Ecuaciones Diferenciales Exactas

El siguiente método te ayudara a resolver cualquier tipo de ecuaciones diferenciales exactas de primer orden en 4 pasos sencillos.

Estudios científicos recientes realizados por el Dr. Terrence Sejnowski investigador el Instituto Howard Huges, apuntan a que utilizar el pensamiento difuso a la vez que el enfocado durante en proceso de aprendizaje es una técnica efectiva para aprender cualquier cosa, ya que se necesita acceder recursos de la mente que se ignoran al momento de estar enfocado.

Una de las forma de utilizar el pensamiento enfocado y el difuso como lo dice el Dr. Terrence, es mediante el aprender haciendo y para eso te propongo que emplees los pasos que te describo sin tratar de entenderlos del todo al principio y confiando que, cuando entres en el modo de pensamiento difuso (al realizar otra actividad que te despeje de tu concentración) el entendimiento conceptual de los temas se dará.

El método para resolver en 4 pasos ED exactas lo describo a continuación:

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Primero definimos si la ecuacion es exacta o no, mediante los siguiente dos
criterios:

• FORMA ESTÁNDAR DE LA ED EXACTA

$M ( x,y ){dx} +N ( x,y ){dy} =0$

• CRITERIO PARA DEFINIR EXACTITUD DE LA ED

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} =\frac{{\delta}N}{{\delta}x}$

4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

1. $F ( x,y ) = \int M ( x,y ) d x+g ( y )$

2. $\frac{{\delta}}{{\delta}y} \int M ( x,y ) d x+g’ (y ) =N ( x,y )$

3. $g ( y ) = \int N ( x,y ) d y- \int\frac{{\delta}}{{\delta}y} \int M ( x,y ) d x d y$

4. Sustituimos $g ( y )$ del paso (3) en (1) e igualamos a $c $ (c = constante)

$\int M ( x,y ){dx} +g ( y ) =c$

Si encontramos que la funcion $N ( x,y )$, es más facilmente integrable podemos utilizar los mismos cuatro pasos en funcion de $N$, ver el Ejemplo 5 al final y/o revisar los 4 pasos del método alternativo, click aqui.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

En los siguientes problemas determine si la ED es exacta, si lo es resuelvala.

Ejemplo 1. Ejercicios 2.4 Libro Dennis G. Zill (problema 3)

$\large ( 5x+4y ) d x+ ( 4x-8y^{3} ) d y=0$

-Determinamos si es exacta la ED

$M ( x,y ) d x=5x+4y$;        $N ( x,y ) =4x-8y^{3}$

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} =4$;        $\frac{{\delta}N}{{\delta}x} =4$

-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} =\frac{{\delta}N}{{\delta}x}$

Resolvemos la ecuación de acuerdo a los pasos listados anteriormente

Paso 1.

\begin{eqnarray*} \int M ( x,y ){dx} +g ( y ) & = & \int ( 5x+4y ) d x+g ( y )\\ & = & 5 \int x d x+4y \int d x+g ( y )\\ & = & \frac{5}{2} x^{2} +4x y+g ( y ) \end{eqnarray*}

Paso 2.

\begin{eqnarray*} \frac{{\delta}}{{\delta}y} \int M ( x,y ) d x+g’ ( y ) & = & N ( x,y )\\ \Rightarrow \frac{{\delta}}{{\delta}y} \left( \frac{5}{2} x^{2} +4x y \right) +g’ ( y ) & = & 4x-8y^{3}\\ \Rightarrow 0+4x+g’ ( y ) & = & 4x-8y^{3}\\ \Rightarrow 0+g’ ( y ) & = & -8y^{3}\\ g’ ( y ) & = & -8y^{3} \end{eqnarray*}

Paso 3.

\begin{eqnarray*} g ( y ) & = & \int N ( x,y ) d y- \int \frac{{\delta}}{{\delta}y} \int M ( x,y ) d x d y\\ g ( y ) & = & -8 \int y^{3} d y\\ & = & – \frac{8}{4} y^{4}\\ & = & -2y^{4} \end{eqnarray*}

Paso 4.

\begin{eqnarray*} \int M ( x,y ) d x+g ( y ) & = & c\\ \frac{5}{2} x^{2} +4x y-2y^{4} & = & c \end{eqnarray*}

La solución es:
$\large \frac{5}{2} x^{2} +4x y-2y^{4} =c$

Ejemplo 2. Ejercicios 2.4 Libro Dennis G. Zill (problema 5)

