Ecuacion diferencial lineal de primer orden. Prob 25 Cap 2.3. G. Zill.
Por Manuel Alejandro Vivas Riverol
12 de octubre de 2012 · Actualizado: 20 de octubre de 2026
Ecuacion diferencial lineal de primer orden
Intervalo de definición de la solución del problema del valor inicial. Problema 25 Capítulo 2.3. Dennis G. Zill.
Utilizaremos el método de los 4 pasos que puedes encontrar en este link: podrás resolver cualquier ED lineal de 1er orden.
CÓMO RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES CON EL METODO 4 PASOS - FACTOR INTEGRANTE
Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 25). Tomado de: Dennis G. Zill Ed 7ma.
$$\large xy'+y={{e}^{x}}$$
Pasos:
I. El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:
Dividimos, entonces, entre el coeficiente de $\frac{dy}{dx}$, que es “$x$”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”. Simplificamos.
$$\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$$
$$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{{{e}^{x}}}{x}$$
II. En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( x \right)\mathbf{dx}}}$,
El valor de $P(x)$ en ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, $P(x)=\frac{1}{x}$. El manejo de las funciones trascendentes e integrales se muestra al final del ejercicio.
$${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}={{e}^{\ln x}}$$
$$=\text{x}$$
III. Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:
El sistema homogéneo asociado es la ecuación diferencial:$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=0$. Sustituimos en ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, donde: $P(x)=\frac{1}{x}$ encontrado en el primer paso, y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.
$${{\text{y}}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx}}$$
$$=C{{e}^{-\ln x}}$$
$$=C{{e}^{\ln {{x}^{-1}}}}$$
$$=C{{\text{x}}^{-1}}$$
Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:
$${{y}_{c}}=\frac{C}{x}$$
Mostramos, primero la famila de soluciones del sistema homogéneo asociado ${{y}_{c}}=\frac{C}{x}$ . Además, mostramos una solución particular ${{y}_{c1}}=\frac{2}{x}$ donde $C=2$. Notar que la función ${{y}_{c}}=\frac{C}{x}$ , tiene como dominio más largo el intervalo: ${{D}_{{{y}_{c}}}}:x\in \mathcal{R}-(0,0)$. Es decir, el dominio de la función abarca todos los reales a excepción del CERO. Sin embargo, decimos que el intervalos más largo de solución de la función es $0$Intervalo de definición de una solución I), necesita cumplir al menos 2 criterios para ser considerado válido: 1. Que la función solución que se encuentra esté definida en él (no necesariamente continua, una función definida por partes también puede calificar), y 2. Que esta función sea, también, derivable dentro del intervalo..
IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:
El sistema no homogéneo: $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{{{e}^{x}}}{x}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=x$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}}{x}$ obtenido en el punto i. Observar como la solución particular fue idéntica a $f\left( x \right)$. Para ver de dónde salen estas siga el enlace siguiente: solución del sistema no homogeneo.
$${{y}_{p}}=\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}x(\frac{{{e}^{x}}}{x})dx$$
$$=\frac{1}{x}\mathop{\int }^{}{{e}^{x}}dx$$
$$=\frac{1}{x}[{{e}^{x}}]$$
$$=\frac{{{e}^{x}}}{\text{x}}$$
Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:
$$y=\frac{C}{x}+\frac{{{e}^{x}}}{x}$$
La solución del sistema no homogéneo, es decir la solución de la ED lineal completa, para el problema del valor inicial (PVI) es:$ ~y\left( x \right)=\frac{2-\text{e}+{{\text{e}}^{x}}}{x}$ , Donde: $ C=2-e$. El dominio de la solución está en el intervalo: $D_{y_{p}}:0< x< \infty$ o dicho de forma más común, el dominio de la solución del problema del PVI es el intervalo: $\left ( 0,\infty \right )$
Por tanto, la solución general de la ecuacion diferencial lineal de primer orden
$xy'+y={{e}^{x}}$, es:
$$y=\frac{C+e^x}{x}$$
Con intervalo de solución:
$$I:\left \{ x\epsilon \mathbb{R}\mid 0< x< \infty \right \}$$
Recordar:
Logaritmos y exponenciales
$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$
Debido a que:
$y={{e}^{x}}$implica $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:
$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$ y
${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$
Más ejemplos de Ecuaciones lineales de primero orden
Ejemplo 6-10,
Para trabajar el procedimiento con ejemplos desarrollados, consulta el Libro de ecuaciones diferenciales con SageMath y Python.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se escribe en forma estándar el problema 25 de Zill?
Divide la ecuación entre la variable que multiplica a la derivada. Así el coeficiente de la incógnita queda como el recíproco de esa variable y el lado derecho como una exponencial dividida entre ella.
¿Por qué hay que excluir cero al analizar este ejercicio?
La forma estándar contiene divisiones entre la variable independiente. El artículo estudia esa restricción al distinguir el dominio de las expresiones y los intervalos de solución.
¿Qué solución tiene la ecuación homogénea asociada?
El artículo obtiene una constante dividida entre la variable independiente. Esa familia se grafica para estudiar su comportamiento y las restricciones de su dominio.
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