Teorema de Existencia y Unicidad

En este artículo aprenderás cómo interpretar el teorema de existencia y unicidad de una solución, aplicado a las Ecuaciones Diferenciales (ED’s) ordinarias de primer orden, de manera gráfica, clara y sencilla.

Podrás identificar los 3 casos particulares que se pueden presentar al obtener las soluciones de una ED Ordinaria de primer orden, sobre todo si estas soluciones no se encuentran dentro de los límites que enuncia el Teorema de Existencia y Unicidad.

Este es un ejercicio resuelto basado de:

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 39).

Analice el siguiente razonamiento y utilice el Teorema de la existencia y unicidad de una solución, para determinar si el problema con valores iniciales (PVI), tiene o no una solución única en los siguientes tres casos.

PVI:  $xy^{\prime }-4y=x^{6}e^{x}$ y las condiciones dadas:

a). $y\left( 0 \right)=0$

b). $y\left( 0 \right)=y_{0},y_{0}>0$

c). $y\left( x_{0} \right)=y_{0}$, $x_{0}>0,y_{0}>0$

Primero enunciamos el Teorema:

Teorema de Existencia y Unicidad de una Solución “Supóngase que tanto la función $f\left( x,y \right)$ y su derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}$son continuas en algún rectángulo $R$ en el plano «xy» que contiene el punto $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ en su interior. Entonces, para algún intervalo abierto $I$ conteniendo el punto ${{x}_{0}}$, el problema del valor inicial $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left( x,y \right)$ , $y\left( {{x}_{0}} \right)={{y}_{0}}$ Tiene una y solo una solución que está definida en el intervalo $I$. (Como se ilustra en la figura 1, el intervalo de solución  $I$ puede no ser tan “ancho» en continuidad como el rectángulo original $R$)”.

Para determinar la existencia y unicidad de una solución de una Ecuación diferencial, podemos tomar diferentes caminos, algunos autores los clasifican en: Concepción Geométrica, Concepción Numérica, Concepción analítica, Concepción topológica.

Aquí desarrollaremos la concepción analítica y la visualización del concepto y posteriormente haremos un desarrollo numérico y geométrico en otro artículo.

Según el Teorema, si las funciones $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en algún intervalo $R$  que contenga al punto considerado como valora inicial de una ED Ordinaria de Primer Orden (es decir, el punto $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ que se muestra en el enunciado del teorema como: $y\left ( x_{0} \right )=y_{0}$, entonces se encontrará una solución para la ED Ordinaria de Primer Orden, la cual será única y se alojará en in intervalo $I$, que puede no ser tan grande como el intervalo $latex R$, pero que también contiene al punto $\left ( x_{0},y_{0} \right )$.

Por tanto, calculemos dichos valores y grafiquémoslos.

Primero calculamos $f(x,y)$  y $\frac{\partial f}{\partial y}$ y graficamos para analizar la existencia y unicidad de la solución para el problema que queremos resolver.

De la forma estándar obtenemos $f(x,y)$ y derivando esta ecuación encontraremos $\frac{\partial f}{\partial y}$.

De esta forma, tenemos:

$x\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-4y={{x}^{6}}{{\text{e}}^{x}}$, la cual escrita en forma estándar, es: $\displaystyle $

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-\frac{4}{x}y={{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$ ,

De la forma estándar $ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ vemos que:

$P\left( x \right)=-\frac{4}{x}$

Y

$f\left( x \right)={{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$,

Entonces, para nuestro análisis y según el Teorema de existencia y unicidad, si:

$f\left( x,y \right)=P\left( x \right)y+f\left( x \right)$ (del despeje de la eq. ) ;

Y  $\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial (-P(x)y+f(x))}{\partial y}$, son continuas en algún rectángulo $R$, entonces existe una solución única para el problema de valores iniciales).

