Marcapasos de Corazón

Si aprendes lo que te voy a enseñar en éste artículo sobre Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales, conocerás una manera ordenada de Cómo ANALIZAR y MODELAR matemáticamente un Sistema Físico de Primer Orden, aplicando Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Además, utilizarás el Método de Separación de Variables de 3 pasos propuesto en este sitio para simular un marcapaso del corazón.

Cualquier intento para diseñar un sistema debe comenzar con una predicción de su desempeño antes de que el sistema pueda ser diseñado en detalle o construido. Tal predicción es basada sobre una descripción matemática de las características dinámicas del sistema. Esta descripción matemática es llamada Modelo Matemático. Para muchos sistemas físicos, los modelos matemáticos útiles que los describen, están en términos de Ecuaciones Diferenciales.

Katsuhiko Ogata

Metodología para Modelado de un Sistema Físico de Primer Orden

Como vimos en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas; Modelos No lienales. La metodología para modelar un sistema físico propuesta por el autor Kasuhico Ogata en su libro System Dynamics es la siguiente:

1. Dibuja un diagrama esquemático del Sistema y define las variables
2. Usando las leyes de la física, escribe las ecuaciones para cada componente, combínalas de acuerdo al diagrama del sistema y obtén un modelo matemático.
3. Para verificar la validez del modelo matemático, es preciso comparar los resultados obtenidos con resultados experimentales.

Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales

Modelos Lineales

Marcapasos del Corazón (Ejercicio Resuelto. Denis G. Zill, Octava Edición. Cap 3.1, prob 45)

En la Figura 1, se muestra un marcapasos de corazón, que consiste en un interruptor, una batería, un capacitor y el corazón como un resistor.

Cuando el interruptor S está en P, el capacitor se carga; cuando S está en Q el capacitor se descarga, enviando estímulos eléctricos al corazón. El voltaje E a través del corazón (notar que no me refiero al voltaje $E_{0}$, que es el de la fuente – ver Figura 1), es aplicado cuando S está en Q, se modela mediante:

$$\large \frac{{dE}}{{dt}} = – \frac{1}{{RC}} E$$

• Suponga que el intervalo de tiempo de duración $t_{1}:  0 < t <t_{1}$, el interruptor S está en la posición P como se muestra en la Figura 2, y el capacitor se está cargando. Cuando el interruptor se mueve a la posición Q al tiempo al tiempo $t_{1}$, el capacitor se descarga, enviando un impulso al corazón mediante el intervalo de tiempo $t_{2} : t_{1} \leqslant t < t_1 + t_2$. El voltaje en el corazón se modela por la ED, definida en partes:
  

  $$\large \frac{dE}{dt} = \left\{ \begin{array}{ll} 0 ; & 0 \leqslant t < t_1\\ – \frac{1}{RC} ; & t_1 \leqslant t < t_1 + t_2 \end{array} \right.$$

• Al moverse S entre P y Q, los intervalos de carga y descarga $t_{1}$ y $t_{2}$ se repiten indefinidamente.
• Suponga que $t_{1} = 4 s$, $t_{2} = 2 s$, $E_{0} = 12 V$, $E (0) = 0$, $E (4) = 12$, $E (6) = 0$, $E (10) = 12$, $E (12) = 0$, etc. Determine $E (t)$ para $0 \leqslant t < 24$
• Suponer también, para graficar, que $R = C = 1$. Utilice un programa de graficación para trazar la gráfica de la solución del PVI del inciso a) para $0 \leqslant t < 24$

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Solución para el modelo del circuito del marcapasos del Corazón

:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:

Inciso a) Determinar $E (t)$ para $0 \leqslant t < 24$

Paso 1. El diagrama del sistema se puede ver en la Figura 2, y las variables del sistema son:

........................

Variables del Sistema

i. Voltaje: $E (t)$=?

Sabiendo que:

$\frac{d E}{d t} = 0$ para la carga del capacitor, y ésta dura 4 segundos y

$\frac{d E}{d t} = – \frac{1}{RC}$ para la descarga del capacitor o impulso al corazón y éste dura 2 segundos

ii. Resistencia: $R = 1$

iii. Capacitancia: $C = 1$

Los valores iniciales son:

iv. $E (0) = E (6) = E (12) = 0$ y $E (4) = E (10) = 12$

Paso 2. Modelado Matemático

........................