$\large ( 2x y^{2} -3 ) d x+ ( 2x^{2} y+4 ) d y=0$

-Determinamos si es exacta la ED

$M ( x,y ) =2x y^{2} -3$;        $N ( x,y ) =2x^{2}y+4$

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} =4x y$;        $\frac{{\delta}N}{{\delta}x}=4x y$

-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} =\frac{{\delta}N}{{\delta}x}$

Resolvemos la ecuación de acuerdo a los pasos listados anteriormente

Paso 1.

\begin{eqnarray*} \int M ( x,y ) d x+g ( y ) & = & 2y^{2} \int x d x-3 \int d x+g ( y )\\ & = & \tfrac{2}{2} y^{2} x^{2} -3x+g ( y )\\ & = & y^{2} x^{2} -3x+g ( y ) \end{eqnarray*}

Paso 2.

\begin{eqnarray*} \frac{{\delta}}{{\delta}y} \int M ( x,y ) d x+g’ ( y ) & = & N ( x,y )\\ \Rightarrow \frac{{\delta}}{{\delta}y} ( y^{2} x^{2} -3x ) +g’ ( y ) & = & 2x^{2} y+4\\ \Rightarrow 2x^{2} y+g’ ( y ) & = & 2x^{2} y+4\\ \Rightarrow g’ ( y ) & = & 4 \end{eqnarray*}

Paso 3.

\begin{eqnarray*} g ( y ) & = & \int N ( x,y ) d y- \int \frac{{\delta}}{{\delta}y} \int M ( x,y ) d x d y\\ g ( y ) & = & 4 \int d y\\ g ( y ) & = & 4y \end{eqnarray*}

Paso 4.

\begin{eqnarray*} \int M ( x,y ) d x+g ( y ) & = & c\\ \Rightarrow y^{2} x^{2} -3x+4y & = & c \end{eqnarray*}

La solución es:
$\large y^{2} x^{2} -3x+4y=c$

Ejemplo 3. Ejercicios 2.4 Libro Dennis G. Zill (problema 6)

$\large \left( 2y- \frac{1}{x} + \cos 3 x \right) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2}}-4x^{3} +3y \sin 3x = 0$

-Determinamos si es exacta la ED, pero en este caso antes, escribimos la FORMA ESTANDAR, de una ecuación exacta.

$\left( 2y- \frac{1}{x} + \cos 3x \right) d y+ \left( \frac{y}{x^{2}} -4x^{3} +3y\sin 3x\right) dx=0$

– Determinamos exactitud de la ED

$M ( x,y ) = \frac{y}{x^{2}} -4x^{3} +3y \sin 3x$;        $N ( x,y ) =2y- \frac{1}{x} + \cos 3x$

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} =\frac{1}{x^{2}}+3 \sin{3x}$;        $\frac{{\delta}N}{{\delta}x} = -\frac{1}{x^{2}} – 3 \sin 3x$

-De donde concluimos que la ecuación NO es exacta ya que:

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} \neq\frac{{\delta}N}{{\delta}x}$

Ejemplo 4. Ejercicios 2.4 Libro Dennis G. Zill (problema 7)

$\large ( x^{2} -y^{2} ) d x+ ( x^{2} -2x y ) d y=0$

-Determinamos si es exacta la ED

$M ( x,y ) =x^{2} -y^{2}$;        $N ( x,y ) =x^{2} -2x y$

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} =-2y$;        $\frac{{\delta}N}{{\delta}x} =2x-2y$

-De donde concluimos que la ecuación NO es exacta ya que:

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} \neq\frac{{\delta}N}{{\delta}x}$

Ejemplo 5. Ejercicios 2.4 Libro Dennis G. Zill (problema 8)

$\large \left( 1+ \ln x+ \frac{y}{x} \right) d x= ( 1- \ln x ) d y$

-Determinamos si es exacta la ED, pero en este caso antes, escribimos la FORMA ESTANDAR, de una ecuación exacta.