De donde:

$f\left( x,y \right)=\frac{4}{x}y+{{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$ ,

Y

$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{4}{x}=-P\left( x \right)$

Para recordar cómo determinar la continuidad de una función de dos variables seguir el siguiente enlace: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES:$f(x,y)$.

Ahora, graficando ambas curvas, en los INTERVALOS ABIERTOS $(-\infty ,\infty )$ y $(0,\infty )$, tenemos:

Figura 1. Gráficas de las funciones: $f(x)={{x}^{5}}{{e}^{x}}$  y $-P(x)=4/x$, en el intervalo $0< x< \infty$

Figura 2. Gráficas de las funciones:$f(x)={{x}^{5}}{{e}^{x}}$  y $-P(x)=4/x$, en el intervalo $-\infty < x< \infty$

Seguramente la primera pregunta es por qué no consideramos la función completa $f(x,y)=\frac{4}{x}y+{{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$ y solo tomamos en cuanta una parte de ésta, la explicación la encontramos en el artículo: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES :$f(x,y)$.

De este análisis vemos que tanto $\frac{4}{x}$, como ${{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$, son continuas en intervalo abierto:   $\left(0,\infty \right)$. Hacemos notar que para un intervalo diferente de $\left(0,\infty \right)$, como $[0,\infty )$ o $(-\infty ,\infty )$, la función $\frac{4}{x}$, no está definida. De la Figura 3, podemos ver que la gráfica de la función $P(x)=4/x$ es un asíntota del eje “y”.

Debido a que para el intervalo abierto $0<x<\infty$ si se cumple la condición necesaria y suficiente del Teorema de Existencia y Unicidad de una solución, sabemos que sí existe una solución general, para esta ED definida en dicho intervalo.

Calculando dicha solución general, tenemos:

1. Forma estándar de la ED a resolver:

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-\frac{4}{x}y={{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$

2. Encontramos el factor integrante:

${{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}}$$=$${{\text{e}}^{-4\mathop{\int }^{}\frac{\text{d}x}{x}}}$$=$${{\text{e}}^{-4\ln \left| x \right|}}$ $=$${{\text{e}}^{\ln \left| {{x}^{-4}} \right|}}$$=$${{x}^{-4}}$

3. Encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

${{y}_{c}}=C{{\text{e}}^{\mathop{-\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}}$… (Vease Solución del sistema homogéneo asociado, para información sobre la obtención del método)

De donde:

$\displaystyle {{y}_{C}}={{\text{e}}^{(-)-4\mathop{\int }^{}\frac{\text{d}x}{x}}}=C{{x}^{4}}$

4. Encontramos una solución particular a partir del sistema LINEAL no homogéneo:

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-\frac{4}{x}y={{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$

${{y}_{p}}=\frac{1}{{{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}p\left( x \right)\text{d}x}}}\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)\text{d}x}}f\left( x \right)$ …(Vease solución del sistema no homogéneo)

De donde:

${{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{-4}}}\mathop{\int }^{}{{x}^{-4}}\left( {{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}} \right)$

${{y}_{p}}={{x}^{4}}\mathop{\int }^{}x{{\text{e}}^{x}}$

E integrando por partes:

$\mathop{\int }^{}u\text{d}v=u\nu -\mathop{\int }^{}\nu \text{d}u$  (fórmula para la integración por partes)

$u=x$, $\text{d}\nu ={{e}^{x}}\text{d}x$

$\text{d}u=\text{d}x$, $\nu ={{\text{e}}^{x}}$

De donde:

${{y}_{p}}={{x}^{4}}\left[ x{{\text{e}}^{x}}-\mathop{\int }^{}{{\text{e}}^{x}}\text{d}x \right]$

Por tanto, la solución del sistema no homogéneo, es:

${{y}_{p}}={{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}-{{x}^{4}}{{\text{e}}^{x}}$

Por tanto, la solución general de la ED lineal de 1er Orden: $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-\frac{4}{x}y={{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$, es:

$\huge y=C{{x}^{4}}+{{x}^{5}}{{e}^{x}}-{{x}^{4}}{{e}^{x}}$

La cual tiene la forma $y=y_{c}+y_{p}$ que es la forma general de la solución de una ED lineal de primer Orden.