En éste problema ya nos han dado el modelo matemático para el sistema, sin embargo, recordando un poco de Circuitos Eléctricos, podemos realizar el modelo nosotros mismos.

El diagrama de la Figura 2, nos muestra un circuito conectado en paralelo con tres componentes:

• Una resistencia, que es la que el Corazón ofrece al paso de la corriente
• Un capacitor, el cual almacena energía para darle impulso al corazón
• Una fuente de voltaje (en corriente directa, aunque la simbología no lo hace evidente)

De la teoría de Circuitos Eléctricos sabemos que si queremos conocer la corriente circulante en un circuito eléctrico, necesitamos aplicar la Ley de Corrientes de Kirchoff (LCK, o ley de nodos) a dicho circuito, que dice que;

LCK: La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo. De forma equivalente, la suma de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero. Referencia Wikipedia: Leyes de Kirchoff

La corriente que circula a través de los elementos arriba mencionados es obtenida de acuerdo a los modelos matemáticos que se muestran en la Tabla 1.

Elementos del Circuito	Corriente circulante en el elemento en función del voltaje $E (t)$
Inductor	$$\large \frac{1}{L} \int E (t) d t + E_{0_I}$$
Capacitor	$$C\large \frac{d E}{d t}$$
Resistencia	$$\large \frac{E}{R}$$

Tabla 1. Modelo matemático para las corrientes de cada elemento descritos en la Figura 2, expresados en función del voltaje $E (t)$.

DESARROLLO DEL MODELO MATEMÁTICO PARA EL CIRCUITO DE UN MARCAPASOS DE CORAZÓN

Si suponemos que el circuito fuese cerrado (Figura 2), tendríamos la siguiente configuración del mismo:

Para éste caso el modelo matemático, utilizando los datos de la Tabla 1 y la LCK aplicadas al nodo A, como lo muestra la Figura 3, sería:

$$i_{T}- i_{1} + i_{2}=0$$
O
$$i_{T} = i_{1} + i_{2}$$	(1)
$$i_{T} = C \frac{d E}{d t} + \frac{E}{R}$$	(2)

Ahora, el circuito tiene un interruptor (como lo muestra la Figura 2) que se acciona para cargar al capacitor durante 4 segundos y de nuevo se acciona para descargar el mismo, durante 2 segundos, según nos dice le problema.

Lo que nos importa (según los requerimientos del problema) es conocer el voltaje aplicado al Corazón, por lo que despreciamos la parte de carga del capacitor, que es la que se muestra en la Figura 4.

Con esto nos queda solo la parte de descarga, cuando el switch S está en Q, Figura 5:

De manera que el modelo matemático descrito en la ecuación (2) se reduce a:

\begin{eqnarray} i_T & = & C \frac{d E}{d t} + \frac{E}{R} \nonumber\\ 0 & = & C \frac{d E}{d t} + \frac{E}{R} \nonumber\\ C \frac{d E}{d t} & = & – \frac{E}{R} \nonumber\\ \end{eqnarray}
$$\large \frac{d E}{d t} = – \frac{1}{RC} E$$	(3)

Es decir, cuando se está descargando el Capacitor, la suma de las corrientes es igual a cero, puesto que la fuente de alimentación de voltaje está desconectada, y

$$\large \frac{d E}{d t} = 0$$

(4)

Es decir, cuando se está cargando el Capacitor, el voltaje es igual a cero en la parte de descarga, puesto que el circuito está abierto.

La Eq. (3) nos muestra la igualdad de las corrientes del capacitor y la resistencia con sentidos opuestos entre si. La Eq. (4) simplemente es un circuito abierto y en un circuito abierto sin una fuente de tensión (voltaje) la diferencia de potencial (o voltaje) es cero; la Figura 7 muestra el circuito abierto que no tiene variación de voltaje.

En la Figura 7, podemos ver una foto de la simulación del circuito RC para el marcapaso, realizado en el lenguaje JAVA, en donde se observa que el voltaje y la corriente de la resistencia -que simula la resistencia del corazón al paso de la corriente, tienden a cero conforme transcurre el tiempo y el capacitor se descarga.

;;;;;;;;;;;;;;;;_;

Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales. Para ver la simulación en video, dale click al botón siguiente:

Descarga el applet de JAVA para realizar ésta simulación, dale click al botón siguiente:

Paso 3. Resolviendo la ecuación del Modelo Matemático

........................