$\left( 1+ \ln x+ \frac{y}{x} \right) d x- ( 1- \ln x ) d y=0$

$\left( 1+ \ln x+ \frac{y}{x} \right) d x+ ( -1+ \ln x ) d y=0$

-Determinamos si es exacta la ED

$M ( x,y ) =1+ \ln x+ \frac{y}{x}$;        $N ( x,y ) =-1+\ln x$

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} = \frac{1}{x}$;        $\frac{{\delta}N}{{\delta}x} = \frac{1}{x}$

-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:

$\frac{{\delta}M}{{\delta}y} = \frac{{\delta}N}{{\delta}x}$

Resolvemos la ecuación de acuerdo a los pasos listados anteriormente

Paso 1.

\begin{eqnarray*} \int N ( x,y ){dy} +h ( x ) & = & \int ( -1+ \ln x ) d y+h ( x )\\ & = & – \int d y+ \ln x \int d y+h ( x )\\ & = & -y+y \ln x+h ( x ) \end{eqnarray*}

Paso 2.

\begin{eqnarray*} \frac{{\delta}}{{\delta}x} \int N ( x,y ) d y+h’ ( x ) & = & M ( x,y )\\ \Rightarrow \frac{{\delta}}{{\delta}x} ( -y+y \ln x ) +h’ ( x ) & = & 1+ \ln x+ \frac{y}{x}\\ \Rightarrow y \left( \frac{1}{x} \right) +h’ ( x ) & = & 1+ \ln x + \frac{y}{x}\\ \Rightarrow h’ ( x ) & = & 1+ \ln x+ \frac{y}{x} – \frac{y}{x}\\ \Rightarrow h’ ( x ) & = & 1+ \ln x \end{eqnarray*}

Paso 3.

\begin{eqnarray*} h ( x ) & = & \int M ( x,y ) d x- \int \frac{{\delta}}{{\delta}x} \int N ( x,y ) d y d x\\ \Rightarrow h ( x ) & = & \int ( 1+ \ln x d x ) d x\\ & = & \int d x+ \int \ln x d x \end{eqnarray*}

Integramos por partes la integral $\int \ln x d x$:

$d v=d x$;        $u= \ln x$

$v=x$;        $d u= \frac{1}{x}$

• Por tanto:

\begin{eqnarray*} \int \ln x d x & = & x \ln x – \int \frac{x}{x} d x\\ & = & x \ln x – \int d x\\ & = & x \ln x – x \end{eqnarray*}

De modo que, regresando a nuestro ejercicio:

\begin{eqnarray*} h ( x ) & = & x+x \ln x – x\\ & = & x \ln x \end{eqnarray*}

Paso 4.

\begin{eqnarray*} \int N ( x,y ) d y+h ( x ) & = & c\\ \Rightarrow -y+y \ln x+x \ln x & = & c \end{eqnarray*}

La solución es:
$\large -y+y \ln x+x \ln x=c$
$\large y ( x ) = \frac{-x \ln x +c}{\ln x – 1}$

La representación gráfica de las curvas solución de éste último ejemplo, se muestra en la Figura 1.

Ésta gráfica se puede ver en tonos de azul más oscuro las partes bajas del relieve y en tonos más claros las partes mas elevadas, ver más abajo una representación en 3D.

Una representación en 2D, de la familia de curvas solución para el Ejemplo 5, se muestra a continuación.

Por último, te dejo el código de MATHEMATICA, para obtener las gráficas de arriba:

Clear[''Global`*'']
P[x_, y_] := (1 + Log[x] + y/x)
Q[x_, y_] := (-1 + Log[x])

(*Criterio de EXACTITUD*)
xx = Exct == Simplify[D[P[x, y], y] - D[Q[x, y], x]] (* Es exacta? *)

(*Paso 1*)
f3 = fx == Integrate[Q[x, y], y] + h[x]

(*Paso 2*)
df3 = D[f3[[2]], x] == P[x, y]

(*Paso 3*)
s3 = Solve[df3, h'[x]] // Expand

(*Paso 4*)
sf3 = hx == Integrate[s3[[1, 1, 2]], x]
sg3 = f == Evaluate [f3[[2]] /. h[x] -> sf3[[2]]] // Expand
Solve[sg3[[2]] == c, c] // Expand

(* GRÁFICA *)
eqn = y'[x] == -P[x, y[x]]/ Q[x, y[x]]; 
sol = DSolve[eqn, y[x], x] // Simplify
sols = Table[Evaluate[sol[[1, 1, 2]] /. C[1] -> i], {i, -8, 8, 4}];
Plot[Tooltip[sols], {x, .1, 5}, PlotRange -> {-100, 100}, 
 PlotStyle -> Thick]
ContourPlot[-y + x Log[x] + y Log[x], {x, .1, 5}, {y, -100, 100}]

Ecuaciones Diferenciales Exactas. Video

Aquí te dejo éste video para dejar claro, de una vez por todas, ¿Qué es una ecuación diferencial exacta? y ¿Cómo se construye el método de solución? entre otras cosas. Estoy seguro que te servirá mucho 😉

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