Del razonamiento anterior, sabemos que ESTA SOLUCIÓN ESTÁ DEFINIDA PARA EL INTERVALO ABIERTO: $(0,\infty )$, por lo que ahora inspeccionaremos los tres casos para resolver el PVI, que nos plantean.

El primer caso:

a). $x{{y}^{\prime }}-4y={{x}^{6}}{{\text{e}}^{x}}$ y $y\left( 0 \right)=0$

Para este caso, sabemos que en $x=0$, la gráfica de la función $f(x)=\frac{4}{x}$ no está definida, en consecuencia la función $f(x,y)=\frac{4}{x}y+{{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$, tampoco lo está.

Soluciones que no cumplen con el Teorema de Existencia y Unicidad Sin embargo, el Teorema de Existencia y Unicidad no expresa o restringe el hecho de que si no se cumple no existe solución, de hecho si las condiciones establecidas en la hipótesis del Teorema no son válidas, entonces puede ocurrir cualquier cosa[1]: (1) El problema puede tener una solución y esta solución puede ser única, o (2) La ecuación puede tener varias soluciones, o (3) La ecuación puede no tener ninguna solución

Tabla 1. Soluciones fuera del Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones para las Ecuaciones Diferenciales (ED) Ordinarias de Primer Orden.

Estas afirmaciones son válidas para cualquier problema con valores iniciales(PVI):

$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$  con $y\left ( x_{0} \right )=y_{0}$.

Para ver lo anterior simplemente realizamos la sustitución de los valores $x=0,y=0$ en la función solución: $y=C{{x}^{4}}+{{x}^{5}}{{e}^{x}}-{{x}^{4}}{{e}^{x}}$ , para conocer el posible valor de “$C$”, que determinaría que existe una función solución que pasa por $x=0,y=0$. Entonces:

$y(0)=C{{(0)}^{4}}+{{(0)}^{5}}{{e}^{(0)}}-{{(0)}^{4}}{{e}^{(0)}}$

$\Rightarrow y(0)=0+0-0$ (Si me permiten la expresión)

$\Rightarrow y(0)=0$ (Solución trivial)

Este resultado, conocido como SOLUCIÓN TRIVIAL, descarta una solución única al no poder encontrar un valor específico para “$C$”, lo cual ha sido predicho por el Teorema de Existencia y Unicidad de una Solución, al no estar definida la función $\frac{4}{x}$  y en consecuencia la función $f(x,y)=\frac{4}{x}y+{x}^{5}e^{x}$ .

Aquí retomamos lo antes dicho acerca del resultado que predijo el Teorema de Existencia y Unicidad para este problema, el cual nos afirma que si el valor inicial $y\left ( x_{0} \right )=y_{0}$, se encuentra dentro del intervalo abierto $(0,\infty )$ si existe una solución para el problema de valores iniciales (PVI) y es única pero, como el punto que estamos considerando esta fuera de ese intervalo (ya que este intervalo no incluye a $x=0$) el Teorema no garantiza nada. Sin embargo, vemos que al realizar la sustitución de anterior (de manera analítica), llegamos a una solución válida, contemplada dentro de las Ecuaciones diferenciales, que es llamada SOLUCIÓN TRIVIAL, ya que a pesar de que no existe un valor definido para $C$, al sustituir los valores anteriores en la solución del problema, encontramos, una solución que tiene sentido (al sustituir los valores de $x$ en la solución de la ED, obtenemos el resultado buscado por las condiciones iniciales, es decir $y(0)=0$ ), entonces, si esta solución no está contemplada por el Teorema de Existencia y Unicidad, cómo la podríamos interpretar?