RESOLVIENDO LA ECUACIÓN DIFERENCIAL SEPARABLE

Nuestro objetivo (según lo requerido en el inciso a) de éste ejercicio), es obtener los $E (t)$ para el intervalo $0 \leqslant t < 24$,
suponiendo:

$t_{1} = 4 s$; es decir que la duración del intervalo $0 \leqslant t < t_{1}$ es de $4$ segundos

$t_{2} = 2 s$; es decir que la duración del intervalo $t_{1} \leqslant t < t_{1} + t_{2}$ es de $2$ segundos

$E_{0} = 12 V$; es decir que el voltaje de la fuente de alimentación es de 12 V

$E (0) = 0$; es decir, al tiempo $t = 0$ el voltaje es igual a $0$Volts

$E (4) = 12$; es decir, al tiempo $t = 4$ el voltaje es igual a $12$Volts

$E (6) = 0$; es decir, al tiempo $t = 6$ el voltaje es igual a $0$Volts

$E (10) = 12$; es decir, al tiempo $t = 10$ el voltaje es igual a $12$Volts

$E (12) = 0$; es decir, al tiempo $t = 12$ el voltaje es igual a $0$Volts

etc.

Pero primero, obtenemos la función $E (t)$, resolviendo la ED (3), como sigue (utilizamos los 3 pasos para solución de ED’s separables, utilizadas en éste sitio web):

Paso 1. Escribimos la forma estándar:
$$\frac{d E}{d t} = – \frac{1}{R C} E$$

Paso 2. Separamos las variables:

$$\frac{d E}{E} = – \frac{1}{RC} d t$$

Paso 3. Integramos:

\begin{eqnarray} \int \frac{d E}{E} & = & – \frac{1}{RC} \int d t + C \nonumber\\ Ln (E) & = & – \frac{1}{RC} t + C \nonumber\\ E & = & e^{- \frac{1}{RC} t + C} \nonumber\\ E & = & e^C e^{- \frac{1}{RC} t} \end{eqnarray}
$$\large E (t) = k e^{- \frac{1}{RC} t}$$	(5)

De ésta forma tenemos que, para el intervalo de tiempo de descara del capacitor la función que simula la variación el voltaje en el Corazón es:

$$E (t) = k e^{- \frac{1}{RC} t} $$

Ahora, para la carga del mismo -ED (4), tenemos:

\begin{eqnarray*} \frac{d E}{d t} & = & 0\\ d E & = & 0 \times d t\\ \int d E & = & \int 0 \times d t\\ E (t) & = & c \end{eqnarray*}

De este modo podemos analizar los dos intervalos de tiempo.

RESOLVIENDO EL PROBLEMA DEL VALOR INICIAL (PVI)

En éste punto, obtendremos el comportamiento para cada intervalo de carga y descarga para TODO el rango requerido; es decir, el intervalo total de: $0 \leqslant t < 24$ según los valores iniciales de cada caso, proporcionados en el problema.

Comportamiento en los intervalos de carga del capacitor.

• Para $E (0) = 0$, tenemos:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & c\\ 0 & = & c \end{eqnarray*}

Por tanto, para el intervalo $0 \leqslant t < 4$, el voltaje en el circuito de descarga es igual a:

$$ E (t) = 0$$

• Para $E (6) = 0$, tenemos:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & c\\ 0 & = & c \end{eqnarray*}

De modo que, para el intervalo $6 \leqslant t < 10$, el voltaje en el circuito de descarga es igual a:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & 0 \end{eqnarray*}

• Para $E (12) = 0$, tenemos:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & c\\ 0 & = & c \end{eqnarray*}

Es decir, para el intervalo $12 \leqslant t < 16$, el voltaje en el circuito de descarga es igual a:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & 0 \end{eqnarray*}

Comportamientos para la descarga del Capacitor (cuando se aplica el voltaje al corazón):

• Para $E (4) = 12$, tenemos:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & k e^{- \frac{1}{RC} t}\\ 12 & = & k e^{- \frac{1}{RC} (4)}\\ 12 & = & k e^{- \frac{4}{RC}}\\ 12 e^{\frac{4}{RC}} & = & k \end{eqnarray*}

