a)      $y\frac{dx}{dy}-x=2{{y}^{2}}$,             $y(1)=5$

Y, encontrar el intervalo I de solución.

Pasos:

I.                    El primer paso consiste en escribir la forma estándar de la ED a resolver:

Dividimos, entre el coeficiente de $\frac{dx}{dy}$, que es “ ”, los coeficientes de los demás términos de la ecuación que dependen de “x” en realidad aunque la ED está planteada para resolver en función de . Simplificamos.

$\frac{dx}{dy}+P\left( y \right)x=f(y)$

$\frac{dx}{dy}-\frac{x}{y}=2y$

II.                  En el segundo paso encontramos el factor integrante: ${{\mathbf{e}}^{\mathop{\int }^{}\mathbf{P}\left( y \right)\mathbf{dy}}}$,  

${{e}^{-\mathop{\int }^{}\frac{1}{y}dy}}={{e}^{-\ln |y|}}$

$={{\text{e}}^{\ln {{y}^{-1}}}}$

$={{\text{y}}^{-1}}$

$=\frac{1}{y}$

III.                Como tercer paso, encontramos la familia de soluciones del sistema homogéneo asociado:

${{\text{x}}_{c}}=C{{e}^{(-)-\mathop{\int }^{}\frac{1}{y}dy}}$

$=C{{e}^{\ln |y|}}$

$=C\text{y}$

Solución Específica para el Sistema Homogéneo

Para encontrar una solución específica para el sistema homogéneo, utilizaremos los valores iniciales de $\text{x}=1;\text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ y}=5$ , de modo que:

$1=C\left( 5 \right)~\Rightarrow ~~C=\frac{1}{5}$

Por tanto, la solución particular (específica) del sistema homogéneo asociado es:

${{x}_{c}}=\frac{1}{5}y$

IV. En el cuarto paso, encontramos una solución particular a partir del sistema no homogéneo:

${{x}_{p}}=\frac{1}{{{y}^{-1}}}\mathop{\int }^{}{{y}^{-1}}(2y)dy$

$=2y\mathop{\int }^{}dy$

$=2{{y}^{2}}$

Por tanto:

$1=C\left( 5 \right)+2{{(5)}^{2}}$

$\Rightarrow 1=5C+50$

$\Rightarrow 5C=1-50$

$\Rightarrow C=-\frac{49}{5}$

Por lo que UNA solución particular del sistema no Homogéneo, es:

$y=-\frac{49}{5}y+2{{y}^{2}}$

Gráfica de la familia de soluciones del sistema no homogéneo:

$y=Cy+2{{y}^{2}}$

y la solución particular:
$y=-\frac{49}{5}y+2{{y}^{2}}$

El dominio de la solución está en el intervalo:

$D_{x_{p}}:\left \{ x\epsilon \mathbb{R}|-\infty < x< \infty \right \}$

o dicho de forma más común, el dominio de la solución del problema del PVI es el intervalo: $(-\infty ,\infty )$. Notar que nuevamente, el dominio para la solución general de la ED lineal es:

$D_{x}:-\infty < x< 0$  o  $D_{x}:0 < x < \infty$

Por tanto, la solución del Problema del Valor Inicial, de la ecuación diferencial 

$y\frac{dx}{dy}-x=2{{y}^{2}}$, es:

$y=-\frac{49}{5}y+2{{y}^{2}}$

Con intervalo de solución:

$I:\left\{ x\in R|-\infty < x < \infty \right \}$

Recordar:

Logaritmos y exponenciales

$a\ln x=\ln {{x}^{a}}$

Debido a que:

$y={{e}^{x}}$ implica  $x=\ln y$ y además $\ln y={{\log }_{e}}y$ recordamos que la función $x={{\log }_{e}}y$, es inversa de $y={{e}^{x}}$, por tanto si multiplicamos esta última función por ln obtendremos:

$\ln y=\ln {{e}^{x}}=x$   y

${{e}^{x}}={{e}^{\ln y}}=y$

En el análisis de fenómenos físicos modelados con Ecuaciones Diferenciales en la actualidad es importante contar con un software que te permita obtener resultados tanto de las técnicas de Gratificación, como de las técnicas de simulación numérica, es por eso que en este Blog he integrado la página: Haz Tu Simulación (da click aquí), donde podrás escribir tu código en los programas: Octave, Máxima, Python o SAGE, para simular y/o graficar tus modelos de ecuaciones diferenciales.

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La intuición y la confianza son parte importantes en el aprendizaje de esta materia, es por eso que para desarrollarlas será necesario practicar varias veces con los métodos y técnicas aquí descritos teniendo una actitud mental apropiada. Para que conozcas la actitud mental que me ha hecho prosperar en esta y otras materias a lo largo de mi vida, te comparto el artículo: La técnica perfecta para aprender Ecuaciones Diferenciales, donde te revelo la actitud que me ha hecho tener éxito en materias arduas pero fascinantes como esta.

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