La respuesta la hemos dado en los incisos de la Tabla 1. Sucede que en este caso podríamos tener muchas, una o ninguna solución.

Para aclarar que es lo que sucede en esta ocasión, grafiquemos la familia de curvas solución de la ED en el intervalo $-\infty< x< \infty$ (o al menos en un intervalo que contenga el punto $x=0, y=0$)

Figura 3. Familia de soluciones $y(x)=-{{\text{e}}^{x}}{{x}^{4}}+{{\text{e}}^{x}}{{x}^{5}}+C{{x}^{4}}$de la ED ordinaria de primer orden: $x{{y}^{\prime }}-4y={{x}^{6}}{{\text{e}}^{x}}$ graficadas en el intervalo $-3< x< 3$. En gris está señalada la región R del intervalo abierto $\left ( 0,\infty \right )$.

De la gráfica anterior podemos concluir que en el punto $x=0,y=0$, la ecuación diferencial tiene una INFINIDAD DE SOLUCIONES, ya que por este punto pasan toda la familia de soluciones de la ED investigada.

Para el segundo caso:

b). $y\left ( 0 \right )=y_{0}, y_{0}> 0$

Al no tener un valor concreto para $y_{0}$, no la sustituiré en la función solución (si quieren ver un desarrollo analítico de la solución sigan el link: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES :$f(x,y)$.), entonces, analicemos la gráfica anterior, haciendo un señalamiento para los puntos $(0, y_{0})$ donde $y_{0}>0$.

Figura 4. Gráficas de las soluciones incluidas en: $y(x)=-{{\text{e}}^{x}}{{x}^{4}}+{{\text{e}}^{x}}{{x}^{5}}+C{{x}^{4}}$. La parte positiva del eje “$y$”, representa a todos los puntos $(0,{{y}_{0}})$. En gris está señalada la región $R$de intervalo abierto $(0,\infty )$.

Podemos ver de la Figura 4, que sí $x=0$, para cualquier valor de $y>0$ , no existe una solución. Pues la solución no está definida para esos valores.

Por último, para el tercer caso:

c). $y\left ( x_{0} \right )=y_{0}$, $x_{0}> 0, y_{0}> 0$

Podemos notar que sí cumple con las restricciones del Teorema de Existencia y Unicidad de una solución, puesto que como hemos visto, en el intervalo $(0,\infty )$, las funciones$f\left( x,y \right)=\frac{4}{x}y+{{x}^{5}}{{\text{e}}^{x}}$ Y $\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{4}{x}=P\left( x \right)$, están definidas, por lo que sí existe, en dicho intervalo, una y solo una solución de la ecuación diferencial: $xy'(x)-4y(x)={{x}^{6}}{{e}^{x}}$con valor inicial $y\left ( x_{0} \right )=y_{0}$, donde $x_{0}> 0, y_{0}> 0$.

Ejemplo de estas se pueden apreciar en la Figura 5, como: $y(x)=5{{x}^{4}}-{{e}^{x}}{{x}^{4}}+{{e}^{x}}{{x}^{5}}$ Ó $y(x)={{x}^{4}}/125-4{{e}^{5}}{{x}^{4}}-{{e}^{x}}{{x}^{4}}+{{e}^{x}}{{x}^{5}}$.

Figura 5. Gráficas de las soluciones particulares: $y(x)=5{{x}^{4}}-{{e}^{x}}{{x}^{4}}+{{e}^{x}}x$ y   $y(x)={{x}^{4}}/125-4{{e}^{5}}{{x}^{4}}-{{e}^{x}}{{x}^{4}}+{{e}^{x}}{{x}^{5}}$ del PVI: $x{{y}^{\prime }}-4y={{x}^{6}}{{\text{e}}^{x}}$; $y\left ( x_{0} \right )=y_{0}$ , cuando $x>0,y>0$. En gris está señalada la región $R$de intervalo abierto $(0,\infty )$.