Por tanto, para el intervalo $4 \leqslant t < 6$, el voltaje en el circuito de descarga es igual a:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & 12 e^{\frac{4}{RC}} e^{- \frac{1}{RC} t}\\ E (t) & = & 12 e^{\frac{4 – t}{RC}} \end{eqnarray*}

• Para $E (10) = 12$, tenemos:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & k e^{- \frac{1}{RC} t}\\ 12 & = & k e^{- \frac{1}{RC} (10)}\\ 12 & = & k e^{- \frac{10}{RC}}\\ 12 e^{\frac{10}{RC}} & = & k \end{eqnarray*}

De modo que, para el intervalo $10 \leqslant t < 12$, el voltaje en el circuito de descarga es igual a:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & 12 e^{\frac{10}{RC}} e^{- \frac{1}{RC} t}\\ E (t) & = & 12 e^{\frac{10 – t}{RC}} \end{eqnarray*}

• Para $E (16) = 12$, tenemos:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & k e^{- \frac{1}{RC} t}\\ 12 & = & k e^{- \frac{1}{RC} (16)}\\ 12 & = & k e^{- \frac{16}{RC}}\\ 12 e^{\frac{16}{RC}} & = & k \end{eqnarray*}

Es decir, para el intervalo $16 \leqslant t < 18$, el voltaje en el circuito de descarga es igual a:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & 12 e^{\frac{16}{RC}} e^{- \frac{1}{RC} t}\\ E (t) & = & 12 e^{\frac{16 – t}{RC}} \end{eqnarray*}

• Para $E (22) = 12$, tenemos:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & k e^{- \frac{1}{RC} t}\\ 12 & = & k e^{- \frac{1}{RC} (22)}\\ 12 & = & k e^{- \frac{22}{RC}}\\ 12 e^{\frac{22}{RC}} & = & k \end{eqnarray*}

Por tanto, para el intervalo $22 \leqslant t < 24$, el voltaje en el circuito de descarga es igual a:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & 12 e^{\frac{22}{RC}} e^{- \frac{1}{RC} t}\\ E (t) & = & 12 e^{\frac{22 – t}{RC}} \end{eqnarray*}

Por tanto, el comportamiento del voltaje $E(t)$ para los distintos intervalos de carga y descarga es:

\begin{eqnarray*} E (t) & = & \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{ccccc} 0 & , & 0 \leqslant t < 4 & , & 6 \leqslant t < 10\\ & & 12 \leqslant t < 16 & & 18 \leqslant t < 22\\ 12 e^{\frac{4 – t}{RC}} & , & 4 \leqslant t < 6 & & \\ 12 e^{\frac{10 – t}{RC}} & , & 10 \leqslant t < 12 & & \\ 12 e^{\frac{16 – t}{RC}} & , & 16 \leqslant t < 18 & & \\ 12 e^{\frac{22 – t}{RC}} & , & 22 \leqslant t < 24 & & \end{array} \right. \end{array} \end{eqnarray*}

inciso b) Graficando los resultados de la solución del PVI para el intervalo: $0 \leqslant t < 24$

################################

GRÁFICAS DEL COMPORTAMIENTO DEL VOLTAJE APLICADO AL CORAZÓN EN LOS DIFERENTES INTERVALOS DE TIEMPO

Utilizando MATHEMATICA, obtenemos la gráfica para los intervalos: $4 \leqslant t < 6, 10 \leqslant t < 12, 16 \leqslant t < 18, 22 \leqslant t < 24$, que se muestran el la Figura 8.

CÓDIGO DE MATHEMATICA PARA SIMULAR EL CIRCUITO RC QUE EMULA EL COMPORTAMIENTO DEL VOLTAJE APLICADO AL CORAZÓN CON UN MARCAPASOS DE CORAZÓN

Los códigos de MATHEMATICA utilizados para resolver este problema los puede ver a continuación:

----
Clear["Global`*"]
(* ENTREGA *)
 
(* PRIMERA ED*)
Print["Resolviendo la ED: e'[t] = 0"]
(* sol0=solucion Ed para el valor f(x) = 0 *)
sol0=DSolve[e'[t] == 0,e[t],t]//Simplify

