Ecuación diferencial, ejercicios resueltos del libro: Dennis G. Zill 7ª Ed.
El siguiente método te ayudará a resolver cualquier tipo de ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos, utilízalo varias veces antes de tatar entenderlo, es mi recomendación, posteriormente podrás ver con mayor facilidad de donde salen las ecuaciones, aquí las explicaremos.
Método de resolución de ED lineales
Él siguiente método te ayudará a resolver cualquier ED lineal de primer orden en 4 pasos sencillos. Si quieres ver una explicación más detallada de las bases del método, puedes ver el siguiente enlace: Método: Factor Integrante, click aquí
1. Forma Standard: $\frac{dy}{dx}+P\left( x \right)y=f(x)$
2. Factor Integrante: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$
Forma de solución: $y={{y}_{c}}+{{y}_{p}}$
3. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$
4. ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$
Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill (Problema 14)
$x{{y}^{‘}}+\left( 1+x \right)y={{e}^{-x}}\sin 2x$
Pasos:
I. El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:
Para eso dividimos entre el coeficiente de $y’$, que es “x”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x”.
- $\frac{dy}{dx}+\frac{(1+x)}{x}y=\frac{{{e}^{-x}}\sin 2x}{x}$,
II. En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$,
2. ${{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1+x}{x}dx}}={{e}^{\mathop{\int }^{}\frac{1}{x}dx+\mathop{\int }^{}dx}}$
$={{e}^{\ln x+x}}$
$=x{{e}^{x}}$
III: Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:
Recordemos que el sistema homogéneo asociado, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{(1+x)}{x}y=0$ . Para resolverla sustituimos en la fórmula: ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$. Los valores de P(x)=$~\frac{(1+x)}{x}$, encontrado en i. anteriormente y desarrollamos. Para esclarecer de donde sale la fórmula ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}$, siga el siguiente enlace: Solución del sistema homogéneo asociado.
3. ${{y}_{c}}=C{{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1+x}{x}dx}}$
$=C{{e}^{-\ln x-x}}$
$=C{{e}^{\ln {{x}^{-1}}-x}}$
$=C{{x}^{-1}}{{e}^{-x}}$
$=\frac{C{{e}^{-x}}}{x}$
Grafica de la familia de soluciones del sistema homogeneo asociado:
${{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-x}}}{x}$
Se puede ver una solución particular $y=-\frac{3{{\text{e}}^{-1-x}}}{x}$, donde $C=-3{{e}^{-1}}$
Notar que la función ${{y}_{c}}=\frac{C{{e}^{-x}}}{x}$, tiene como dominio todo el conjunto de los números reales excepto $x=0$, pero la solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), solo se encuentra en uno de estos dos intervalos: $(-\infty ,0),~(0,\infty )$, de los cuales cualquiera podría ser el intervalo de solución I.
IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:
El sistema no homogéneo, en este caso, es la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx}+\frac{(1+x)}{x}y=\frac{{{e}^{-x}}\sin 2x}{x}$, que representa la familia de soluciones particulares de la ED lineal. Para resolverla utilizamos la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, donde: ${{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}=x{{e}^{x}}$ (obtenido en el punto ii.) y $f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-x}}\sin 2x}{x}$, obtenido en el punto i. Para esclarecer de donde sale la fórmula: ${{y}_{p}}=\frac{1}{{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}}\mathop{\int }^{}{{e}^{\mathop{\int }^{}P\left( x \right)dx}}f(x)dx$, siga el enlace: solución del sistema no homogeneo.
4. ${{y}_{p}}=\frac{1}{x{{e}^{x}}}\mathop{\int }^{}x{{e}^{x}}(\frac{{{e}^{-x}}\sin 2x}{x})dx$
$=\frac{1}{x{{e}^{x}}}\sin 2xdx$
$=-\frac{{{e}^{-x}}}{2x}\cos 2x$
Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogeneo:
(Solución General = Solución Complementaria + Solución Particular)
$y=\frac{C{{e}^{-x}}}{x}-\frac{{{e}^{-x}}}{2x}\cos 2x$
Se puede ver una solución particular $y\left( x \right)=\frac{3{{\text{e}}^{-1-x}}}{x}+\frac{{{\text{e}}^{-x}}\text{Cos}[2]}{2x}-\frac{{{\text{e}}^{-x}}\text{Cos}[2x]}{2x}$,Donde: $ C=3{{e}^{-1}}+\frac{{{\text{e}}^{-x}}\text{Cos}[2]}{2x}$. Nuevamente notar que la función $y=\frac{C{{e}^{-x}}}{x}-\frac{{{e}^{-x}}}{2x}\cos 2x$, tiene como dominio todo el conjunto de los números reales excepto $x=0$, pero la solución, por definición (ver Intervalo de definición de una solución I), solo se encuentra en uno de estos dos intervalos: $(-\infty ,0),~(0,\infty )$, de los cuales cualquiera podría ser el intervalo de solución I.
Por tanto la solución de Ecuación Diferencial lineal, $x{{y}^{‘}}+\left( 1+x \right)y={{e}^{-x}}\sin 2x$, es:
$\Large y=\frac{C{{e}^{-x}}}{x}-\frac{{{e}^{-x}}}{2x}\cos 2x$
Notar que:
$\mathop{\int }^{}\sin 2xdx=-\frac{1}{2}\cos 2x$
$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$
Debido a que:
$y={{e}^{x}}$implica $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por lnobtendremos:
$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$ y
${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$
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