En conclusión, vemos que el Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones para ED Ordinarias de Primer orden, sirve para determinar la existencia de una solución cuando se tiene un problema con condiciones iniciales, es decir, un Problema de Valores Iniciales (PVI).

Te propongo practiques el graficar, como lo has visto aquí, las curvas $f(x,y)$  y $\frac{\partial f}{\partial y}$ en las que necesites saber si se encuentran dentro de un cierto intervalo cerrado o abierto, y también grafiques las curvas de las funciones solución de tus ED’s, para corroborar si sus valores iniciales se encuentran dentro de dicho intervalo.

Para tal efecto de dejo las códigos de MATHEMATICA que necesitas utilizar para la graficación de las soluciones de las ED con condiciones iniciales:

Clear["Global`*"]
ss=DSolve[x y'[x] - 4y[x]==Šx^6Exp[x],y[x],x]//Expand
ss1=NDSolve[{x y'[x] - 4y[x]==x^6Exp[x],y[0]Š==0},y[x],{x,-3,3}]
ss2=NDSolve[{x y'[x] - 4y[x]Š==x^6Exp[x],y[0]Š==5},y[x],{x,-3,3}]
ss3=NDSolve[{x y'[x] - 4y[x]Š==x^6Exp[x],y[5]Š==5},y[x],{x,-3,3}]
ss3a=DSolve[{x y'[x] - 4y[x]Š==x^6Exp[x],y[5]Š==5},y[x],x]//Expand
ss4=NDSolve[{x y'[x] - 4y[x]Š==x^6Exp[x],y[1]Š==5},y[x],{x,-3,3}]
ss4a=DSolve[{x y'[x] - 4y[x]Š==x^6Exp[x],y[1]Š==5},y[x],x]//Expand
top=Table[Evaluate[ss[[1,1,2]]/.C[1]->i],{i,{10,8, 6,4, 2,1, 0,-1,-2,-4,-6,-8,-10}}];
pg = Plot[Tooltip[top],{x,-3,3},PlotRange->{-7,7}, AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->Thick,DisplayFunction->$DisplayFunction];
pss3 = Plot[Evaluate[y[x]/.ss3],{x,-3,3},PlotRange->{-7,7}, Frame->True,PlotStyle->{Blue,Thickness[0.01]},DisplayFunction->$DisplayFunction];
pss4 = Plot[Evaluate[y[x]/.ss4],{x,-3,3},PlotRange->{-7,7}, Frame->True,PlotStyle->{Red,Thickness[0.01]},DisplayFunction->$DisplayFunction];
recRF=Rectangle[{0.01,-7},{3,7}];
top1=Table[Evaluate[ss[[1,1,2]]/.C[1]->i],{i,-17,17,1}];
pg1 = Plot[Tooltip[top1],{x,-6,6},PlotRange->{-7,7}, AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->Thick,DisplayFunction->$DisplayFunction];
Show[Graphics[{LightGray,recRF}],pg1,Axes->True,AspectRatio->1,DisplayFunction->$DisplayFunction]
liney=Line[{{0,0.1},{0,7.2}}];
Show[Graphics[{LightGray,recRF}],Graphics[{Dashed, Darker[Blue],Thickness[0.01],liney}],pg1,Axes->True,AspectRatio->1,DisplayFunction->$DisplayFunction]
Show[Graphics[{LightGray,recRF}],pg,pss3,pss4,Axes->True,AspectRatio->1,DisplayFunction->$DisplayFunction]

Nota: al pegar el código, es necesario corregir los espacios y verificar que la variable independiente (en este caso «x» este de color verde, así como la variable «y» este en azul

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4. El código en formato plain- text para pegarlo en SAGE.
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Quiero ejemplos de aplicación del Teorema de Existencia y Unicidad

Cómo aplico El Teorema de existencia y Unicidad a los métodos numéricos