Teorema Fundamental del cálculo, primera parte.

En este artículo entenderás perfectamente el Teorema Fundamental del Calculo, conociendo las definiciones previas que necesitas para entenderlo con precisión para luego adquirir el concepto con facilidad dándole un vistazo a su definición matemática y luego ver ejemplos gráficos que te permitan recordarlo siempre.

Teorema Fundamental del Cálculo (parte 1)
Sea la función $ f$ continua en el intervalo cerrado $ [a,b]$, y sea $ F$ una función definida dentro de dicho intervalo $ [a, b]$, como:
$ \LARGE F\left( x \right)=\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }} f\left( t \right)dt$                   $ eq. 1$
Entonces $ F$ es una primitiva de $ f$ en $ [a,b]$; es decir: $ {{F}^{‘}}\left( x \right)=f(x)$ para $ x$ en $ [a, b]$

OJO: notar que la integral está definida como función (sus límites son una constante «a» y una variable «x») y no como número (ver ejemplo aclaratorio al final)

O, escrito de otra forma:

$ \large \frac{d}{dx}[\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }} f\left( t \right)dt]=f(x)$

(2)

Para toda $ x$ que pertenece a $ [a,b]$

La demostración más sencilla que encontré del teorema requiere recordar:

• El Teorema del Valor Medio para integrales (Da click aquí para ver la Explicación),
• La definición de derivada y,
• Una propiedad de las integrales definidas: La Unión de Intervalos (Ver al final, ejemplos)

DEMOSTRACIÓN:

Partimos de la definición $ (eq. 1)$:

$ F\left( x \right)=\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }} f\left( t \right)dt$

El propósito será corroborar que la derivada de esta función es igual a $ f(x)$, como lo indica la $ eq. 2$, para esto derivamos la expresión anterior:

$ \Large {{F}^{‘}}\left( x \right)=\frac{d}{dx}[\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }}f\left( t \right)dt]$

(3)

Y aplicamos la definición de derivada, al lado izquierdo de (3):

$ {{F}^{‘}}\left( x \right)=\underset{\Delta x\rightarrow  0}{\mathop{\lim }}\frac{F\left( x+\Delta x \right)-F(x)}{\Delta x}$

Donde, al sustituir este último resultado en el lado derecho de la $ eq. 3$, y factorizar el denominador ($ \frac{1}{\Delta x}$), tenemos:

$ {{F}^{‘}}\left( x \right)=\underset{\Delta x\rightarrow  0}{\mathop{\lim }} \frac{F\left( x+\Delta x \right)-F(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\rightarrow  0}{\mathop{\text{lim}}} \frac{1}{\Delta x}[\underset{a}{\overset{x+\Delta x}{\mathop \int }} f\left( t \right)dt-\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }} f\left( t \right)dt]$

Recordar que: $ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x} = \frac{d}{dx}$

Por la propiedad de la unión de intervalos de las integrales definidas (ver al final), podemos reescribir el resultado anterior como:

$ {{F}^{‘}}\left( x \right)=\underset{\Delta x\rightarrow  0}{\mathop{\text{ lim}}} \frac{1}{\Delta x}[\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }} f\left( t \right)dt+\underset{x}{\overset{x+\Delta x}{\mathop \int }} f\left( t \right)dt-\underset{a}{\overset{x}{\mathop \int }} f\left( t \right)dt]$

donde: $ \int_{a}^{x+\Delta x}f = \int_{a}^{x}f + \int_{x}^{x + \Delta x}f$, por lo que:

$ {{F}^{‘}}\left( x \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }} \frac{1}{\Delta x}[\underset{x}{\overset{x+\Delta x}{\mathop \int }}f\left( t \right)dt]$

(4)

Ahora, utilizando el Teorema del Valor Medio para Integrales, vemos que la ecuación anterior es igual a:

$ \large {{F}^{‘}}\left( x \right)=\underset{\Delta x\rightarrow  0}{\mathop{\lim }} \frac{1}{\Delta x}[f(\overline{t})\Delta x]$

(5)

$ \large {{F}^{‘}}\left( x \right)=\underset{\Delta x\rightarrow  0}{\mathop{\text{lim}}} [\frac{1}{\Delta x}f(\overline{t})\Delta x]$

$ \large {{F}^{‘}}\left( x \right)=\underset{\Delta x\rightarrow  0}{\mathop{\text{lim}}} [f(\overline{t})]=f(x)$

$ \large {{F}^{‘}}\left( x \right)=f(x)$

El último resultado obtenido, es el que buscamos, y para entenderlo mejor veamos lo siguiente:

$ x\le \overline{t}\le x+\Delta x$

(si observamos las partes en $ \Large [ \; ]$ de las eq. $4$ y eq. $5$)

Figura 1. Visualización de porque cuando el intervalo $ \Delta x \rightarrow 0$  el punto $ \overline{t} \rightarrow  x$

Es es decir, cuando $ \Delta x\rightarrow  0$ entonces $ \overline{t}$ se va aproximando a $ x$, por tanto, en el límite:

$ \underset{ \Delta x \rightarrow  0}{ \mathop{ \text{ lim}}} f \left( \overline{t} \right)=f(x)$

De donde obtenemos el resultado buscado:

$ \LARGE F’\left( x \right)=f(x)$

Con lo que se comprueba el Teorema.

