Si aprendes lo que te voy a enseñar en éste artículo sobre Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales, conocerás una manera ordenada de Cómo ANALIZAR y MODELAR matemáticamente un Sistema Físico de Primer Orden, aplicando Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Cualquier intento para diseñar un sistema debe comenzar con una predicción de su desempeño antes de que el sistema pueda ser diseñado en detalle o construido. Tal predicción es basada sobre una descripción matemática de las características dinámicas del sistema. Esta descripción matemática es llamada Modelo Matemático. Para muchos sistemas físicos, los modelos matemáticos útiles que los describen, están en términos de Ecuaciones Diferenciales.
Katsuhiko Ogata
Metodología para Modelado de un Sistema Físico de Primer Orden
Al terminar el siguiente artículo conocerás y podrás aplicar una metodología ordenada para poder plantear matemáticamente y resolver un modelo No lineal representado mediante ecuaciones diferenciales aplicadas.
En general, lo que se busca, al modelar un sistema físico mediante ecuaciones diferenciales, es utilizar las leyes del movimiento de la física según el sistema del que se esté hablando (mecánico, neumático, hidráulico, eléctrico, etc.), para determinar la variación del comportamiento del mismo respecto del tiempo y así obtener una representación matemática que nos permita realizar predicciones sobre dicho sistema.
De igual forma, se pueden utilizar datos experimentales.
Metodología para modelado matemático de un sistema físico
Según el libro System Dynamics del autor Katsuhico Ogata (4a. Ed), pag. 4, el procedimiento para el modelado matemático es el siguiente:
– Dibuja un diagrama esquemático del sistema y define las variables,
– Usando las leyes de la física, escribe las ecuaciones para cada componente, combínalas de acuerdo al diagrama del sistema y obtén un modelo matemático,
Para verificar la validez del modelo matemático, su desempeño predicho – obtenido mediante el resolver las ecuaciones del modelo, éste es comparado con resultados experimentales.
La validación de cualquier modelo matemático puede ser corroborada unicamente mediante la experimentación.
Ejercicio Resuelto Dennis G. Zill, Cap 3.2, problema 20
Un tanque decorativo exterior con forma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que el radio del tanque es $R = 10 {pies}$, que el agua se bombea a una rapidez de $\pi \frac{{pies}^3}{\min}$ y que al inicio el tanque está vacio. Ver Figura 1:
Figura 1. Diagrama Esquemático del Sistema
Conforme se llena el tanque, éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez de evaporación es proporcional al área A de la superficie sobre el agua y que la constante de proporcionalidad es $k = 0.01$.
a) La rapidez de cambio $\frac{{dV}}{{dt}}$ del volumen del agua al tiempo $t$ es una rapidez neta. Utilice esta rapidez neta para determinar una ecuacion diferencial para la altura $h$ del agua al tiempo $t$. El volumen de agua que se muestra en la figura es $V = \pi R h^2 -\frac{1}{3} \pi h^3$, donde $R = 10$. Exprese el area de la superficie del agua $A = \pi r^2$ en términos de $h$.
b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Trace la grafica de la solución.
c) Si no hubiera evaporación, ¿cuanto tardaría en llenarse el tanque?
d) Con evaporación, ¿cual es la proporcionalidad del agua en el tiempo que se determino en el inciso c)? ¿Alguna vez se llenara el tanque?
Solución
_|||||||||||||||||||||||||||||||||||_| a) Determinando una ED para la altura $ h$ al tiempo $ t$ (es decir $ \frac{{dh}}{{dt}}$) utilizando la rapidez de cambio $ \frac{{dV}}{{dt}}$ del volumen del agua.
Al culminar de leer el siguiente artículo, podrás resolver cualquier ecuación diferencial de primer orden con valores iniciales, mediante el método de euler para ecuaciones diferenciales y además podrás graficar tus resultados aquí mismo o copiando el código de MATHEMATICA al final del artículo.
Según la Dra Barbara Oakley de la UC San Diego, en su curso: Leaning how to learn, se puede acceder a la memoria a largo plazo mediante la técnica: Palacio de la memoria, donde se utiliza un lugar físico y totalmente familiar para memorizar objetos que no tienen conexión entre si, como lo puede ser la lista del supermercado.
Figura 1. Técnica: «El Palacio de la memoria»
De esta forma se tiene un esquema visual (croquis) donde se puede depositar los conceptos que se quieren recordar.
Así el ubicar los objetos de la lista en cada uno de los resintos de nuestro lugar físico familar y dar «un paseo», nos ayudaría a recordar dicha lista; también es importante que los objetos depositados en el recinto tengan alguna exageración, como lo puede ser en su tamaño o forma.
