METODO DE EULER PARA ECUACIONES DIFERENCIALES

Al culminar de leer el siguiente artículo, podrás resolver cualquier ecuación diferencial de primer orden con valores iniciales, mediante el método de euler para ecuaciones diferenciales y además podrás graficar tus resultados aquí mismo o copiando el código de MATHEMATICA al final del artículo.

Según la Dra Barbara Oakley de la UC San Diego, en su curso: Leaning how to learn, se puede acceder a la memoria a largo plazo mediante la técnica: Palacio de la memoria, donde se utiliza un lugar físico y totalmente familiar para memorizar objetos que no tienen conexión entre si, como lo puede ser la lista del supermercado.

De esta forma se tiene un esquema visual (croquis) donde se puede depositar los conceptos que se quieren recordar.

Así el ubicar los objetos de la lista en cada uno de los resintos de nuestro lugar físico familar y dar «un paseo», nos ayudaría a recordar dicha lista; también es importante que los objetos depositados en el recinto tengan alguna exageración, como lo puede ser en su tamaño o forma.

Esta es otra técnica que se podría emplear para memorizar los pasos que aquí proponemos para resolver los tipos de ecuaciones diferenciales.

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER

FORMULAS USADAS

\begin{equation} \LARGE y_{n+1} =y_{n} +h f ( x_{n} ,y_{n} ) \end{equation} \begin{equation} \LARGE x_{n+1} =x_{n} +h \end{equation}

Donde:

$ n=0,1,2,3, \ldots$

$ h=$ tamaño del incremento en $ x$

$ f ( x_{n} ,y_{n} ) =$ segundo miembro de la ED de primer orden cuando tiene la forma: $ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$

PROCEDIMIENTO:

1. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$, para extraer su segundo miembro.
2. Definimos $ x_{0}$, $ y_{0}$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema, ejemplo:

para el PVI: $ y’ =0.12 \sqrt{y} +0.4x^{2}$, $ y ( 2 ) =4$, $ y ( 2.5 )$, con $ h=0.5$, las variables buscadas son: $ x_{0} =2$, $ y_{0} =4$ y $ h=0.5$

      iii. Plateamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales, como sigue:

$ \large y_{0+ 1} =y_{0} +h f ( x_{0} ,y_{0} )$

Y una vez obtenido este primer resultado repitímos el proceso iterativamente utilizando los nuevos datos:

$ \large y_{1+1} =y_{1} +h f ( x_{1} ,y_{1} )$

     iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x=2.5$, como se ve el los datos del problema del inciso ii.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON VALORES INICIALES MEDIANTE EL METODO DE EULER

En los problemas siguientes (3 y 4) use el método de Euler para obtener una aproximación a cuatro decimales del valor indicado. Primero utilice $ h=0.1$ y después utilice $ h=0.05$. Determine una solución explicita para cada problema con valores iniciales y después construya tablas con los valores obtenidos.

Ejemplo 1. Ejercicios 2.6. Libro Dennis G. Zill (Problema 3)

$ \large y’ =y$,   $ y ( 0 ) =1$,  $ y ( 1.0 )$

Primer caso $ h=0.1$

Pasos:
i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$, para extraer su segundo miembro

$ \frac{d y}{d x} =y$

ii. Definimos $ x_{0}$, $ y_{0}$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_{0} =0$,

$ y_{0} =1,$

Para este primer caso: $ h=0.1$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*} y_{0+1} & = & y_{0} +h f ( x_{0} ,y_{0} )\\ y_{1} & = & y_{0} +h \ast ( y_{0} )\\ y_{1} & = & 1+ ( 0.1 ) ( 1 ) \end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x=1.0$.

