Simulación y Graficación de Ecuaciones Diferenciales con SAGEMATH

Utiliza la siguiente celda para aplicar tu conocimiento de Ecuaciones Diferenciales realizando la Simulación de tus ejercicios junto con sus gráficas, o simula cualquier sistema físico escrito muy fácilmente con lo que te voy a mostrar aquí utilizando código escrito en SAGEMATH o Python

Simulación Ecuaciones Diferenciales


Escribe en la siguiente celda tu código:

Aquí tienes ejemplos de como realizarlo:

¿Cómo simular una Ecuación Diferencial (ED) Ordinaria con SAGEMATH?:

Tenemos la ecuación a resolver:

$\large y’=-\frac{x}{y}$

El código se puede ver dándole click al botón Mostrar Código:

Mostrar Código de SAGE
x = var("x")          # Definicion de la variable independiente
y = function("y")(x)       # Definicion de la variable dependiente
DE = diff(y,x) == -x/y     # Ecuación Diferencial (DE):  x*y' + y = e^x para y(1)=1
solg = desolve(DE, y)      # Solucion general de la ED: x*y' + y = e^x mediante el comando "desolve"
show(solg)

El código requerido también se puede ver dentro de la Celda de SAGEMATH. Dale clic a evaluate para ver el resultado:

¿Cómo simular un Problema del Valor Inicial (PVI) para una ED Ordinaria con SAGEMATH?:

Utilizamos la misma ecuación diferencial anterior, con condiciones iniciales:

$\large y’=-\frac{x}{y}$

$\large y(1) = 1$

El código es muy parecido al anterior, con una pequeña variación dentro de la función desolve, como se ve en el código. Éste se puede ver dándole click al botón Mostrar Código:

Mostrar Código de SAGE
x = var("x")               # Definicion de la variable independiente
y = function("y")(x)            # Definicion de la variable dependiente
DE = diff(y,x) == -x/y          # Ecuación Diferencial (DE):  x*y' + y = e^x para y(1)=1
solp = desolve(DE,[y,x], [1,1]) # Solucion general de la ED: x*y' + y = e^x mediante el comando "desolve"
show(solp)

El código requerido también se puede ver dentro de la Celda de SAGEMATH. Dale clic a evaluate para ver el resultado:

A continuación te dejo el código de SAGEMATH para graficar la solución particular anterior, copialo y pegalo en la celda de SAGEMATH para ver el resultado

Mostrar Código de SAGE
x = var("x")               # Definicion de la variable independiente
y = function("y")(x)            # Definicion de la variable dependiente
DE = diff(y,x) == -x/y          # Ecuación Diferencial (DE):  x*y' + y = e^x para y(1)=1
solp = desolve(DE,[y,x],[1,1])  # Solucion particular de la ED: x*y' + y = e^x para y(1)=1

f = -1/2*y^2==1/2*x^2-1

y = solve([f],y)
show(y[0]); show(y[1]);
print('Graficando y(x) = sqrt(-x^2 + 2)')

y = y[1].rhs()

plot(y,-1.42,1.42,ymax=1.5,ymin=0)

¿Cómo graficar una Solución del Problema del Valor Inicial (PVI) para una ED Ordinaria con SAGEMATH?:

Para éste ejemplo utilizamos la siguiente ED:

$\large xy’ + y = e^{x}$

Con valores iniciales:

$y(1) = 1$

El código en SAGEMATH y la gráfica se ven dándole clic al siguiente botón:

Mostrar Código de SAGE
x = var("x")                 
y = function("y")(x)          
DE = diff(y,x) == (e^x-y)/x      
solp = desolve(DE,[y,x],[1,1])
show(solp)
plot(solp, -5, 5, ymin=-5, ymax=5)
La Gráfica deberá tener la forma:
Mostrar Gráfica de SAGE

El código también esta dentro de la celda:

¿Cómo simular y graficar un campo de direcciones de una ED Ordinaria con SAGEMATH?:

Utilizaremos el mismo PVI, anterior:

$\large xy’+y=e^{x}$

$y(1) = 1$

El código incluye la graficación de la solución particular del PVI, además del campo de direcciones, clic al siguiente botón:

Mostrar Código de SAGE
x = var("x")                 
y = function("y")(x)          
DE = diff(y,x) == (e^x-y)/x     
solg = desolve(DE,[y,x])        

## Código para graficar el CAMPO DE DIRECIONES
y, x = var('y x')
F=plot_slope_field((e^x-y)/x, (x,-5,5), (y,-5,5))
B=F

## Código para Graficar la FAMILIA DE SOLUCIONES
Lista = [k/2 for k in[-10..10]]
for k in Lista:
    C=implicit_plot((e^x-y)/x == k, (x,-5,5), (y,-5,5))
    B=B+C
print('La Familia de soluciones xy\' + y = e^x es \n')
show('y(x)= '), show(solg);
show(B)
La gráfica deberá verse de la siguiente forma:
Mostrar Gráfica de SAGE

El código también esta dentro de la celda:

Nota: todos los códigos se pueden editar.  Para adaptarlos a tus propios ejercicios, lee los comentarios que incluí en estos y que están precedidos por el simbolo «#»

Por último, tomaré un ejemplo de la página The Azimut project, para mostrar la simulación de un sistema físico y la capacidad interactiva de SAGEMATH:

Mostrar Código de SAGE
def lv(g,k=None):
   Tg = ode_solver()
   Tg.function = lambda t, y: [y[0]*(1 - y[1]), -g*y[1] + y[0]*y[1]]
   sol_lines = Graphics()
   for i in srange(0.1,1.1,.2):
      Tg.ode_solve(y_0=[i,i],t_span=[0,10],num_points=10^3)
      y = Tg.solution
      sol_lines += line([x[1] for x in y], rgbcolor = (i,i,0))
   return sol_lines

@interact
def lv_explorer(gamma = (0.,1.,0.1)):
    show(lv(gamma))

La funcionalidad interactiva se describe en el siguiente video:

Dale click a «Evaluate» y juega con los campos para los parámetros y los botones deslizantes del comando @Interact:

 Nota que todos los códigos se pueden editar.  Para adaptarlos a tus propios ejercicios, lee los comentarios que incluí en estos y que están precedidos por el simbolo «#»

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