¿Cómo resolver una integral del tipo: $\int e^{-st} \sin{\left(at\right)} dt$?

Con éste artículo las integrales para resolver transformada de Laplace -Integral compleja, serán un día de campo. En éste artículo aprenderás a resolver de una vez y para siempre, la integral de la forma:

• $\large \int e^{-st}\sin{\left(at\right)}dt$ o
• $\large \int e^{-st}\cos{\left(bt\right)}dt$

por los métodos

• Integracion de funciones exponenciales complejas
• Integración por partes
• Además incluiremos los códigos de SAGEMATH, para que no te equiviques

Las resolveremos como integrales definidas, al aplicar Laplace, por supuesto.

Terminando el artículo no volverás a tener dudas de cómo resolver este tipo de integrales, esenciales para la Transformadas de Laplace, las Series de Fourier, la Transformada Integral, entre otros.

Primero, desarrollamos paso a paso en los primeros $2$ ejercicios y luego vamos más rápido para mostrar la agilidad de éste método. 😉

Metodología utilizada

• Conversión de la integral trigonométrica a integral de una función exponencial compleja: complexificación.
• Resolvemos la integral para la función compleja obtenida
• Extraer la parte real de una función exponencial compleja

Conceptos relacionados

Para resolver éste tipo de integral mediante funciones exponenciales complejas necesitaremos recordar los conceptos de:

1. Ley de suma de los exponentes
   • $e^{x}e^{y} = e^{(x+y)}$
2. Fórmula de Euler
   • $e^{iy} = \cos{y}+i\sin{y}$
3. Obtención de la parte real ($Re$) e imaginaria ($Im$) de un número complejo
   • Parte Real: $Re\left(\cos{y}+i\sin{y}\right) = \cos{y}$
   • Parte Imaginaria: $Im\left(\cos{y}+i\sin{y}\right) = \sin{y}$

Notar que la parte imaginaria no incluye la unidad imaginaria $i$ Donde: $Re \left( …\right)$ = Parte REAL $Im \left( …\right)$ = Parte IMAGINARIA

Fórmula utilizada

La fórmula para integrar funciones exponenciales, es:

¿Cómo Integrar una Función Exponencial Compleja?

Complexificación

El proceso de convertir una integral del tipo: $\Large \int e^{t}\sin{t}$ en una integral de función compleja, se llama COMPLEXIFICACIÓN, y procedemos según la metodología descrita:

Para ésto, hacemos uso de la fórmula de Euler: $e^{iy}=\cos{y}+i\sin{y}$

De modo que si tenemos una función del tipo:

$$f(x)=e^{-st}\sin{bt}$$

Podemos utilizar la formula de euler y la formula $e^{(a+ib)}$, cuya forma equivalente es: $e^{a}e^{ib}$, para transformar nuestra funcion.

De manera general, la transformación es equivalente a una fórmula que proviene de la siguiente:

$$e^{(a+ib)}=e^{a}e^{ib} = e^{a} \left( \cos{b} + i \sin{b}\right) $$

Donde lo importante es notar que la relación anterior se compone de una parte real y una imaginaria, es decir:

\begin{eqnarray*} e^{a}\left( \cos{b} + i \sin{b}\right)  & = & \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{ccccc} Re \left(e^{a} \left(\cos{b} + i \sin{b}\right) \right) = e^{a} \cos{b} & \\ Im \left(e^{a} \left(\cos{b} + i \sin{b}\right)\right) = e^{a} \sin{b} & & \end{array} \right. \end{array} \end{eqnarray*}

De éste modo, la integral para $f(x)$, es:

$$\int{e^{-st}\sin{bt}}=Im\left(\int{e^{\left(-s+ib\right)t}}\right)$$

O, para el caso de la función $\cos$, la parte real es:

$$\int{e^{-st}\cos{bt}}=Re\left(\int{e^{\left(-s+ib\right)t}}\right)$$

y procedemos a utilizar la fórmula general ($1$), vista arriba.

Ejemplos Resueltos

Integrando una Función Exponencial Compleja

Ejemplo 1: Resolver el problema

$$\Large \int e^{-t}\sin{t}dt$$

Solución:

Paso 1.
Reconocemos:

$\large e^{-t}\sin{t}=$ parte imaginaria de $\large e^{(-t+it)}dt$

O, escrito en simbología matemática:

$$\large e^{-t}\sin{t}=\large Im \left(e^{(-1+i)t} \right)$$

Escribimos la integral la función compleja:
$$\large Im\left(\int e^{(-1+i)t}dt\right)$$

Es decir:

$$\large \int e^{-t}\sin{t}dt = Im \left(\int e^{(-1+i)t}dt \right)$$

Paso 2.