\begin{eqnarray*} y_{1} & = & 1+ ( 0.1 ) ( 1 )\\ & = & 1+0.1\\ y_{1} =y ( 0.1 ) & = & 1.1 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{1+1} & = & y_{1} +h f ( x_{1} ,y_{1} )\\ y_{2} & = & y_{1} +h \ast ( y_{0} )\\ y_{2} & = & 1.1+ ( 0.1 ) ( 1.1 )\\ & = & 1.1+0.11\\ y_{2} =y ( 0.2 ) & = & 1.21 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{2+1} & = & y_{2} +h f ( x_{2} ,y_{2} )\\ y_{3} & = & y_{2} +h \ast ( y_{2} )\\ y_{3} & = & 1.21+ ( 0.1 ) ( 1.21 )\\ & = & 1.21+0.121\\ y_{3} =y ( 0.3 ) & = & 1.331 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{3+1} & = & y_{3} +h f ( x_{3} ,y_{3} )\\ y_{4} & = & y_{3} +h \ast ( y_{3} )\\ y_{4} & = & 1.331+ ( 0.1 ) ( 1.331 )\\ & = & 1.331+0.1331\\ y_{4} =y ( 0.4 ) & = & 1.4641 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{4+1} & = & y_{4} +h f ( x_{4} ,y_{4} )\\ y_{5} & = & y_{4} +h \ast ( y_{4} )\\ y_{5} & = & 1.4641+ ( 0.1 ) ( 1.4641 )\\ & = & 1.4641+0.14641\\ y_{5} =y ( 0.5 ) & = & 1.61051 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{5+1} & = & y_{5} +h f ( x_{5} ,y_{5} )\\ y_{6} & = & y_{5} +h \ast ( y_{5} )\\ y_{6} & = & 1.61051+ ( 0.1 ) ( 1.61051 )\\ & = & 1.61051+0.16051\\ y_{6} =y ( 0.6 ) & = & 1.771561 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{6+1} & = & y_{6} +h f ( x_{6} ,y_{6} )\\ y_{7} & = & y_{6} +h \ast ( y_{6} )\\ y_{7} & = & 1.771561+ ( 0.1 ) ( 1.771561 )\\ & = & 1.771561+0.1771561\\ y_{7} =y ( 0.7 ) & = & 1.9487171 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{7+1} & = & y_{7} +h f ( x_{7} ,y_{7} )\\ y_{8} & = & y_{7} +h \ast ( y_{7} )\\ y_{8} & = & 1.9487171+ ( 0.1 ) ( 1.9487171 )\\ & = & 1.9487171+0.19487171\\ y_{8} =y ( 0.8 ) & = & 2.14358881 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{8+1} & = & y_{8} +h f ( x_{8} ,y_{8} )\\ y_{9} & = & y_{8} +h \ast ( y_{8} )\\ y_{9} & = & 2.14358881+ ( 0.1 ) ( 2.14358881 )\\ & = & 2.14358881+0.214358881\\ y_{9} =y ( 0.9 ) & = & 2.357947 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{9+1} & = & y_{9} +h f ( x_{9} ,y_{9} )\\ y_{10} & = & y_{9} +h \ast ( y_{9} )\\ y_{10} & = & 2.357947+ ( 0.1 ) ( 2.357947 )\\ & = & 2.357947+0.2357947\\ y_{10} =y ( 1.0 ) & = & 2.593741769 \end{eqnarray*}

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Segundo caso $ h=0.05$ para el mismo problema 3

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$, para extraer su segundo miembro

$ \frac{d y}{d x} =y$

ii. Definimos $ x_{0}$, $ y_{0}$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_{0} =0$,

$ y_{0} =1,$

Para este segundo caso: $ h=0.05$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*} y_{0+1} & = & y_{0} +h f ( x_{0} ,y_{0} )\\ y_{1} & = & y_{0} +h \ast ( y_{0} )\\ y_{1} & = & 1+ ( 0.05 ) ( 1 ) \end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x=1.0$.