Teorema Fundamental del Calculo. Propiedad de la integral definida: Unión de Intervalos

Si  $ a < c < b$, entonces:
$ \large \int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx$	$E. 1$

Lo importante es notar la distribución de los límites de las integrales

Ejemplo 1, si:

$ f ( x) = \left\{ \begin{array}{l} – x ; x < 0\\ x ; x > 0 \end{array} \right.$

entonces:

$ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{\infty}f(x)dx$

o lo que es lo mismo:

$ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{0}-xdx+\int_{0}^{\infty}xdx$

La integral de la función, para un intervalo como [-2, 3], según la fórmula E. 1, es:

$ \int_{-2}^{3}f(x)dx=\int_{-2}^{0}(-x)dx+\int_{0}^{3}xdx$

La cual representa el área bajo la curva** de la función: $ f(x)$, por lo que desarrollando podemos corroborar la factibilidad de esta propiedad, por tanto:

$ \int_{-2}^{3}f(x)dx=\int_{-2}^{0}(-x)dx+\int_{0}^{3}xdx$

$ \int_{3}^{-2}f(x)dx=\left [ \frac{1}{2}x^{2} \right ]_{-2}^{0}+\left [ \frac{1}{2}x^{2} \right ]_{0}^{3}$

$ \int_{-2}^{3}f(x)dx=\left [ 0-(-\frac{4}{2}) \right ] + \left [ \frac{9}{2} – 0 \right ]$

$ \int_{-2}^{3}f(x)dx= 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}$

Este resultado es facilmente comprobable si vemos la gráfica y recordamos la fórmula para el área de un triángulo:

Figura 2. Gráfica de la Función:

$ f(x)=\left\{\begin{matrix} -x; &x<0 \\ x;& x>0 \end{matrix}\right.$

Ejemplo 2:

si:

$ f(x) = \left\{\begin{matrix} -4(x-1)^{2}+10;&x < 1 \\ -4(x-1)^{2}+10;& x \geq 1 \end{matrix}\right.$

(5)

La integral de la función, para un intervalo como [0, 2], según la fórmula E. 1, es:

$ \small \int_{0}^{2}f(x)dx=\int_{0}^{1}\left ( -4(x-1)^{2}+10 \right )dx + \int_{1}^{2}\left ( -4(x-1)^{2}+10 \right )dx$

Esta integral definida representa el área bajo la curva de la función $ f(x)$, ($ eq. 5$), para los límites $ 0 \leq x \leq 2$, dicha área la podemos aproximar, nuevamente, mas adelante con la ayuda de figuras geométricas para comprobar que el área total resultante es igual (o en este caso aproximadamente igual) a la obtenida al usar la integración de la función con la ayuda de la propiedad de unión de intervalos. Entonces:

$ \small \int_{0}^{2}f(x)dx=\left [ -4\int_{0}^{1}(x-1)^{2}dx + 10\int_{0}^{1}dx \right ] + \left [ -4\int_{1}^{2}(x-1)^{2}dx + 10\int_{1}^{2}dx \right ]$

$ \int_{0}^{2}f(x)dx=\left [ -4\int_{0}^{1}x^{2}dx -2\int_{0}^{1}xdx+\int_{0}^{1}dx+10\int_{0}^{1}dx\right ]+\\\left [ -4\int_{1}^{2}x^{2}dx-2\int_{1}^{2}xdx+\int_{1}^{2}dx +10\int_{1}^{2}dx\right ]$

$ \small \int_{0}^{2}f(x)dx= \left [ -\frac{4}{3}x^{3}+4x^{2}-4x+10x \right ]_{0}^{1}+\left [ -\frac{4}{3}x^{3}+4x^{2}-4x+10x \right ]_{1}^{2}$

$ \small \int_{0}^{2}f(x)dx = \left [ -\frac{4}{3} + 10 \right ] + \left [ \left ( -\frac{32}{3} + 16 – 8 + 20 \right )- \left ( -\frac{4}{3} + 10 \right ) \right ]$

$ \small \int_{0}^{2}f(x)dx= \left [ \frac{26}{3} \right ] + \left [ \frac{26}{3} \right ] = \frac{52}{3}\approx 17.333$

Utilizando la intuición y analizando la siguiente gráfica, seguramente te darás cuenta de que el área encontrada mediante el cálculo de las áreas de las figuras geométricas que se muestran es cercana al resultado anterior de $ 17.333$.

Figura 3. Gráfica de la Función:

$ f(x)=\left\{\begin{matrix} -4(x-1)^{2}+10; &x < 1 \\ -4(x-1)^{2}+10 &x > 1 \end{matrix}\right.$

El área bajo la curva azul ($ f(x) = -4(x-1)^{2}+10$ con $ 0\leq x \leq 1$ ), se puede aproximar tomando el triángulo mostrado en la figura cuyas dimensiones son $ base=1, altura=4$ y sumarla al área del rectángulo que esta debajo de éste y cuyas dimensiones son $ base=1, altura=6$ y repitiendo la misma operación para la función de la curva roja, vemos que el resultado de su suma es igual a $ Area=16\approx 17.333$.

Teorema Fundamental del Calculo. Integral definida como función.

La integral definida como función se utiliza para ejemplificar que la SUMA de las áreas infinitesimales se puede dar en cualquier intervalo contenido dentro de un intervalo cerrado donde la función $ f$ a integrar sea contínua. Para el enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo, el intervalo cerrado dentro del cual la función es contínua es: $ [a, b]$. Al realizar la integración de una integral definida como función el resultado es una función y no un valor numérico.

Ejemplo:

$ F(x) = \int_{0}^{x}Sin(t)dt$

$ F(x) = \left [ -Cos(t) \right ]_{0}^{x}$

$ F(x) = -\left [ Cos(x) – Cos(0) \right ]$

$ F(x) = -Cos(x)+1$

Con estos resultados podemos corroborar de manera intuitiva que la propiedad de La Unión de Intervalos, para las integrales definidas, es válida.

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**Nota: El concepto de área bajo la curva se estudia cuando se ve el concepto de área bajo una curva y las Sumas de Riemann, aquí un ejemplo: Click aquí.

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