Ecuaciones Diferenciales Aplicadas
EVAPORACION
Al terminar el siguiente artículo conocerás y podrás aplicar una metodología ordenada para poder plantear matemáticamente y resolver un modelo No lineal representado mediante ecuaciones diferenciales aplicadas.
En general, lo que se busca, al modelar un sistema físico mediante ecuaciones diferenciales, es utilizar las leyes del movimiento de la física según el sistema del que se esté hablando (mecánico, neumático, hidráulico, eléctrico, etc.), para determinar la variación del comportamiento del mismo respecto del tiempo y así obtener una representación matemática que nos permita realizar predicciones sobre dicho sistema.
De igual forma, se pueden utilizar datos experimentales.
Metodología para modelado matemático de un sistema físico
Según el libro System Dynamics del autor Katsuhico Ogata (4a. Ed), pag. 4, el procedimiento para el modelado matemático es el siguiente:
- – Dibuja un diagrama esquemático del sistema y define las variables,
- – Usando las leyes de la física, escribe las ecuaciones para cada componente, combínalas de acuerdo al diagrama del sistema y obtén un modelo matemático,
- Para verificar la validez del modelo matemático, su desempeño predicho – obtenido mediante el resolver las ecuaciones del modelo, éste es comparado con resultados experimentales.
La validación de cualquier modelo matemático puede ser corroborada unicamente mediante la experimentación.
Ecuaciones Diferenciales Aplicadas ejercicios resueltos
Modelo No lineal
EVAPORACION
Ejercicio Resuelto Dennis G. Zill, Cap 3.2, problema 20
Un tanque decorativo exterior con forma de tanque semiesférico se llenará con agua bombeada hacia el tanque por una entrada en su fondo. Suponga que el radio del tanque es $R = 10 {pies}$, que el agua se bombea a una rapidez de $\pi \frac{{pies}^3}{\min}$ y que al inicio el tanque está vacio. Ver Figura 1:
Figura 1. Diagrama Esquemático del Sistema
Conforme se llena el tanque, éste pierde agua por evaporación. Suponga que la rapidez de evaporación es proporcional al área A de la superficie sobre el agua y que la constante de proporcionalidad es $k = 0.01$.
a) La rapidez de cambio $\frac{{dV}}{{dt}}$ del volumen del agua al tiempo $t$ es una rapidez neta. Utilice esta rapidez neta para determinar una ecuacion diferencial para la altura $h$ del agua al tiempo $t$. El volumen de agua que se muestra en la figura es $V = \pi R h^2 -\frac{1}{3} \pi h^3$, donde $R = 10$. Exprese el area de la superficie del agua $A = \pi r^2$ en términos de $h$.
b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a). Trace la grafica de la solución.
c) Si no hubiera evaporación, ¿cuanto tardaría en llenarse el tanque?
d) Con evaporación, ¿cual es la proporcionalidad del agua en el tiempo que se determino en el inciso c)? ¿Alguna vez se llenara el tanque?
Solución
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a) Determinando una ED para la altura $ h$ al tiempo $ t$ (es decir $ \frac{{dh}}{{dt}}$) utilizando la rapidez de cambio $ \frac{{dV}}{{dt}}$ del volumen del agua.