\begin{eqnarray*} y_{1} & = & 1+ ( 0.05 ) ( 1 )\\ & = & 1+0.05\\ y_{1} =y ( 0.05 ) & = & 1.05 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{1+1} & = & y_{1} +h f ( x_{1} ,y_{1} )\\ y_{2} & = & y_{1} +h \ast ( y_{1} )\\ y_{2} & = & 1.05+ ( 0.05 ) ( 1.05 )\\ & = & 1.05+0.0525\\ y_{2} =y ( 0.1 ) & = & 1.1025 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{2+1} & = & y_{2} +h f ( x_{2} ,y_{2} )\\ y_{3} & = & y_{2} +h \ast ( y_{2} )\\ y_{3} & = & 1.1025+ ( 0.05 ) ( 1.1025 )\\ & = & 1.1025+0.055125\\ y_{3} =y ( 0.15 ) & = & 1.157625 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{3+1} & = & y_{3} +h f ( x_{3} ,y_{3} )\\ y_{4} & = & y_{3} +h \ast ( y_{3} )\\ y_{4} & = & 1.157625+ ( 0.05 ) ( 1.157625 )\\ & = & 1.157625+0.05788125\\ y_{4} =y ( 0.2 ) & = & 1.21550625 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{4+1} & = & y_{4} +h f ( x_{4} ,y_{4} )\\ y_{5} & = & y_{4} +h \ast ( y_{4} )\\ y_{5} & = & 1.21550625+ ( 0.05 ) ( 1.21550625 )\\ & = & 1.21550625+0.06077\\ y_{5} =y ( 0.25 ) & = & 1.276281563 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{5+1} & = & y_{5} +h f ( x_{5} ,y_{5} )\\ y_{6} & = & y_{5} +h \ast ( y_{5} )\\ y_{6} & = & 1.276281563+ ( 0.05 ) ( 1.276281563 )\\ & = & 1.276281563+0.063814078\\ y_{6} =y ( 0.3 ) & = & 1.340095641 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{6+1} & = & y_{6} +h f ( x_{6} ,y_{6} )\\ y_{7} & = & y_{6} +h \ast ( y_{6} )\\ y_{7} & = & 1.340095641+ ( 0.05 ) ( 1.340095641 )\\ & = & 1.340095641+0.067004\\ y_{7} =y ( 0.35 ) & = & 1.407100423 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{7+1} & = & y_{7} +h f ( x_{7} ,y_{7} )\\ y_{8} & = & y_{7} +h \ast ( y_{7} )\\ y_{8} & = & 1.407100423+ ( 0.05 ) ( 1.407100423 )\\ & = & 1.407100423+0.070355021\\ y_{8} =y ( 0.4 ) & = & 1.477397321 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{8+1} & = & y_{8} +h f ( x_{8} ,y_{8} )\\ y_{9} & = & y_{8} +h \ast ( y_{8} )\\ y_{9} & = & 1.477397321+ ( 0.05 ) ( 1.477397321 )\\ & = & 1.477397321+0.073869866\\ y_{9} =y ( 0.45 ) & = & 1.551267187 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{9+1} & = & y_{9} +h f ( x_{9} ,y_{9} )\\ y_{10} & = & y_{9} +h \ast ( y_{9} )\\ y_{10} & = & 1.551267187+ ( 0.05 ) ( 1.551267187 )\\ & = & 1.551267187+0.073869866\\ y_{10} =y ( 0.5 ) & = & 1.628830546 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{10+1} & = & y_{10} +h f ( x_{10} ,y_{10} )\\ y_{11} & = & y_{10} +h \ast ( y_{10} )\\ y_{11} & = & 1.628830546+ ( 0.05 ) ( 1.628830546 )\\ & = & 1.628830546+0.081441527\\ y_{11} =y ( 0.55 ) & = & 1.710272073 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{11+1} & = & y_{11} +h f ( x_{11} ,y_{11} )\\ y_{12} & = & y_{11} +h \ast ( y_{11} )\\ y_{12} & = & 1.7102272073+ ( 0.05 ) ( 1.7102272073 )\\ & = & 1.7102272073+0.085513603\\ y_{12} =y ( 0.6 ) & = & 1.795785677 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{12+1} & = & y_{12} +h f ( y_{12} )\\ y_{13} & = & y_{12} +h \ast ( y_{12} )\\ y_{13} & = & 1.795785677+ ( 0.05 ) ( 1.795785677 )\\ & = & 1.795785677+0.08978\\ y_{13} =y ( 0.65 ) & = & 1.885574961 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{13+1} & = & y_{13} +h f ( x_{13} ,y_{13} )\\ y_{14} & = & y_{13} +h \ast ( y_{13} )\\ y_{14} & = & 1.885574961+ ( 0.05 ) ( 1.885574961 )\\ & = & 1.885574961+0.09427\\ y_{14} =y ( 0.7 ) & = & 1.979853709 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{14+1} & = & y_{14} +h f ( x_{14} ,y_{14} )\\ y_{15} & = & y_{14} +h \ast ( y_{14} )\\ y_{15} & = & 1.979853709+ ( 0.05 ) ( 1.979853709 )\\ & = & 1.979853709+0.098992685\\ y_{15} =y ( 0.75 ) & = & 2.078846394 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{15+1} & = & y_{15} +h f ( x_{15} ,y_{15} )\\ y_{16} & = & y_{15} +h \ast ( y_{15} )\\ y_{16} & = & 2.078846394+ ( 0.05 ) ( 2.0788 )\\ & = & 2.078846394+0.103942319\\ y_{16} =y ( 0.8 ) & = & 2.182788714 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{16+1} & = & y_{16} +h f ( x_{16} ,y_{16} )\\ y_{17} & = & y_{16} +h \ast ( y_{16} )\\ y_{17} & = & 2.182788714+ ( 0.05 ) ( 2.182788714 )\\ & = & 2.182788714+0.114570915\\ y_{17} =y ( 0.85 ) & = & 2.291418307 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{17+1} & = & y_{17} +h f ( x_{17} ,y_{17} )\\ y_{18} & = & y_{17} +h \ast ( y_{17} )\\ y_{18} & = & 2.291418307+ ( 0.05 ) ( 2.291418307 )\\ & = & 2.291418307+0.114570915\\ y_{18} =y ( 0.9 ) & = & 2.405989222 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{18+1} & = & y_{18} +h f ( x_{18} ,y_{18} )\\ y_{19} & = & y_{18} +h \ast ( y_{18} )\\ y_{19} & = & 2.405989222+ ( 0.05 ) ( 2.405989222 )\\ & = & 2.405989222+0.120299461\\ y_{19} =y ( 0.95 ) & = & 2.526288683 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{19+1} & = & y_{19} +h f ( x_{19} ,y_{19} )\\ y_{20} & = & y_{19} +h \ast ( y_{19} )\\ y_{20} & = & 2.526288683+ ( 0.05 ) ( y_{19} )\\ & = & 2.526288683+0.126314434\\ y_{20} =y ( 1.0 ) & = & 2.652603117 \end{eqnarray*}