Integramos utilizando la fórmula ($1$):

\begin{eqnarray*} \int e^{(-1+i)t}dt & = & \frac{1}{-1+i}\int{e^{(-1+i)t}\left(-1+i\right)dt}\\ & = & \frac{e^{(-1+i)t}}{-1+i} \end{eqnarray*}

Paso 3.

Ahora, nos corresponde encontrar la parte Imaginaria de nuestro resultado, y para eso, procedemos como sigue:

$$Im \left( \frac{e^{(-1+i)t}}{-1+i} \right) = Im \left( \frac{1}{-1+i}e^{(-1+i)t} \right)$$

Utilizando la FÓRMULA DE EULER Y la ley de los exponentes, desarrollamos nuestro resultado, como sigue:

\begin{eqnarray*} Im \left( \frac{e^{(-1+i)t}}{-1+i} \right) & = & Im \left( \frac{1}{-1+i}e^{-t}e^{it} \right) \\ & = & Im \left( \frac{1}{-1+i}e^{-t}\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right) \end{eqnarray*}

Parte Imaginaria del Resultado

Donde, $Im \left( -\cos{t}+\sin{t}\right)$, no es la parte imaginaria pues NO tiene unidad imaginaria $i$, de modo que, la parte imaginaria es:

$$Im \left(-i\sin{t} – i\cos{t} \right) = Im(-i \left( \sin{t}+\cos{t}\right)) = -\left( \sin{t}+\cos{t}\right)$$

Por tanto:

$$ Im\left(\int e^{(-1+i)t}dt\right) = -\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t}+\cos{t}\right) $$

Es decir, el resultado buscado es:

$$\Large \int e^{-t}\sin{t}dt = -\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t}+\cos{t}\right)$$

Comprobando con SAGEMATH la integración de la integral NO definida, $\large \int e^{-t}\sin{t}dt$ :

Ahora, si tuvieramos límites que evaluar:

$$\large \int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin{t}dt = \left[-\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t}+\cos{t}\right)\right]_{0}^{\infty} $$
La evaluación la realizamos como sigue:

\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin{t} & = & \left[ -\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t}+\cos{t}\right)\right]_{0}^{\infty}\\ & = & -\frac{1}{2} \left[ e^{-t} \left( \sin{t}+\cos{t}\right)\right]_{0}^{\infty}\\ & = & -\frac{1}{2} \left( \left[ e^{-(\infty)} \left( \sin{\infty}+\cos{\infty}\right)\right] – \left[ e^{-(0)} \left( \sin{0}+\cos{0}\right)\right] \right) \\ & = & -\frac{1}{2} \left( \left[ 0 \right] – \left[ e^{0} \left( 1+0\right)\right] \right) \\ & = & -\frac{1}{2} \left( -e^{0} \left( 1\right) \right) \\ & = & \frac{ e^{0}}{2} \\ & = & \frac{1}{2} \end{eqnarray*}

Comprobando con SAGE, integramos la integral definida, $\large \int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin{t}dt$ :

Ejemplo 2: Resolver el problema

$$\Large \int e^{-t}\cos{t}dt$$

Solución:

Paso 1.
Reconocemos:

$\large e^{-t}\cos{t}=$ parte real de $\large e^{(-t+it)}dt$

$\Rightarrow \large e^{-t}\cos{t}=$ $\large Re \left(e^{(-1+i)t} \right)$

Escribimos la integral del problema en términos de una integral de una función compleja, tenemos:
$$\large Re\left(\int e^{(-1+i)t}dt\right)$$

Es decir:

$$\large \int e^{-t}\cos{t}dt = Re \left(\int e^{(-1+i)t}dt \right)$$
Paso 2.
Integramos utilizando la fórmula ($1$):
$$\large \int e^{(-1+i)t}dt = \frac{e^{(-1+i)t}}{-1+i}$$

Paso 3.

