TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

Aplicado a las Ecuaciones Diferenciales

En este artículo mostraremos un ejemplo que te permitirá entender claramente el cómo interpretar el Teorema de Existencia de una solución única aplicado a las Ecuaciones Diferenciales (ED) Ordinarias de Primer Orden.

En el caso de las Ecuaciones Diferenciales (ED’s), existen 3 casos particulares que se pueden presentar al obtener las soluciones de una ED Ordinaria de Primer Orden, sobre todo si estas soluciones no se encuentran dentro de los límites que enuncia el Teorema de Existencia y Unicidad, y es en esta circunstancia particular, cuando se presentan los casos en donde la solución de las ED’s Ordinarias de Primer Orden, pueden ser:

  1. – Una solución Única (cómo en el caso en donde la solución si está dentro de los límites del Teorema de Existencia y Unicidad)
  2. – Una infinidad de soluciones
  3. – Ninguna solución

Veamos estos casos para entender conceptos como el de intervalo de solución (representado por la letra $I$y la región de continuidad o definición $R$de los valores: $f(x,y)$ (o lado derecho de una ED Ordinaria de Primer Orden, $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$) y $\frac{\partial f}{\partial y}$ (o derivada parcial del lado derecho de la ED Ordinaria de Primer Orden).

RAZONAMIENTO INTUITIVO PARA ENTENDER EL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

Primero, recordemos las siguientes definiciones:

Forma general de un Ecuación Lineal de 1er Orden
${{a}_{1}}\left( x \right)\frac{\text{d}x}{\text{d}y}+{{a}_{0}}\left( x \right)y=g\left( x \right)$

Notacion Estandar de la forma general de un Ecuación Lineal de 1er Orden

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P\left( x \right)y=f\left( x \right)$

(1)

Dónde:

$P\left( x \right)=\frac{{a}_{0}\left( x \right)}{{{a}_{1}}\left( x \right)}$ y

$f\left( x \right)=\frac{g\left( x \right)}{{{a}_{1}}\left( x \right)}$

Otra forma  de representar una Ecuación Diferencial de 1er Orden:

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left( x,y \right)$

Donde $f\left( x,y \right)$, sería equivalente a:

$f\left( x,y \right) = -P\left( x \right)y + f\left( x \right)$

Si despejamos la forma estándar para una EDO lineal representada por la ecuación (1)

Ahora podemos leer con más claridad el Teorema, para entenderlo:

Teorema de Existencia y Unicidad de una Solución

Existencia y Unicidad de una Solución

“Supóngase que tanto la función $f\left( x,y \right)$ y su derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}$son continuas en algún rectángulo $R$ en el plano $xy$ que contiene el punto $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ en su interior. Entonces, para algún intervalo abierto $I$ conteniendo el punto ${{x}_{0}}$, el problema del valor inicial

$\Large \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left( x,y \right)$ , $y\left( {{x}_{0}} \right)={{y}_{0}}$


Tiene una y solo una solución que está definida en el intervalo $I$. (Como se ilustra en la figura 1, el intervalo de solución  $I$ puede no ser tan “ancho “en continuidad como el rectángulo original $R$)”.

Los conceptos importantes a considerar son:

  1. – Función de dos variables
  2. – Continuidad de una función de dos variables, y
  3. – Solución de una ED Ordinaria de Primer Orden $f(x,y)$ con $y({{x}{0}})={{y}{0}}$; esto es un problema de valores iniciales (PVI).

Interpretación del Teorema de Existencia y unicidad

En general, lo que nos indica el Teorema de Existencia y unicidad es que siempre habrá una solución para el problema de valores iniciales de una ED Ordinaria de Primer Orden, si la función $f(x,y)$ y su derivada$\frac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en el intervalo $R$y que la solución particular de la ED Ordinaria de Primer Orden, será continua en $I$.

Para ilustrar lo anterior, veamos la Figura 1, donde se gráfica la solución del problema del valor inicial (PVI):

Problema: $\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}=1+\frac{1}{4}e^\frac{x}{4}+\frac{1}{6} \cos(x)-2 \sin(x)$, con $y(0)=3$;

Cuya solución particular es la función (ejemplo):    $y(\text{x)}=x+{{e}^{x/4}}+\frac{1}{6}\text{ sin(}x)+2\text{ cos(}x)$.

Aquí vemos que:

$f(x, y)=1+\frac{1}{4}e^\frac{x}{4}+\frac{1}{6} \cos(x)-2 \sin(x)$

Y que:

$\frac{\partial y}{\partial x}=0$

La función en realidad es una función $f(x)$ , ya que $y=C$ es decir, es una constante para cualquier valor de $x$, como se nota si hacemos $f(0,y)$.

Esta simplicidad nos sirve para poder graficar en 2 dimensiones la función $f(x,y)$ , la cual queda como sigue:

Teorema de existencia y unicidad
Figura 1. Gráfica de la función. Definicion del intervalo de solucion I

$f(x, y)=1+\frac{1}{4}e^\frac{x}{4}+\frac{1}{6} \cos(x)-2 \sin(x)$  y $\frac{\partial f}{\partial y}=0$.