El código en SAGE para resolver los problemas mediante métodos numéricos lo puedes ver en la presentación: De donde sale el Método de Euler. da click aquí.

A continuación te dejo este mismo problema resuelto con SAGE. Si quieres aprender a editar la celda de SAGE, revisa el siguiente artículo: Simulación, Graficación y Aplicación de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Físicos can SAGE.

En el siguiente enlace puedes acceder a la celda de SAGE para simular en tiempo real este problema 3

Ejercicios 2.6. Dennis G. Zill. Problema 3. Da click aquí

Ejemplo 2. Ejercicios 2.6 Libro Dennis G. Zill (Problema 4)

$ \large y’ =2x y$,   $ y ( 1 ) =1$;   $ y ( 1.5 )$

Primer caso $ h=0.1$

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$, para extrar su segundo miembro

$ \frac{d y}{d x} =2x y$

ii. Definimos $ x_{0}$, $ y_{0}$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_{0} =1$,

$ y_{0} =1,$

Para este primer caso: $ h=0.1$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*} y_{0+1} & = & y_{0} +h f ( x_{0} ,y_{0} )\\ y_{1} & = & y_{0} +h \ast ( 2 \ast x_{0} \ast y_{0} )\\ y_{1} & = & 1+ ( 0.1 ) ( 2 ( 1 ) ( 1 ) ) \end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x=1.5$.