Encontrando la Parte Real, de nuestro resultado:

\begin{eqnarray*} Re \left( \frac{e^{(-1+i)t}}{-1+i} \right) & = & Re \left( \frac{1}{-1+i}e^{(-1+i)t} \right) \\ & = & Re \left( \frac{1}{-1+i}e^{-t}e^{it} \right) \\ & = & Re \left( \frac{1}{-1+i}e^{-t}\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right) \end{eqnarray*}

Parte Real del Resultado

Procedemos igual que en el problema anterior:

$\large \frac{1}{-1+i}\cdot \frac{-1-i}{-1-i} = \frac{-1-i}{1-(-1)} = \frac{-1-i}{1+1} = \frac{-1-i}{2}$

$\Rightarrow Re \left( \frac{1}{-1+i}e^{-t}\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right) = Re \left( \frac{-1-i}{2}e^{-t}\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right)$

Es decir:

$\Rightarrow Re \left( \frac{-1-i}{2}e^{-t}\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right) = \frac{e^{-t}}{2} Re \left(\left(-1-i \right) \left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right)$

De Donde:

$\Rightarrow \frac{e^{-t}}{2} Re \left(-\left( \cos{t} + i \sin{t} \right)-i\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right) $

Procedemos a multiplicar, como en el problema anterior:

\begin{eqnarray*} & &\frac{e^{-t}}{2} Re \left(-\left( \cos{t} + i \sin{t} \right)-i\left( \cos{t} + i \sin{t} \right) \right)\\ & = & \frac{e^{-t}}{2} Re \left( \left(-\cos{t}-i\sin{t} \right) – \left(i\cos{t}-\sin{t} \right) \right)\\ & = & \frac{e^{-t}}{2} Re \left( \left(-\cos{t}+\sin{t} \right) + \left(-i\cos{t}-i\sin{t} \right) \right)\\ & = & \frac{e^{-t}}{2} \left[Re \left( -\cos{t}+\sin{t}\right) + Re \left(-i\sin{t} – i\cos{t} \right)\right] \end{eqnarray*}

Donde, $Re \left( -i\sin{t} – i\cos{t}\right)$, no es la parte real pues TIENE la unidad imaginaria $i$, de modo que, la parte real es:

$$Re \left(-\cos{t} + \sin{t} \right) = Re(- \left( \cos{t} – \sin{t}\right)) = -\left( \cos{t} – \sin{t}\right)$$

Por tanto:

$$ Re\left(\int e^{(-1+i)t}dt\right) = -\frac{e^{-t}}{2} \left( \cos{t} – \sin{t}\right) $$

Es decir, el resultado buscado es:

$$\Large \int e^{-t}\cos{t}dt = -\frac{e^{-t}}{2} \left( \cos{t} – \sin{t}\right)$$

Comprobando con SAGE la integración de la integral NO definida, $\large \int e^{-t}\cos{t}dt$ :

Ahora, si tuvieramos límites que evaluar:

$$\large \int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin{t}dt = \left[-\frac{e^{-t}}{2} \left( \cos{t}-\sin{t}\right)\right]_{0}^{\infty} $$La evaluación la realizamos como sigue:

\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin{t} & = & \left[ -\frac{e^{-t}}{2} \left( \cos{t}-\sin{t}\right)\right]_{0}^{\infty}\\ & = & -\frac{1}{2} \left[ e^{-t} \left( \cos{t}-\sin{t}\right)\right]_{0}^{\infty}\\ & = & -\frac{1}{2} \left( \left[ e^{-(\infty)} \left( \cos{\infty}-\sin{\infty}\right)\right] – \left[ e^{-(0)} \left( \cos{0}-\sin{0}\right)\right] \right) \\ & = & -\frac{1}{2} \left( \left[ 0 \right] – \left[ e^{0} \left( 1-0\right)\right] \right) \\ & = & -\frac{1}{2} \left( -e^{0} \left( 1\right) \right) \\ & = & \frac{ e^{0}}{2} \\ & = & \frac{1}{2} \end{eqnarray*}

Comprobando con SAGE, integramos la integral definida, $\large \int_{0}^{\infty} e^{-t}\cos{t}dt$ :

Ejemplo 3: Resolver el problema

$$\Large \int{e^{2t}\cos{3t}dt}$$

Solución:

En éste ejemplo nos vamos rápido.

Paso 1:

Reconocemos:

$$e^{2t}\cos{3t} = e^{\left(2+3i\right)t}$$

que es la parte real

De modo que:

$$\int{e^{2t}\cos{3t}dt}=Re\left(\int{e^{\left(2+3i\right)t}}dt\right)$$

Paso 2:

Podemos ver que para poder utilizar la fórmula ($1$) arreglamos, la integral de la siguiente forma:

$$\int{e^{\left(2+3i\right)t}}=\frac{1}{2+3i}\int{e^{(2+3i)t}\left(2+3i\right)dt}$$

Y aplicando la formula ($1$), tenemos:

\begin{eqnarray*} \int{e^{\left(2+3i\right)t}}& = & \frac{1}{2+3i}\int{e^{(2+3i)t}\left(2+3i\right)dt}\\ & = & \frac{e^{(2+3i)t}}{2+3i} \end{eqnarray*}

Paso 3:

Obtenemos la parte real:

\begin{eqnarray*} \frac{e^{(2+3i)t}}{2+3i}& = & \frac{1}{2+3i}e^{2t}\left(\cos{3t}-i\sin{3t}\right)\\ & = & \frac{2+3i}{4+9}e^{2t}\left(\cos{3t}-i\sin{3t}\right)\\ & = & \frac{2+3i}{13}e^{2t}\left(\cos{3t}-i\sin{3t}\right) \end{eqnarray*}

La parte real, solo corresponde a la multiplicación del $2$ por el $\cos{3t}$ y el término $3i$ por el $-i\sin{3t}$, donde $\frac{e^{2t}}{13}$ son un factor común, es decir:

\begin{eqnarray*} \int{e^{2t}\cos{3t}dt} & = & Re\left(\int{e^{\left(2+3i\right)t}}dt\right)\\ & = & \frac{e^{2t}}{13}\left(2\cos{3t}+3\sin{3t}\right) \end{eqnarray*}

Comprobamos el resultado con SAGEMATH:

¿Cómo resolver la integral: $\int e^{-t}\sin{t}dt$ ? mediante Integración por Partes?

Ejemplo 4: Resolver el problema

$$\Large \int e^{-t}\sin{t}dt$$

Solución:

De modo que:

\begin{eqnarray*} \int e^{-t}\sin{t} & = & -e^{-t}\sin{t} + \int e^{-t}\cos{t}dt\\ \int e^{-t}\sin{t} & = & -e^{-t}\sin{t} + \left[\int e^{-t}\cos{t}dt\right] \\ \int e^{-t}\sin{t} & = & -e^{-t} \sin{t} +\left[- e^{-t}\cos{t} – \int e^{-t}\sin{t}dt\right] \end{eqnarray*}

Y continuando el desarrollo:

\begin{eqnarray*} \int e^{-t}\sin{t} + \int e^{-t}\sin{t} & = & -e^{-t} \sin{t} – e^{-t}\cos{t} \\ 2\int e^{-t}\sin{t} & = & -e^{-t} \sin{t} – e^{-t}\cos{t} \\ \int e^{-t}\sin{t} & = & -\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t} + \cos{t} \right) \end{eqnarray*}

Por tanto, el resultado buscado es:

$$\Large \int e^{-t}\sin{t} = -\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t} + \cos{t} \right)$$

Por último, evaluando límites:

\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} e^{-t}\sin{t} & = & \left[-\frac{e^{-t}}{2} \left( \sin{t} + \cos{t} \right)\right]_{0}^{\infty} \\ & = & -\frac{1}{2}\left[ \left(e^{-\infty}\sin{\infty} + e^{-\infty}\cos{\infty}\right) – \left(e^{-0}\sin{0} + e^{-0}\cos{0}\right)\right] \\ & = & -\frac{1}{2}\left[ \left(0\right) – \left(1*0 + 1*1\right)\right] \\ & = & \frac{1}{2} \left(1\right) \\ & = & \frac{1}{2} \end{eqnarray*}

Transformada de Laplace -Integral Compleja

Ejemplo 5: Aplicar la definición de la transformada de laplace a la función

$$f(t)=\cos{5t}+\sin{2t}$$

La definición de la transformada de laplace, es:

$$\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^{\infty}{e^{-st}f(t)dt}$$

Solución:

Aplicando la definición de la transformada de laplace:

\begin{eqnarray*} \mathcal{L} \{ f (t) \} & = & \mathcal{L} \{ \cos (5 t) + \sin (2 t) \}\\ & = & \mathcal{L} \{ \cos (5 t) \} +\mathcal{L} \{ \sin (2 t) \}\\ & = & \int^{\infty}_0 e^{- st} \cos (5 t)dt + \int^{\infty}_0 e^{- st} \sin (2 t) dt \end{eqnarray*}

Utilizando la fórmula general para integrar funciones exponenciales ($1$) y complexificando, tenemos:

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Ahora, obtenemos las partes real e imaginaria, respectivamente.

Éste paso, como lo vimos en el ejemplo ($3$), lo realizamos mediante la observación.

La parte real, solo corresponde a la multiplicación del término $s$ por el término $\cos(5t)$ y el término $5i$ por el término $i\sin(5t)$, donde $-\frac{e^{-st}}{s^{2}+25}$ son un factor común.

La parte imaginaria, solo corresponde a la multiplicación del $2i$ por el $\cos(2t)$ y el término $s$ por el término $i\sin(2t)$, donde $-\frac{e^{-st}}{s^{2}+4}$ son un factor común.

Si aplicamos los límites de la transformada de laplace, tenemos.