Print["Resolviendo la ED: e'[t] = 0, con condiciones iniciales"]
(* sol0a=solución ED para el valor f(x) = 0, con valor inicial e[0]=0 *)
sol0a=DSolve[{e'[t]==0,e[0]==0},e[t],t]//Simplify

(* sol1a=solución ED para el valor f(x) = 0, con el valor inicial e[6]=0 *)
sol1a=DSolve[{e'[t]==0,e[6]==0},e[t],t]//Simplify

(* sol2a=solución ED para el valor f(x) = 0, con el valor inicial e[12]=0 *)
sol2a=DSolve[{e'[t]==0,e[12]==0},e[t],t]//Simplify

(* sol3a=solución ED para el valor f(x) = 0, con el valor inicial e[18]=0 *)
sol3a=DSolve[{e'[t]==0,e[18]==0},e[t],t]//Simplify

(* sol4a=solución ED para el valor f(x) = 0, con el valor inicial e[22]=0 *)
sol4a=DSolve[{e'[t]==0,e[22]==0},e[t],t]//Simplify


(* SEGUNDA ED *)
Print["Resolviendo la ED: e'[t] = -1/RC*e[t]"]
(* soln0=solucion Ed para el valor f(x) = -1/RC *)
soln0=DSolve[e'[t] == -1/(R*C)*e[t],e[t],t]//Simplify
Print["Resolviendo la ED: e'[t] = -1/RC, con condiciones iniciales"]
(* soln0a=solución ED para el valor f(x) = -1/RC, con el valor inicial e[4]=12 *)
soln0a=DSolve[{e'[t]==-1/(R*C)*e[t],e[4]==12},e[t],t]//Expand

(* soln1a=solución ED para el valor f(x) = -1/RC, con el valor inicial e[10]=12 *)
soln1a=DSolve[{e'[t]==-1/(R*C)*e[t],e[10]==12},e[t],t]//Expand

(* soln2a=solución ED para el valor f(x) = -1/RC, con el valor inicial e[16]=12 *)
soln2a=DSolve[{e'[t]==-1/(R*C)*e[t],e[16]==12},e[t],t]//Expand

(* soln3a=solución ED para el valor f(x) = -1/RC, con el valor inicial e[22]=12 *)
soln3a=DSolve[{e'[t]==-1/(R*C)*e[t],e[22]==12},e[t],t]//Expand


(* Sustituyendo los valores de R y C y Calculando C[1], en cada caso *)
Print["Sustituyendo los valores de R y C y resolviendo para "C[1]" en cada caso"]

et0 = Evaluate[soln0a[[1,1,2]]/.R->1/.C->1]
et1 = Evaluate[soln1a[[1,1,2]]/.R->1/.C->1]
et2 = Evaluate[soln2a[[1,1,2]]/.R->1/.C->1]
et3 = Evaluate[soln3a[[1,1,2]]/.R->1/.C->1]

(* GRAFICAS *)
(* Gráfica de la función solución de la ED lineal, definida por tramos *)Print["Gráficas"]
psnh=Plot[et0,{t,0,5.999},PlotRange->{-3,13},AspectRatio->0.5,PlotStyle->{Red,Thickness[0.01]}];
psnha=Plot[et1,{t,0,11.999},PlotRange->{-3,13},AspectRatio->0.5,PlotStyle->{Blue,Thickness[0.01]}];
psnhb=Plot[et2,{t,0,17.999},PlotRange->{-3,13},AspectRatio->0.5,PlotStyle->{Brown,Thickness[0.01]}];
psnhc=Plot[et3,{t,0,23.999},PlotRange->{-3,13},AspectRatio->0.5,PlotStyle->{Black, Thickness[0.01]}];
t1 = Table[Line[{{a,1.5},{a,13}}]/.a->i,{i,{4,10,16,22}}];
epilog={{Gray, Dashed,Tooltip[t1]}};

Show[psnhc,psnh,psnha,psnhb, AxesLabel->{t,"E(t)"},PlotLabel->Style["Descargas del Capacitor: E(t)=ke^(\[Alpha]-t); donde: \[Alpha]=4,10,16,22", FontSize->18],Background->LightYellow, Epilog->epilog]


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NOTA: El caracter especial $\alpha$ se encuentra escrito en el Algoritmo como: [Alpha], probablemente si se copia este algoritmo y se pega en MATHEMATICA habría que corregir esa situación escribiendo el caracter $\alpha$.

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