ast (x_0 + y_0^2) \\ y_1 & = & 0 + (0.1) (0 + 0^2) \end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 0.2$.

\begin{eqnarray*} y_1 & = & 0 + (0.1) (0) \\ & = & 0 + 0 \\ y_1 = y (0.1) & = & 0 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{1 + 1} & = & y_1 + h f (x_1, y_1) \\ y_2 & = & y_1 + h \ast (x_1 + y_1^2) \\ y_2 & = & 0 + (0.1) (0.1 + 0^2) \\ & = & 0 + (0.1) (0.1) \\ & = & 0 + 0.01 \\ y_2 = y (0.2) & = & 0.01 \end{eqnarray*}

Segundo caso $ h = 0.05$

Pasos:

$ x_0 = 0$,

$ y_0 = 0,$

Para este segundo caso: $ h = 0.05$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*} y_{0 + 1} & = & y_0 + h f (x_0, y_0) \\ y_1 & = & y_0 + h \ast (x_0 + y_0^2) \\ y_1 & = & 0 + (0.05) (0 + 0^2) \end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x = 0.2$.

\begin{eqnarray*} y_1 & = & 0 + (0.05) (0) \\ & = & 0 + 0 \\ y_1 = y (0.05) & = & 0 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{1 + 1} & = & y_1 + h f (x_1, y_1) \\ y_2 & = & y_1 + h \ast (x_1 + y_1^2)\ \\ y_2 & = & 0 + (0.05) (0.05 + 0^2) \\ & = & 0 + (0.05) (0.05) \\ & = & 0 + 0.0025 \\ y_2 = y (0.1) & = & 0.0025 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{2 + 1} & = & y_2 + h f (x_2, y_2) \\ y_3 & = & y_2 + h \ast (x_2 + y_2^2) \\ y_3 & = & 0.0025 + (0.05) (0.1 + 0.0025^2) \\ & = & 0.0025 + (0.05) (0.10000625) \\ & = & 0.0025 + 0.0050003125 \\ y_3 = y (0.15) & = & 0.0075003125 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{3 + 1} & = & y_3 + h f (x_3, y_3) \\ y_4 & = & y_3 + h \ast (x_3 + y_3^2) \\ y_4 & = & 0.0075003125 + (0.05) (0.15 + 0.0075003125^2) \\ & = & 0.0075003125 + (0.05) (0.150056254) \\ & = & 0.0075003125 + 0.0075028127 \\ y_4 = y (0.2) & = & 0.015003125 \end{eqnarray*}

El código en SAGE para resolver los problemas mediante métodos numéricos lo puedes ver en la presentación: De donde sale el Método de Euler. da click aquí.

En el siguiente enlace puedes acceder a la celda de SAGE para simular en tiempo real este problema 3.

Ejercicios 2.6. Dennis G. Zill. Problema 2. Da click aquí

El código de MATHEMATICA lo pueden ver al final del artículo: METODO DE EULER PARA ECUACIONES DIFERENCIALES, donde también pueden ver más ejemplos de ejercicios resueltos mediante el método de Euler en 4 pasos.

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Presentación: De donde sale el Método de Euler. da click aquí

Presentación: Algoritmo para Implementar el Método de Euler con SAGE.

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Preguntas frecuentes sobre el método de Euler

¿Qué es el método de Euler?

Es el método numérico más simple para aproximar la solución de una ecuación diferencial de primer orden con valor inicial, avanzando en pasos de tamaño h con la recta tangente en cada punto.

¿Cuál es la fórmula del método de Euler?

y(n+1) = yn + h·f(xn, yn), donde h es el tamaño de paso y f(x, y) es la derivada dada por la ecuación diferencial.

¿Cuándo se usa el método de Euler?

Cuando una ecuación diferencial no tiene solución analítica sencilla o se necesita una aproximación numérica rápida; además es la base para entender métodos más precisos como Runge-Kutta.

¿Qué error tiene el método de Euler?

Es un método de primer orden: el error por paso es proporcional a h², y el error acumulado a lo largo del intervalo es proporcional a h, por lo que reducir el paso mejora la precisión.

15 comentarios de la comunidad

Preguntas y aportes reales de lectores a lo largo de los años. Se conservan tal como se publicaron originalmente.

Francisco Jaimes Acuña, Arq UNAM México, D. F.12 de enero de 2015
precisamente hoy, en una sesión de profesores de matemáticas de nivel medio superior, plantée la necesidad de reconstruir la comunicabilidad de las matemáticas. Este trabajo de usted sobre el método de Euler, es un elemento muy significativo en esta dirección
- Manuel Alejandro Vivas Riverol14 de enero de 2015
  Francisco, Buenas tardes. Le agradezco muchísimo su comentario, pues me sirve mucho para seguir con el mismo estilo. Coincido ampliamente con Ud. en relación a que las matemáticas pueden ser mucho más accesibles y me parece que esto puede ayudar al desarrollo en un nivel más profundo y más amplio de las mismas ... Quedo a sus ordenes para cualquier sugerencia o comentario al respecto. Un saludo cordial.
francismedin15 de junio de 2016
oye disculpa el Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 1) de que edición es el libro ?
- Manuel Alejandro Vivas Riverol15 de junio de 2016
  Hola francis El libro es la 7ma edicion Saludos
  - francismedin28 de junio de 2016
    muchas gracias
miguel angel13 de noviembre de 2016
hola me podria ayudar con unos ejercicos
- Manuel Alejandro Vivas Riverol13 de noviembre de 2016
  Mandamelos Miguel Angel. No te puedo garantizar la ayuda por que tengo otras ocupaciones. Pero envíamelos y al menos te puedo dar una orientación, en caso de no tener tiempo para mas. Te parece? Saludos
miguel angel13 de noviembre de 2016
disculpe queria saber si me podria dar unos ejercicios de ecuacion del movimiento de euler desarrollados se lo agradeceria
- Manuel Alejandro Vivas Riverol13 de noviembre de 2016
  Miguel Te refieres a Mecánica de Fluidos? escribme a: [correo oculto] Saludos
  - miguel angel13 de noviembre de 2016
    okey ya le envie
Tu Alumno14 de noviembre de 2016
Gracias
Mayra12 de septiembre de 2017
Hola. Muy bien se estudia con esto, gracias por compartir. Quisiera saber si tienen los ejercicios de edway penney de la sección 2.4, 2.3… 2.2. y 2.1 algunos resueltos.
- Manuel Alejandro Vivas Riverol26 de septiembre de 2017
  Hola Mayra, no los tengo. Disculpa por el tiempo de espera. Si necesitas que te realicemos los ejercicios mandanos tu propuesta económica y lo que requieres al correo: [correo oculto] Saludos
Tenrry22 de julio de 2020
y para y''+xy'+y=0 y(0)=1 y'(0)=2 con el método de euler
- Manuel Alejandro Vivas Riverol25 de julio de 2020
  Puedes calcularlo Tenrry, utiliza alguna celda de sagemath que hay en el sitio y modifica el código del método de euler que comparto. Lamento que no pueda extenderme en mi respuesta, pero sé que puedes encontrar lamenera con lo que te escribo aquí. Saludos

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