Esto nos indica que como las gráficas son continuas en intervalo que delimita el rectángulo $R$,  $a\le x\le b$, entonces existe una solución para el problema del valor inicial (la cual ya conocemos) y es única; entonces graficamos, conservando los límites para corroborar el resultado. La gráfica de la Figura 2, nos muestra el resultado.

Teorema de existencia y unicidad
Figura 2. Región $R$ del plano “ $xy$”, donde está contenido el intervalo $I$, que a su vez contiene a los valores iniciales $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$. Notar que la solución $y\left( x \right)$, no atraviesa toda la región $R$., como se aprecia en la Figura 3.

Teorema de existencia y unicidad
Figura 3. En esta figura se ve que la función “sale” por debajo de la región en gris (rectángulo R), en vez de atravesar dicho rectángulo y salir en su costado izquierdo sobre el límite demarcado por la recta $x=a$. La Gráfica agrega el campo de direcciones que aloja a la familia de resultados de la ED. Gráfica de la función ejemplo: $f(\text{x)}=\frac{1}{6}\text{ sin(}x)+2\text{ cos(}x)+{{e}^{x/4}}+x$.

Esta aclaración acerca de que la función $f(\text{x)}=\frac{1}{6}\text{sin(}x)+2\text{cos(}x)+{{e}^{x/4}}+x$ , no cubre todo el ancho de la Región $R$ es debido a que el teorema habla de la continuidad de la función anterior y su derivada en todo el intervalo, esto nos lleva a aclarar la diferencia entre el intervalo de la región $R$ y el intervalo de solución $I$y con la explicación que sigue a continuación quedará clara esta diferencia de una vez por todas.=)

Primero hago remembranza a la definición de continuidad de una función de dos variables:

Continuidad de una función de dos variables

Continuidad de una función de dos variables
Una función de dos variables es continua en un punto $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ de una región $R$ si $f({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ es igual al límite de $f(x,y)$ cuándo $(x,y)\rightarrow ({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ . Es decir,

$$\large \underset{(x,y)\rightarrow ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}f(x,y)=f({{x}_{0}},{{y}_{0}})$$

La función f es continua en la región abierta $R$ si es continua en todo punto de $R$

Por esta definición es importante conocer la diferencia entre el intervalo de la región $R$ y el intervalo de solución $I$. La explicación es sencilla y la ilustro como sigue:

Intervalo de solución de una ED Ordinaria de Primer Orden

La solución de un ED Ordinaria de Primer Orden es una función $f(x,y)$.

  • – Considerada como una función, la solución de una ED Ordinaria de Primer Orden puede tener o no un dominio igual al “ancho” de la región $R$, pero si debe tener un dominio igual al del intervalo de solución $I$.

Es por eso que en la Figura 3, se ve como la función no cubre toda la región en gris $R$ , pero si todo el intervalo de solución $I$. Para que esto dicho en este párrafo se haga más evidente, veamos el siguiente ejemplo:

Para la ED ordinaria de primer orden: $y’+2x{{y}^{2}}=0$ con condición inicial $y(0)=-1$ , su solución es: $y(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}-1}$ y su gráfica:

Teorema de Existencia y Unicidad
Figura 4. Dominio de la Función $y(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}-1}$ . El dominio es todos los números reales exceptuando $x=1$ y $x=-1$ .

Ahora,

  • – Considerada como la solución de una ED Ordinaria de Primer Orden, la función puede tener 3 soluciones como lo ilustra la Figura 5.
Teorema de Existencia y Unicidad
Figura 5. Gráfica de la función $y(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}-1}$ , la cual representa 3 diferentes soluciones para 3 diferentes PVI’s.

De la Figura 5, podemos ver que dependiendo de las condiciones iniciales, podemos tener 3 diferentes soluciones para los distintos valores iniciales y estos serán representados con la misma función solución pero con diferente DOMINIO, que las defina.

Dicho DOMINIO, es el que define al intervalo de solución $I$, de la ED Ordinaria de Primer Orden. Para nuestro caso, como el problema del PVI es:

$y’+2x{{y}^{2}}=0$ con $y(0)=-1$ , entonces la gráfica es la que contenga al punto $(0,-1)$  y su intervalo sea el más largo (en caso de que varias gráficas pasen por el mismo punto), es decir, en nuestro caso, la gráfica es la color azul mostrada a continuación:

Teorema de Existencia y Unicidad
Figura 6. Gráfica de la Solución del PVI $y’+2x{{y}^{2}}=0,y(0)=-1$

Con esto seguro ya te queda claro cuál es la diferencia entre el intervalo de solución $I$ y la región de definición $R$.

