Ecuación diferencial lineal definida por partes

En este ejemplo resolveremos, en los mismos 4 pasos que ya hemos utilizado con anterioridad, una ecuación diferencial dividida en partes  (a trozos), con valores iniciales (que además es lineal), y la analizaremos GRÁFICAMENTE.

Con este ejercicio, podremos ver en qué consiste el concepto de Ecuación Diferencial por partes, qué significa gráficamente sus “partes” o más propiamente dicho LA FUNCIÓN DE ENTRADA* y cómo manipular un Problema con Valores Iniciales (PVI), con una Ecuación Diferencial (ED) (ó sistema lineal), de estas características.

Nuestro ejemplo es:

El valor de $P(x)$ en $ {{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$ , es: $P\left( x \right)=2$.

${{y}_{c}}=C{{e}^{-2\mathop{\int }^{}dx}}$

$ =C{{e}^{-2x}}$

$ =\frac{C}{{{e}^{2x}}}$

*Los nombres SISTEMA LINEAL, FUNCIÓN DE ENTRADA y FUNCIÓN DE SALIDA o RESPUESTA DEL SISTEMA, acá utilizados son en realidad utilizados para SISTEMAS DINÁMICOS donde los nombres adquieren más sentido al hablar de “ENTRADAS y/o SALIDAS”. Acá solo hemos querido integrar la terminología por el hecho de que los Sistemas Dinámicos, son los modelos donde más recurrentemente se utilizan las ecuaciones diferenciales y este tipo de funciones definidas por partes.

Propiamente dicho, un SISTEMA LINEAL consta de las VARIABLES DE ESTADO (variables que en los sistema dinámicos dependen del tiempo “t”), $ {{y}^{n}}(t),{{y}^{n-1}}(t),\ldots ,{{y}^{2}}(t),{{y}^{1}}(t)$. Para que un sistema sea Lineal, tiene que cumplir con el Teorema de Superposición.

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}(1)dx$

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}dx$

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{2{{e}^{2x}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{2x}}(2)dx$

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{2{{e}^{2x}}}[{{e}^{2x}}]$

$ {{y}_{p}}=\frac{1}{2}$

Por tanto, la solución general del sistema LINEAL no homogéneo: $ \frac{dy}{dx}+2y=1$, donde su función de entrada es igual a: $ \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=1$, es:

$ y\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}$

Ahora, encontraremos la solución particular o “RESPUESTA DEL SISTEMA”, para los valores iniciales: $ y\left( 0 \right)=0$.

Aplicamos acá los valores iniciales porque la Ecuación Diferencial con $ f\left( x \right)=1$, está definida para el intervalo $ 0\le x\le 3$, que incluye a $ x=0$.

Por tanto:

Si la solución general del Sistema Lineal no Homogéneo es:

$ y\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}$

Entonces, sustituyendo los valores iniciales
$y\left( 0 \right)=0$

Tenemos:

$ 0=\frac{C}{{{e}^{2(0)}}}+\frac{1}{2}$

$ \Rightarrow 0=\frac{C}{1}+\frac{1}{2}$

$ \Rightarrow 0=C+\frac{1}{2}$

$ \Rightarrow C=-\frac{1}{2}$

Por lo que UNA solución particular del sistema Lineal no Homogéneo, es:

$ y\left( x \right)=-\frac{1}{2{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}$

Ahora, resolvemos cuando $ f\left( x \right)=0$

Ahora, Resolvemos el sistema lineal para el segundo valor de su función de entrada, es decir, cuando $ f\left( x \right)=0$ , por lo que tenemos que resolver:

 $ \frac{dy}{dx}+2y=0$,

Podemos notar que en este caso, la ED a evaluar (el sistema lineal), es el sistema homogéneo asociado de la ED anterior (paso III), por lo que sabemos que su solución es:

$ y(x)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}$

Ahora, para conocer la solución particular de la Función de Salida anterior, debemos tener precaución, ya que el sistema Lineal cuya función de entrada es: $ f\left( x \right)=0$, no está definida para cuando: $ x=0$, por lo que para evaluar esta función para encontrar una solución particular, haremos uso de la DEFINICIÓN de CONTINUIDAD, como sigue:

Método para encontrar la solución particular en un Sistema Lineal (ED lineal) de 1er Orden definida en partes, donde el dominio de una de sus funciones de entrada no coincide con el valor dado, como condición inicial, a su variable independiente.

Tal es el caso en esta ocasión pues podemos ver que cuando el sistema lineal tiene $ \text{f}\left( \text{x} \right)=0$, el dominio de su variable independiente es: $ \text{x}>3$,

$\Large f(x)=\left\{\begin{matrix}1,0\leq x\leq 3\\ 0,x> 3\end{matrix}\right.$

Por lo que no podemos considerar sustituir $ x=0$, en la Función de Salida obtenida:

$ y\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}$,       $ x>3$

Para esta situación, recurriremos al concepto de CONTINUIDAD. Evocando esta definición, recordemos que uno de los teoremas dicen que si el límite de una función cuando su variable independiente tiende a un número específico, existe, si el límite de la función, cuando tiende a ese número por la derecha es igual al límite cuando la función tiende a ese número por la izquierda. Es decir:

$ \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)\to \exists \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,y(x)$,         Donde:  $ \exists =$ Existe

En nuestro caso, utilizamos este teorema para encontrar el valor de “C”, para hallar la Respuesta del Sistema cuando la función de entrada es: $ \text{f}\left( \text{x} \right)=0$, suponiendo que el límite existe. Entonces:

El límite por la izquierda:

$ \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,-\frac{1}{2{{e}^{2x}}}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2{{e}^{2\left( 3 \right)}}}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2{{e}^{6}}}+\frac{1}{2}$, cuando:  $ 0\le x\le 3$

Y el límite por la derecha:

$ \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y(x)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{C}{{{e}^{2x}}}=\frac{C}{{{e}^{2(3)}}}=\frac{C}{{{e}^{6}}}$,                     cuando:  $ x>3$

Con la suposición de que el límite existe, igualamos los resultados anteriores:

$ -\frac{1}{2{{e}^{6}}}+\frac{1}{2}=\frac{C}{{{e}^{6}}}$

Esto implica:

$ C=-\frac{1}{2}+\frac{{{e}^{6}}}{2}$,

$ C=\frac{1}{2}(-1+{{e}^{6}})$

Por tanto:

$ y\left( x \right)=\frac{C}{{{e}^{2x}}}=\frac{\frac{1}{2}(-1+{{e}^{6}})}{{{e}^{2x}}}=\frac{-1+{{e}^{6}}}{2{{e}^{2x}}}$

De donde, la solución del Sistema Lineal, dividida en partes, con valores iniciales (PVI), es:

$\LARGE y(x)=\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2e^{2x}}+\frac{1}{2};0\leq x\leq 3\\ \frac{-1+e^{6}}{2e^{2x}};x>3 \end{matrix}\right.$

Este resultado es válido, aparentemente al haber empleado la definición de Continuidad, sin embargo, habrá que verificarlo y lo haremos posteriormente (siga el link), y veremos que no es válido el resultado por la definición de SOLUCIÓN DE LA ED EN UN INTERVALO, que dice que la solución de una ED diferencial y sus derivadas al sustituirlas en esta, la reducen a una identidad. En este caso no es así, puesto que para un mismo punto (punto $ x=3$), tenemos dos funciones.

Vemos las gráficas para, aclarar cómo se vería la gráfica definida en partes y cómo se observa la misma en el punto de discontinuidad.