Esta es otra técnica que se podría emplear para memorizar los pasos que aquí proponemos para resolver los tipos de ecuaciones diferenciales.
METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER
$ f ( x_{n} ,y_{n} ) =$ segundo miembro de la ED de primer orden cuando tiene la forma: $ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$
PROCEDIMIENTO:
Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$, para extraer su segundo miembro.
Definimos $ x_{0}$, $ y_{0}$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema, ejemplo:
para el PVI: $ y’ =0.12 \sqrt{y} +0.4x^{2}$, $ y ( 2 ) =4$, $ y ( 2.5 )$, con $ h=0.5$, las variables buscadas son: $ x_{0} =2$, $ y_{0} =4$ y $ h=0.5$
iii. Plateamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales, como sigue:
$ \large y_{0+ 1} =y_{0} +h f ( x_{0} ,y_{0} )$
Y una vez obtenido este primer resultado repitímos el proceso iterativamente utilizando los nuevos datos:
$ \large y_{1+1} =y_{1} +h f ( x_{1} ,y_{1} )$
iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x=2.5$, como se ve el los datos del problema del inciso ii.
EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER
En los problemas siguientes (3 y 4) use el método de Euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado. Primero utilice $ h=0.1$ y después utilice $ h=0.05$. Determine una solución explicita para cada problema con valores iniciales y después construya tablas con los valores obtenidos.
Ejemplo 1. Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 3)
CÓMO SIMULAR CON MATHEMATICA UN CIRCUITO RC EN SERIE
Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales. Simulación de Circuitos Eléctricos tipo RC conectado en serie, con MATHEMATICA
El terminar este artículo sabrás simular cualquier circuito eléctrico tipo RC conectado en serie con función de entrada constante, con el software MATHEMATICA.
La simulación con software cada vez cobra un mayor auge, debido a que nos permite anticipar errores y mitigar costos de tiempo y dinero (esto último en el caso de simulación de sistema de ingeniería o física).
Según el profesor Dr. Peter Dannenmann, la simulación por computadora es necesaria para cualquier sistema antes de ser construido ya sea para conocer los posibles problemas de seguridad o simplemente para evitar costos de reconstrucción.
En nuestro caso, la simulación por computadora es importante, no solo para futuros sistemas complejos a simular, si no para poder comprobar nuestros propios resultados en el momento presente, conforme vamos aprendiendo Ecuaciones Diferenciales o cualquier materia de física o matemáticas.
Circuito RC en serie. Ecuaciones Diferenciales para Circuitos Eléctricos.
Aplicación de una Ecuación Diferencial a un circuito RC eléctrico conectado en serie
Leyendo éste artículo aprenderás a aplicar las ecuaciones diferenciales a un circuito eléctrico tipo RC conectado en serie (circuito RC en serie), y resolverás, utilizando un método paso a paso, el circuito RC, para encontrar sus variables de corriente $ i ( t)$ y carga $ q ( t)$.
Circuito RC en Serie. Metodología
Además de entender cómo realizar el análisis de un circuito eléctrico de este tipo. Utilizaremos de nuevo la misma metodología del artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos, que consta de los siguientes 3 pasos.
Modelaremos el Circuito Electrico con Ecuaciones Diferenciales
Solucionaremos la Ecuacion Diferencial resultante
Graficaremos la corriente encontrada.
Para el Modelado de éste Circuito Eléctrico, utilizaremos las leyes de Kirchoff vistas en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales solo que ahora el circuito a estudiar es del tipo RC
Para la Solución de la Ecuación Diferencial aplicaremos el método de los 4 pasos para la solución de las ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden que aquí hemos utilizado.
Utilizaremos MATHEMATICA para la graficación de resultados.
Finalmente, compararemos los modelos resultantes para la simulación de circuitos del tipo RC con los modelos obtenidos para los circuitos del tipo RLC para poder entender su relación común, ya que parten del mismo criterio. Ver artículo: Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales.
Para esto resolveremos un ejercicio.
Ejercicio resuelto: Capitulo 3.1 Libro Dennis G. Zill Ed 7ma, (Problema 31).
Circuito rc en serie
PROBLEMA
Se aplica una fuerza electromotriz de 100V a un circuito en serie RC en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia de $ 10^{-4}$ farads. Determine la carga $ q ( t)$ del capacitor, si $ q ( 0) = 0$. Encuentre la corriente $ i ( t)$. El circuito esta descrito en la Figura 1.
Figura 1. Circuito Eléctrico tipo RC conectado en serie
Circuito rc en serie. Modelado del Circuito Eléctrico tipo RC en serie con Ecuaciones Diferenciales