Existencia y unicidad. Conclusión

En conclusión, recuerda que:

  1. – Los parámetros que enuncia el Teorema de Existencia y Unicidad, $f(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$, debe ser continuos en $R$, para que se pueda asegurar la Existencia de Una solución única de la ED Ordinaria de Primer Orden.
  2. – La función solución de una ED Ordinaria de Primer Orden (la cual podemos denotar de la misma forma como denotamos una función de dos variable $f(x,y)$), si no se encuentra dentro de los límites de el Teorema de Existencia y Unicidad, puede tener, una solución, una infinidad de soluciones o ninguna solución.

Para practicar y entender a fondo el concepto, te dejo el código de MATHEMATICA que te permitirá graficar la función que aquí utilizamos.

Para graficar otras funciones solución, cambia los renglones 2 y 3. =-)

Código de matemática para las gráficas

Clear["Global`*"]
ed=y'[x]+2x y[x]^2Š0
f[x_,y_]=-2x y[x]^2
D[f[x,y],y]

(* ---- COMO FAMILIA DE SOLUCIONES [C ® Desconocida y sin valores iniciales "Subscript[x, 0]" e "Subscript[y, 0]"] ---- *)
s0=DSolve[ed,y[x],x]
t= Table[Evaluate[s0[[1,1,2]]/.C[1]®i],{i,-10,10}];
p0 = Plot[Tooltip[t],{x,-3,3},PlotRange®{-5,5},DisplayFunction®Identity];

(* ---- COMO SOLUCIÓN DE LA ED [C Conocida pero "Subscript[x, 0]" e "Subscript[y, 0]" desconocidas]  ---- *)
s1=DSolve[{ed,y[0]Š-1},y[x],x]
p1 = Plot[s1[[1,1,2]],{x,-3,3},PlotRange®{-5,5},PlotStyle®{Orange,Thickness[0.01]},DisplayFunction®Identity]

(* ---- COMO SOLUCIÓN DEL PVI [C Conocida y valores particulares de "Subscript[x, 0]" e "Subscript[y, 0]"] ---- *)
(* ----  ---- *)
s2=NDSolve[{ed,y[0]Š-1},y[x],{x,-1,1}]
p2 = Plot[y[x]/.s2,{x,-3,3},PlotRange®{-5,5},PlotStyle®{Blue,Thickness[0.01]},DisplayFunction®Identity];
Show[{p0,p1,p2},DisplayFunction®$DisplayFunction]
(* ----  ---- *)
s2a=NDSolve[{ed,y[-1]Š1},y[x],{x,-2,2}]
p2a = Plot[y[x]/.s2a,{x,-4,4},PlotRange®{-5,5},PlotStyle®{Yellow,Thickness[0.01]},DisplayFunction®Identity];
Show[{p0,p1,p2a},DisplayFunction®$DisplayFunction]
(* ----  ---- *)
s2b=NDSolve[{ed,y[2]Š2},y[x],{x,-3,3}]
p2b = Plot[y[x]/.s2b,{x,-4,4},PlotRange®{-5,5},PlotStyle®{Green,Thickness[0.01]},DisplayFunction®Identity];
(* ----  ---- *)
Show[{p0,p1,p2b},DisplayFunction®&s=3$DisplayFunction]
recR1=Rectangle[{-3,-5},{3,5}];
recI1=Rectangle[{-1,-5},{1,5}];
Show[Graphics[{LightGray,recR1}],p1,p2,Axes®Automatic,AxesOrigin®{0,0},PlotRange®{-5,5},AxesStyle®Directive[Black,FontSize®20],TicksStyle®Directive[Blue],AspectRatio®1,AxesLabel®{x,"y[x]"},LabelStyle®Directive[Bold],DisplayFunction®&s=3$DisplayFunction]
Show[Graphics[{LightGray,recR1}],Graphics[{LightOrange,recI1}],p1,p2,Axes®Automatic,AxesOrigin®{0,0},PlotRange®{-5,5},AxesStyle®Directive[Black,FontSize®20],TicksStyle®Directive[Blue],AspectRatio®1,AxesLabel®{x,"y[x]"},LabelStyle®Directive[Bold],DisplayFunction®&s=3$DisplayFunction]

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7 pensamientos en “TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD”

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  2. Gracias por ser tan detallado y didactico con tus explicaciones. Me han servido mucho (esta y otras entradas de tu blog) para estudiar en mi curso de ecuaciones diferenciales.

    Un saludo desde Chile

    Responder

    • Jaime
      Gracias por tu comentario, me sirve mucho para saber si funciona el enfoque que le estoy dando a los ejercicios, te invito a que también dejes sugerencias para mejorar y/o realices las preguntas que necesites.
      Saludos

      Responder

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    • Gracias Gloria por tu comentario, ¿podrías decirme a que te refieres con lo de considerar el diferencial en las integrales? ¿omití alguna notación en alguna ecuacion integral? ¿en cual, me puedes decir? o ¿a qué te refieres? gracias de antemano. Un saludo

      Responder

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