Ecuacion Diferencial Ejercicios Resueltos Dennis Zill Capítulo 2.3 (12-13)

Ecuacion Diferencial Lineal Ejercicio 12 - 13 cap 2-3. En este artículo encontrarás los ejercicios resueltos 12 y 13 del capítulo 2.3 del libro de Dennis G. Zill, mediante el método de 4 pasos (o factor integrante) que proponemos ne este blog para resolver cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden.

Ecuación diferencial ejercicios resueltos del libro: Dennis G. Zill 7ª Ed.

El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.

Método de resolución de ED lineales

A continuación se describe el método de 4 pasos para resolver cuaquier ecuación diferencial lineal de primer orden. Éste método también es conocido como método del factor integrante, el cual se explica más detalladamente en el siguiente enlace: Método: Factor Integrante, click aquí

1. Forma Standard:  $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
2. Factor Integrante: $e^{\int P\left( x\right)dx}$

Forma de solución: $y= y_{c}+y_{p}$

3               ${{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$

4              ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}{\int }^{}{{e}^{{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$

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Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problemas 12 al 13)

a)      $\left( 1+x \right)\frac{dy}{dx}-xy=x+{{x}^{2}}$

Pasos:

1. $\frac{dy}{dx}-\frac{x}{\left( 1+x \right)}y=\frac{x+{{x}^{2}}}{1+x}=x$
2. ${{e}^{-{\int }^{}\frac{x}{1+x}dx}}={{e}^{-{\int }^{}(1-\frac{1}{(1+x)})dx}}={{e}^{-x}}{{e}^{\ln (1+x)}}$

$={{e}^{-x}}(1+x)$

3.   ${{y}_{c}}=C{{e}^{-(-){\int }^{}(1-\frac{1}{(1+x)})dx}}=C{{e}^{{\int }^{}(1-\frac{1}{(1+x)})dx}}=C{{e}^{x}}{{e}^{-\ln (1+x)}}$

$=C{{e}^{x}}{{e}^{\ln {{(1+x)}^{-1}}}}$

$=C{{e}^{x}}{{(1+x)}^{-1}}$

$=\frac{C{{e}^{x}}}{(1+x)}$

4.   ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{-x}}(1+x)}{\int }^{}{{e}^{-x}}(1+x)\left( x \right)dx$

$=\frac{{{e}^{x}}}{(1+x)}{\int }^{}(x+{{x}^{2}}){{e}^{-x}}dx$

$=\frac{{{e}^{x}}}{(1+x)}{\int }^{}x{{e}^{-x}}dx+{\int }^{}{{x}^{2}}{{e}^{-x}}dx$

Integrando por partes:

${\int }^{}{{x}^{2}}{{e}^{-x}}dx$

$u={{x}^{2}}$                        ;              $dv={{e}^{-x}}dx$

$du=2xdx$                               $v=-{{e}^{-x}}$

${\int }^{}{{x}^{2}}{{e}^{-x}}dx=-{{x}^{2}}{{e}^{-x}}+2{\int }^{}x{{e}^{-x}}dx$

Realizamos la misma operación para la integral obtenida:

${\int }^{}x{{e}^{-x}}dx$

$u=x$                          ;              $dv={{e}^{-x}}dx$

$du=dx$                     $v=-{{e}^{-x}}$

${\int }^{}x{{e}^{-x}}dx=-x{{e}^{-x}}+{\int }^{}{{e}^{-x}}dx$

$=-x{{e}^{-x}}-{{e}^{-x}}$

Y regresando al paso 4:

${{y}_{p}}=\frac{{{e}^{x}}}{(1+x)}[-x{{e}^{-x}}-{{e}^{-x}}-{{x}^{2}}{{e}^{-x}}+2(-x{{e}^{-x}}-{{e}^{-x}})]$

$=\frac{{{e}^{x}}}{(1+x)}[-{{x}^{2}}{{e}^{-x}}-3x{{e}^{-x}}-3{{e}^{-x}}]$

$=\frac{1}{(1+x)}[-{{x}^{2}}-3x-3]$

Por tanto:

$\huge y=\frac{c{{e}^{x}}}{x+1}-\frac{{{x}^{2}}+3x+3}{x+1}$

Notar que:  $\frac{x+{{x}^{2}}}{x+1}=\frac{x(1+x)}{1+x}=x$

Esta división $\frac{x}{1+x}$, da como resultado:

$\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}$,

Utilizando la división de polinomios. (Aunque es mejor la división sintética)

Nota: Puedo incluir una publicación sobre división sintética de ser necesario.

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b)      ${{x}^{2}}{{y}^{'}}+x(x+2)y={{e}^{x}}$

Pasos:

1. $\frac{dy}{dx}+\frac{(x+2)}{x}y=\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}}$
2. ${{e}^{{\int }^{}\frac{x+2}{x}dx}}={{e}^{x+\ln {{x}^{2}}}}={{e}^{x}}{{e}^{\ln {{x}^{2}}}}={{x}^{2}}{{e}^{x}}$

Desglosando la integral:

${\int }^{}\frac{x+2}{x}dx={\int }^{}dx+2{\int }^{}\frac{dx}{x}$

$=x+2\ln x$

$=x+\ln {{x}^{2}}$

Regresando a los pasos:

3.   ${{y}_{c}}=C{{e}^{-{\int }^{}\frac{x+2}{x}dx}}$

$=C{{e}^{-(x+\ln {{x}^{2)}}}}$

$=C{{e}^{-x}}{{e}^{-\ln {{x}^{2}}}}$

$=C{{e}^{-x}}{{e}^{\ln {{x}^{-2}}}}$

$=C{{x}^{-2}}{{e}^{-x}}$

$=C\frac{{{e}^{-x}}}{{{x}^{2}}}$

4.   ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}}{\int }^{}{{x}^{2}}{{e}^{x}}(\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}})dx$

$=\frac{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}}{\int }^{}{{e}^{2x}}dx$

$=\frac{1}{2{{x}^{2}}{{e}^{x}}}{{e}^{2x}}$

$=\frac{{{e}^{x}}}{2{{x}^{2}}}$

Por tanto:

$\huge y=C\frac{{{e}^{-x}}}{{{x}^{2}}}+\frac{{{e}^{x}}}{2{{x}^{2}}}$

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Acá un video explicando éste último problema desde un ángulo ligeramente diferente.

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Acá les dejo el pizarrón del video, dale doble click y ampliala para ver con detalle