Funciones pares e impares y la Serie de Fourier

La definición de Serie de Fourier

La Serie de Fourier de una función $f$ definida en el intervalo $(-p,p)$, está dada por:

$$f (x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n = 1} \left( a_n \cos \frac{n\pi}{p} x + b_n \sin \frac{n \pi}{p} x \right)$$

donde:

$$a_0 = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) d x$$

$$a_n = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) \cos \frac{n \pi}{p} x d x$$

$$b_n = \frac{1}{p} \int_{- p}^p f (x) \sin \frac{n \pi}{p} x d x$$

Donde, $a_0$, $a_n$, $b_n$ son los coeficientes de la Serie de Fourier, $p$ es la mitad del periodo base de la funcion $f$ y $n = 1, 2, 3, \ldots .$ es el número de término de la Serie de Fourier (más propiamente se le puede entender como el número de Armónico de la Serie de Fourier).

Estas fórmulas permiten obtener los coeficientes ($a_0$, $a_n$, $b_n$) de las Serie de Fourier de la función $f$ en cuestión; es decir, nos permiten obtener los coeficientes: $a_0$, $a_n$ y $b_n$ de la función $f(x)$ a la cual se le quiere escribir como una Serie de Fourier.

Ahora, el cálculo de éstos coeficientes puede ser simplificado de manera dramática, sobre todo en la cantidad de cálculos realizados, para los casos en donde las funciones son pares o impares.

Función par o impar

El concepto es muy sencillo. $f (x)$ es una función par en $[- p, p]$ si: $$f (- x) = f (x)$$ para $- p \leqslant x \leqslant p$.

Ejemplos:

  1. $f (x) = x^2$ esto implica que: $f (- x) = (- x)^2 = x^2 = f (x)$
  2. $f (x) = \cos \left( \frac{5 \pi x}{3} \right)$ esto implica que : $f (- x) = \cos \left( \frac{5 \pi (- x)}{3} \right) = \cos \left( \frac{5 \pi x}{3} \right)$ ya que: $\cos (- x) = \cos (x)$
  3. $f (x) = e^{- | x |}$ esto implica que: $f (- x) = e^{- | (- x) |} = e^{- | x |}$
  4. $f (x) = \left\{ \begin{array}{c} x + 5, – 2 < x < 0\\ – x + 5, 0 \leqslant x < 2 \end{array} \right.$ es par, ya que $f (- x) = f (x)$

De igual manera $f (x)$ es una función impar en $[- p, p]$ si: $$f (- x) = – f (x)$$ para $- p \leqslant x \leqslant p$.

Ejemplos:

  1. $f (x) = x^3$ es impar, ya que $f (- x) = (- x)^3 = – x^3 = – f (x)$
  2. $f (x) = \sin \left( \frac{n \pi x}{p} \right)$ es impar, ya que: $f (- x) = \sin \left( \frac{n \pi (- x)}{p} \right) = – \sin \left( \frac{n \pi x}{p} \right) = – f (x)$ [notar que: \sin$(- x) = – \sin (x)$], donde: $n$ y $p$ son constantes.
  3. $f (x) = x \cos (x)$ es impar, ya que $f (- x) = (- x) \cos ((- x)) = – x \cos (x) = – f (x)$
  4. $f (x) = \left\{ \begin{array}{l} – 1, – \pi < x < 0\\ 1, 0 < x < \pi \end{array} \right.$ es impar, ya que $f (- x) = – f (x)$

Es importante también saber que la mayoría de las funciones no son ni par ni impar.

Ejemplo:

1. $f (x) = e^x$, ya que $f (- x) = e^{- x}$ donde $e^{- x} \neq e^x \neq – e^x$

Una forma de poder «ver» qué tipo de función es la que tenemos, es graficándola, ya que el efecto directo de las condiciones mencionadas son visibles.

Gráficas de funciones par e impar

Ahora presentamos ejemplos de gráficas de las fuciones par e impar y un ejemplo de una que no cae en ninguna de esas definiciones.

Cuando una función es par, su gráfica en el intervalo $- p \leqslant x \leqslant 0$ es una reflexión sobre el eje $y$ de la gráfica del intervalo $0 \leqslant x \leqslant p$, ejemplo:

LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN PARTES: funciones Par
Figura 1. Funciones par, simetricas sobre el eje $y$

De manera similar, cuando una función es impar, su gráfica en el intervalo $- p \leqslant x \leqslant 0$ es una reflexión respecto del origen de la gráfica del intervalo $0 \leqslant x \leqslant p$, ejemplo:

LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN PARTES: Funciones Impar
Figura 2. Funciones impares, simetricas respecto del origen.

Por último, podemos una función que no es par ni impar, es la fución: $e^x$, veamos sus gráficas para $f (x)$, $f (- x)$ y $- f(x)$.

LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN PARTES: Funcion Exponencial
Figura 3. Función $e^{x}$. Esta función no es ni par ni impar.

Ahora, para hacer las simplificaciones a las formulas de la Serie de Fourier enlistadas arriba, es necesario conocer las propiedades de las fuciones pares e impares, las cuales se enlistan a continuación.

Propiedades de las fuciones par e impar

Sea $f$ y $g$ funciones par y $h$ y $u$ funciones impar, entonces:

  1. El producto de $f \ast g$ da como resultado una función par
  2. El producto de $h \ast u$ da como resultado una función par
  3. Los productos de funciones par e impar (ejemplo,$f \ast h$ ó $f \ast u$ ó $g \ast h$ ó $g \ast u$) da como resultado una función impar
  4. $f \pm g$ es par
  5. $h \pm u$ es impar
  6. $\int^a_{- a} f (x) d x = 2 \int^a_0 f (x) d x$, ($f$ es función par)
  7. $\int^a_{- a} h (x) d x = 0$, ($h$ es una función impar)

Considerando lo anterior, será clara la metodología que utilizaremos para obtener la Serie de Fourier de una función f, la cual describimos a continuación.

Metodologías para calcular la Serie de Fourier de funciones pares o impares

→ Definimos si la función es par o impar o ninguna de éstas. Podemos clarificar su tipo graficándola.
→ Si la función f es par en el intervalo (-p,p), su Serie de Fourier, es la serie de cosenos:

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n = 1} a_n \cos \frac{n\pi}{p} x$$

donde:

$$a_0 = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) d x$$

$$a_n = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) \cos \frac{n \pi}{p} x d x$$

→ Si la función f es impar en el intervalo (-p,p), su Serie de Fourier es la serie de senos:

$$f (x) = \sum^{\infty}_{n = 1} b_n \sin \frac{n \pi}{p} x$$

donde:

$$b_n = \frac{2}{p} \int^p_0 f (x) \sin \frac{n \pi}{p} x d x$$


Por último, si quieres saber cómo calcular la Serie de Fourier utilizando éstas propiedades de las par o impar puedes ver nuestro artículo: CÓMO CALCULAR LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN PARTES, click aquí