Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales en Circuitos Eléctricos tipo LR conectado en serie, con MATHEMATICA

En este artículo aprenderás a aplicar y simular muy fácilmente la Ecuación Diferencial que modela un circuito eléctrico LR conectado en serie utilizando el software para simulación: MATHEMATICA. Esto te permitirá comprobar todos tus ejercicios resueltos de circuitos LR en serie, con lo que podrás aumentar tu confianza en tus resultados.

Para este Efecto utilizaremos la siguiente metodología:

1. Definimos el Esquema o diagrama Eléctrico y los datos, según el ejercicio del artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos
2. Describiremos directamente el código de MATHEMATICA utilizado para modelar el circuito LR (o cualquier ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y función de entrada constante).
3. Desarrollaremos paso a paso el código en MATHEMATICA según los 4 pasos que hemos utilizado para resolver una ecuación diferencial lineal de 1er orden.

El código aquí utilizado está pensado para servirte en la solución de cualquier problema que involucre una ecuación diferencial lineal de 1er orden de coeficientes constantes y función de entrada constante (función de entrada: la función del segundo miembro de la ecuación (1) que aparece en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos), así como en cualquier problema de Circuitos eléctricos LR simples conectados en serie con dichas características. OJO: es muy importante que sustituyamos bien los coeficientes del código al adecuarlo a futuros problemas de EDO’s Lineales de 1er orden con coeficientes constantes y función de entrada constante.

El modelado de un circuito eléctrico proviene de la aplicación básica de las leyes de Kirchoff como lo vimos en el artículo Circuitos Eléctricos y Ecuaciones Diferenciales, así como de conocer las relaciones entre los diferentes componentes del mismo al variar en el tiempo, las más básicas se pueden ver en la Tabla 1, del artículo citado.

Diagrama Eléctrico y los datos, según el ejercicio del artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos

Comenzamos retomando el ejemplo visto en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos, el cual es descrito en la Figura 1.

Datos:

Clear["Global`*"]
volE = 30 (*Voltaje*)
indL = 0.1 (*Inductancia en henrys*)
resistR = 50 (*Resistencia en Ohms*)

Entonces, aplicando la ley de mallas de kirchoff al circuito de la Figura 1, para las caídas de voltaje en función de la corriente $i(t)$, obtenemos el modelado matemático para el circuito:

Es decir, la ecuación diferencial a resolver (ya habiendo sustituído los valores para $ L$ y $ R$ que aparecen en la Figura 1), es:

NOTA: las expresiones matemáticas utilizadas en el modelo de la ecuacion (1), las puedes encontrar en la Tabla 1, del artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos.

Antes de desarrollar el código para resolver la Ecuación (2), Resolveremos con MATHEMATICA el sistema homogéneo de la misma ecuación.

Código de MATHEMATICA utilizado para modelar el circuito LR, (o cualquier ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y función de entrada igual a cero)

eq = indL*ip'[t] + resistR*ip[t] == volE

Solución del Sistema Homogéneo asociado.

Obtención de la corriente transitoria: itr

eq1 = indL*itr'[t] + resistR*itr[t] == 0;
eqSh = DSolve[eq1, itr[t], t] // Expand

El resultado obtenido es:

{{itr[t] -> E^(-500. t) C[1]}}

Ahora si, desarrollamos el código en MATHEMATICA para resolver el problema ejemplo de Ecuaciones Diferenciales aplicada a un Circuito Eléctrico conectado en serie del tipo LR, desarrollado en el artículo citado Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a Circuitos Eléctricos.

Es importante que notes que en MATHEMATICA se puede resolver directamente el problema me diante el código DSolve, sin embargo, a veces la solución arrojada de esta forma, utiliza funciones propias del programa que solo alguien que lo conozca podrá entender, es por eso que lo que hacemos en este caso, es desarrollar los 4 pasos, que utilizamos para resolver una ED lineal de 1er orden. Sin embargo, al final del artículo pondré el código directo para que lo conozcas, compares y con la práctica, utilices. 😉

IMPORTANTE. Es preferible escribir cada código aquí descrito en una misma celda dentro de MATHEMATICA, pues los códigos están relacionados unos con otros, por tanto, si los escribimos en celdas diferentes, tendremos que «Evaluar» las celdas previas, relacionadas con la celda actual a evaluar.

Desarrollo paso a paso para la solución del problema en MATHEMATICA según los 4 pasos que hemos utilizado para resolver una ecuación diferencial lineal de 1er orden.

Solución del sistema no homogéneo mediante el método de los 4 pasos

Obtención de la corriente periódica estacionaria: ip

I. – Forma Estándar:

eq1 = ip'[t] + (resistR/indL)*ip[t] == (volE/indL)

Resultado:

500. ip[t] + Derivative[1][ip][t] == 300.

I. – Factor Integrante:

intFactor = Exp[Integrate[500, t]]

Resultado:

e^(500 t)

Forma de la Solución:

\[y=y_{c}+y_{p}\]

Donde:         \(itr = y_{c}\)       y     \(ip=y_{p}\)

Por tanto:

III. – Paso 3. La solución del sistema homogéneo en MATHEMATICA es:

itr = C*Exp[- Integrate[500, t]]

Resultado:

Ce^(-500 t)

IV. – Paso 4. La solución del sistema no homogéneo con MATHEMATICA es:

ip = 1/intFactor*Integrate[intFactor*300,t]

Resultado:

3/5

Entonces, la solución general buscada es:

\[i(t)=Ce^{-500t}+\frac{3}{5}\]

Ahora, el código para encontrar el valor de «C» y por ende la solución particular para la ecuación (2), se describe a continuación.

Para encontrar el valor de C tomamos el valor de la ecuación resultante anterior (el valor de $i(t)$) y le sacamos su derivada para posteriormente evaluarlo cuando $ t->0$ y luego resolver la ecuación resultante igualando la a $ 0$.

Este procedimiento es lo mismo que utilizar los valores iniciales: $ i(0)=0$ y sustituirlos en la ecuación «ip(t)» y resolvemos para C, el cual es el procedimiento utilizado cuando resolvemos manualmente la Ecuación Diferencial.

Encontrando el Valor de «C»:

ips[t_] = C*Exp[-500 t] + 3/5;
ips'[t]

Resultado:

-500 Ce^(-500 t)

Evaluando para cuando $ i(t)->0$ y resolveindo para «$ C$», tenemos:

eq3 = Evaluate[ips[t] /. t -> 0]
Solve[eq3 == 0, C]

Resultado:

3/5 + C

{{C -> -(3/5)}}

Con lo que obtenemos la Solución del problema, la corriente periódica estacionaria en el circuito LR en serie es, agrupando todo:

\[i(t)= -\frac{3}{5}e^{-500t}+\frac{3}{5}\]

Como había mencionado, MATHEMATICA puede resolver el problema completo con solo un comando, el comando DSolve, utilizando el siguiente código.

Comprobando la Solución del circuito LR  en serie (Ecuación Diferencial lineal ordinaria de primer orden) con el comando DSolve

eqSnh = DSolve[{eq1, ip[0] == 0}, ip[t], t] // FullSimplify

Resultado:

{{ip[t] -> 0.6 - 0.6 E^(-500. t)}}

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