Cómo aplicar el Teorema del Valor Medio

En este artículo, entenderás fácilmente el concepto del Teorema del Valor Medio relacionándolo con su significado gráfico. Esto te permitirá tener una imagen clara en la mente para que nunca se te olvide el concepto.

Nuestro cerebro recuerda más fácilmente las imágenes, es por eso que te presentaré una gráfica que engloba el concepto de Teorema de Valor Medio, relacionando la simbología matemática del Teorema con el área de un rectángulo y la función para la cual se desea conocer su valor medio.

Valor Promedio de una función y el Teorema del Valor medio para una función integral

En el artículo Teorema del Valor Medio, vimos dos fórmulas importantes que esencialmente representan lo mismo:

Valor promedio de una función

El valor promedio $ \bar{y}$ de la función $ y = f ( x)$ para $ x$ en el intervalo $ [ a, b]$, es:

\begin{equation}
\overline{\label{valorprom} y} = \frac{1}{b – a} \int^b_a f ( x) dx
\end{equation}
(1)

Suponiendo que $ f$ es integrable en el intervalo $ [ a, b]$.

Teorema del Valor Medio

Si $ f$ es continua en $ [ a, b]$, entonces:

\begin{equation}
\label{valpro} f ( \bar{x}) = \frac{1}{b – a} \int^b_a f ( x) dx
\end{equation}
(2)

para algún número $ \bar{x}$ en $ [ a, b]$.

El concepto matemático que estas fórmulas representan se puede entender fácilmente si vemos su representación gráfica. Para esto necesitamos primero despejar las integrales de la manera siguiente:

Al despejar la integral de la fórmula (1), tenemos:

\begin{equation}
\label{desprom} \int^b_a f ( x) dx = \bar{y} \ast ( b – a)
\end{equation}
(3)

Si realizamos el mismo procedimiento para la fórmula (2), tenemos:

\begin{equation}
\label{rec} \int^b_a f ( x) dx = f ( \bar{x}) \ast ( b – a)
\end{equation}
(4)

Analizando las fórmulas (3) y (4), vemos que los dos lados izquierdos de cada una fórmula, son idénticos, y sus dos lados derechos solo varían en los términos $ \bar{y}$ y $ f ( \bar{x})$, que de hecho representan lo mismo. Es decir, si analizamos la Figura 1, veremos que, $ \overline{y} = f ( \bar{x})$, y que ambas representan la altura de un rectángulo.

Si $ f$ tiene valores positivos en $ [ a, b]$, las ecuaciones (3) y (4) implican que el área bajo $y = f ( x)$ sobre el intervalo $ [ a, b]$ es igual al área de un rectángulo cuya base tiene longitud $ b – a$ y altura $ \bar{y}$ (o altura $ f ( \bar{x})$), vea la Figura 1:

aplicar el Teorema del Valor Medio

Figuras 1. Significado Geométrico del Teorema del Valor Medio.

Una vez, visualizado el concepto, aplicamos el Teorema del Valor Medio a una función para verificar lo que sabemos.

Aplicar el Teorema del Valor Medio

Para verificar lo que hemos aprendido, simplemente encontraremos el valor medio de la función:

\begin{equation}
f ( x) = x^2
\end{equation}
(5)

cuando $ x$ se mueve en el intervalo $ [ 0, 2]$, utilizando la fórmula (1) para después corroborar que el punto $ ( \bar{x}, \overline{y})$ sobre la función $ f ( x) = x^2$, determina la altura del rectángulo gris el cual a su vez, tiene la misma área que existe bajo la curva $ y = f ( x)$ y el eje horizontal de la $ x$ dentro del intervalo $ [ 0, 2]$. Notar que: $ a = 0$, $ b = 2$.

Ejemplo de Cómo aplicar el Teorema del Valor Medio

Ejemplo:

Encontrar el valor promedio de la función $ f ( x) = x^2$, cuando $ x$ está en el intervalo cerrado $ [ 0, 2]$.