Para la parte Real:

\begin{eqnarray*} \int^{\infty}_0 e^{- st} \cos (5 t) dt & = & \left[ \frac{e^{- st}}{s^2 + 25}^{} (s \cos (5 t) – 5 \sin (5 t)) \right]^{\infty}_0\\ & = & \left[ \frac{e^{- s \ast \infty}}{s^2 + 25}^{} (s \cos (5 \ast \infty) – 5 \sin (5 \ast \infty)) – \frac{- e^{- s \ast 0}}{s^2 + 25}^{} (s \cos (5 \ast 0) – 5 \sin (5 \ast 0)) \right]\\ & = & \left[ 0 + \frac{1}{s^2 + 25} (s \ast 1 – 0) \right]\\ & = & \frac{s}{s^2 + 25} \end{eqnarray*}

Para la parte Imaginaria:

\begin{eqnarray*} \int^{\infty}_0 e^{- st} \sin (2 t) dt & = & \left[ \frac{- e^{- st}}{s^2 + 4} (2 \cos (2 t) + s \sin (2 t)) \right]^{\infty}_0\\ & = & \left[ \frac{- e^{- s \ast \infty}}{s^2 + 4} (2 \cos (2 \ast \infty) + s \sin (2 \ast \infty)) – \frac{- e^{- s \ast 0}}{s^2 + 4}^{} (2 \cos (2 \ast 0) + s \sin (2 \ast 0)) \right]\\ & = & \left[ 0 + \frac{1}{s^2 + 25} (2 \ast 1 – 0) \right]\\ & = & \frac{2}{s^2 + 4} \end{eqnarray*}

Por tanto, la solución es:

\begin{eqnarray*} \Large \mathcal{L} \{ f (t) \} & = & \int^{\infty}_0 e^{- st} \cos (5 t) dt + \int^{\infty}_0 e^{- st} \sin (2 t) dt\\ & = &\Large \frac{s}{s^2 + 25} + \frac{2}{s^2 + 4} \end{eqnarray*}

Comprobamos el resultado con SAGEMATH:

---

Recordar que:
$e^{-\infty} = 0$

Además:

---

Ecuaciones Diferenciales
Programa Completo

Apúntate a nuestro PROGRAMA COMPLETO de Ecuaciones Diferenciales y conviertete en lo que ERES un PROFESIONAL. Aduéñate de todos los proyectos!!!

Dale click al siguiente enlace para e inscríbete YA!!!

Programa Completo de Ecuaciones Diferenciales, click aquí

Para que obtengas la confianza necesaria en tu vida PROFESIONAL y en tu persona realiza ejercicios de aplicación y practica

En nuestro Programa Completo de Ecuaciones Diferenciales aprenderás a:

• Realizar Modelado Matemático
• Aplicar los algoritmos de solución. Te enseñamos a saber:
  • ¿Por donde Empezar cuando tengo una ED enfrente?
  • ¿Qué tipo de Ecuacion Diferencial tengo enfrente?
  • ¿Qué método emplear para resolve la ED que tengo enfrente?
• Realizar Simulación por Computadora (simbólica y numérica) para transformar tu realidad y la de tu entorno, brindando servicio efectivo y sintiendote realizado como ingeniero, como matemñatico aplicado
• Inscríbete a nuestro Programa Completo de Ecuaciones Diferenciales

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

---

Practica y Programa para que obtengas la confianza necesaria

Actualmente para la enseñanza/aprendizaje de las ecuaciones diferenciales se utiliza los métodos cualitativos y analíticos pero los métodos numéricos permiten varios escenarios en una simulación, lo que reduce costos de producción y riesgos materiales y humanos.

Las aplicaciones requieren de muchos cálculos de simulación para que al presentar un resultado determinado las probabilidades de éxito sean casi aseguradas.

Las simulaciones permiten el ahorro de dinero y tiempo si se considera, por ejemplo, la construcción de modelos a escala o prototipos.

PROGRAMAR EN PYTHON Y MATLAB

Te sugiero aprendas a programar con uno de los cursos de nuestros socios, que hemos escogido con el criterio de mejor calificados por usuarios y de alto valor aportado.

Visita la selección de cursos que te ofrecemos junto con nuestros afiliados, para desarrollar tus habilidades matemáticas, aprobar tus exámenes o realizar tus proyectos e incluso independizarte generando tus propios ingresos, da click aquí y aprende a programar en Python y MATLAB

Click en la imagen

Elabora tu propio camino, inscribite a un curso para principiantes, si no te sientes con las bases suficientes y después en otro para ingenieros y/o emprendedores y hazte independiente al programar en python y matlab

---