Respuesta:

Utilizando la fórmula (1), tenemos :

El Valor Medio $ \bar{y}$ de la Función $ f ( x) = x^2$, en el intervalo $ [ 0, 2]$ es:

$ \Large \bar{y} = \frac{1}{2 – 0} \int^2_0 x^2 dx = \frac{1}{2} \left[\frac{1}{3} x^3 \right]^2_0 = \frac{4}{3}$

Es decir, el valor medio para la función $ f ( x) = x^2$ es $ \frac{4}{3}$, ahora para encontrar $ \bar{x}$, bastará con resolver la ecuación (5) igualándola al valor promedio obtenido, es decir a $ 4 / 3$, como sigue:

$ \large x^2 = 4 / 3$

Entonces, despejando $ x$, tenemos:

\begin{eqnarray*}
x^2 & = & 4 / 3\\
x & = & \pm \sqrt{4 / 3}\\
x_1 & = & + 1.1547\\
x_2 & = & – 1.1547
\end{eqnarray*}

Considerando solo el valor de $ x$ que se encuentra dentro del intervalo estudiado $ [ 0, 2]$, el valor de $ \bar{x}$ buscado es:

$ \large \bar{x} = 1.1547$

El cual es el valore medio de la función $ f ( x) = x^2$ y éste representa el resultado de aplicar el Teorema del valor medio a dicha función.

Ahora, comprobamos que el rectángulo de longitud $ b – a ( = 2 – 0 = 2)$ y de altura $ \bar{y} = 4 / 3$, tiene la misma área que la que existe bajo la curva $ f ( x) = x^2$, cuando $ x$ va desde $ 0$ hasta $ 2$. Para esto utilizamos la fórmula (3); tomamos su parte derecha y calculamos:

$ \large \bar{y} \ast ( b – a) = 4 / 3 \ast 2 = 8 / 3$

El área del rectángulo gris es de $ 8 / 3.$

El paso final es corroborar que el área bajo la curva $ f ( x) = x^2$ en el intervalo cerrado $ [ 0, 2] $sobre $ x$ es igual al área hallada del rectángulo. Para ello utilizamos la definición de INTEGRAL DEFINIDA, que es un concepto utilizado para encontrar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Entonces, la integral definida para la función $ f ( x) = x^2$, en el intervalo $ [ 0, 2]$ es:

\begin{eqnarray*}
\int^2_0 x^2 dx & = & \left[ \frac{1}{2 + 1} ( x^{2 + 1})
\right]^2_0\\
& = & \left[ \frac{x^3}{3} \right]^2_0\\
& = & \left[ \frac{( 2)^3 – ( 0)^3}{3}_{} \right]\\
& = & \left[ \frac{2^3}{3} \right]\\
& = & \frac{8}{3}
\end{eqnarray*}

Con lo que comprobamos que el área bajo la curva es la misma que el área del rectángulo gris.

Por último, graficando la función $ f ( x) = x^2$ junto con el punto $ (\bar{x}, \bar{y})$ que delimita su valor medio, tenemos:

aplicar el Teorema del Valor Medio

Figura 2. Representación gráfica del Valor Medio de la función $f(x)=x^{2}$

Con la gráfica podemos comprobar fácilmente los cálculos realizados, utilizando las fórmulas (3) y/o (4) y sustituyendo los valores para $ \bar{y}$ y $ \bar{x}$ respectivamente, así como calculando el área del rectángulo gris de base $ b – a = 2$ y altura $ \bar{y} = f (\bar{x}) = 4 / 3$.

El código en MATHEMATICA para graficar la Figura 2, es:

Clear["Global`*"] f[x_] = x^2;
valorPromedio = y[x_] = (1/2)*Integrate[x^2, {x, 0, 2}];
p1 = Plot[f[x], {x, 0, 2}, AxesLabel -> {x, "f[x]"}, PlotStyle -> {{Thickness[.005], Brown}}];
g1 = Graphics[{Opacity[0.2], Rectangle[{0, 0}, {2, y[x]}]}];
s1 = Solve[f[x] == 4/3, x];
punto = Graphics[{Black, PointSize[0.02], Point[{s1[[2, 1, 2]], f[x] /. x -> s1[[2, 1, 2]]}]}];
Show[p1, g1, punto, Prolog -> {{Red, Dashed, Line[{{0, f[x] /. x -> 1.1547}, {1.1547, f[x] /. x -> 1.1547}}]}}, Epilog -> {{Red, Dashed, Line[{{1.1547, 0}, {1.1547, f[x] /. x -> 1.1547}}]}}, Ticks -> {{{0.03, "a"}, 0.5, 1.0, {1.1547, "x"}, 1.5, {2, "b"}}, {0, 1, {1.333, "y"}, 2, 3, 4}}, AxesStyle -> Directive[Black, FontSize -> 16], TicksStyle -> Directive[Blue]]

Nota: al pegar el código, es necesario corregir los espacios y verificar que la variable independiente (en este caso «x» esté de color verde, así como la variable independiente «y» ó «f(x)» esté en azul)

Con este ejemplo gráfico tienes en mente lo que significa cada término matemático involucrado en la definición del Teorema del Valor Medio.

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