\begin{eqnarray*} y_{1} & = & 1+ ( 0.1 ) ( 2 )\\ & = & 1+0.2\\ y_{1} =y ( 1.1 ) & = & 1.2 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{1+1} & = & y_{1} +h f ( x_{1} ,y_{1} )\\ y_{2} & = & y_{1} +h \ast ( 2 \ast x_{1} \ast y_{1} )\\ y_{2} & = & 1.2+ ( 0.1 ) ( 2 ( 1.1 ) ( 1.2 ) )\\ & = & 1.2+ ( 0.1 ) ( 2.64 )\\ & = & 1.2+0.264\\ y_{2} =y ( 1.2 ) & = & 1.464 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{2+1} & = & y_{2} +h f ( x_{2} ,y_{2} )\\ y_{3} & = & y_{2} +h \ast ( 2 \ast x_{2} \ast y_{2} )\\ y_{3} & = & 1.464+ ( 0.1 ) ( 2 ( 1.2 ) ( 1.464 ) )\\ & = & 1.464+ ( 0.1 ) ( 3.5136 )\\ & = & 1.464+0.35136\\ y_{3} =y ( 1.3 ) & = & 1.81536 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{3+1} & = & y_{3} +h f ( x_{3} ,y_{3} )\\ y_{4} & = & y_{3} +h \ast ( 2 \ast x_{3} \ast y_{3} )\\ y_{4} & = & 1.81536+ ( 0.1 ) ( 2 ( 1.3 ) ( 1.81536 ) )\\ & = & 1.81536+ ( 0.1 ) ( 4.719936 )\\ & = & 1.81536+0.4719936\\ y_{4} =y ( 1.4 ) & = & 2.2873536 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{4+1} & = & y_{4} +h f ( x_{4} ,y_{4} )\\ y_{5} & = & y_{4} +h \ast ( 2 \ast x_{4} \ast y_{4} )\\ y_{5} & = & 2.2873536+ ( 0.1 ) ( 2 ( 1.4 ) ( 2.2873536 ) )\\ & = & 2.2873536+ ( 0.1 ) ( 6.40459008 )\\ y_{5} =y ( 1.5 ) & = & 2.927812608 \end{eqnarray*}

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Segundo caso $ h=0.05$ para el mismo problema 4

Pasos:

i. Escribimos la ED en la forma: $ \frac{d y}{d x} =f ( x,y )$, para extrar su segundo miembro

$ \frac{d y}{d x} =2x y$

ii. Definimos $ x_{0}$, $ y_{0}$ y $ h$ de acuerdo a los datos del problema

$ x_{0} =1$,

$ y_{0} =1,$

Para este segundo caso: $ h=0.05$

iii. Planteamos la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales:

\begin{eqnarray*} y_{0+1} & = & y_{0} +h f ( x_{0} ,y_{0} )\\ y_{1} & = & y_{0} +h \ast ( 2 \ast x_{0} \ast y_{0} )\\ y_{1} & = & 1+ ( 0.05 ) ( 2 ( 1 ) ( 1 ) ) \end{eqnarray*}

iv. Desarrollamos hasta el valor buscado en $ x$, en este caso: $ x=1.5$.

\begin{eqnarray*} y_{1} & = & 1+ ( 0.05 ) ( 2 )\\ & = & 1+0.1\\ y_{1} =y ( 1.05 ) & = & 1.1 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{1+1} & = & y_{1} +h f ( x_{1} ,y_{1} )\\ y_{2} & = & y_{1} +h \ast ( 2 \ast x_{1} \ast y_{1} )\\ y_{2} & = & 1.1+ ( 0.05 ) ( 2 ( 1.05 ) ( 1.1 ) )\\ & = & 1.1+ ( 0.05 ) ( 2.31 )\\ & = & 1.1+0.1155\\ y_{2} =y ( 1.1 ) & = & 1.2155 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{2+1} & = & y_{2} +h f ( x_{2} ,y_{2} )\\ y_{3} & = & y_{2} +h \ast ( 2 \ast x_{2} \ast y_{2} )\\ y_{3} & = & 1.2155+ ( 0.05 ) ( 2 ( 1.1 ) ( 1.2155 ) )\\ & = & 1.2155+ ( 0.05 ) ( 2.6741 )\\ & = & 1.2155+0.133705\\ y_{3} =y ( 1.15 ) & = & 1.349205 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{3+1} & = & y_{3} +h f ( x_{3} ,y_{3} )\\ y_{4} & = & y_{3} +h \ast ( 2 \ast x_{3} \ast y_{3} )\\ y_{4} & = & 1.349205+ ( 0.05 ) ( 2 ( 1.15 ) ( 1.349205 ) )\\ & = & 1.349205+ ( 0.05 ) ( 3.1031715 )\\ & = & 1.349205+0.155158575\\ y_{4} =y ( 1.2 ) & = & 1.504363575 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{4+1} & = & y_{4} +h f ( x_{4} ,y_{4} )\\ y_{5} & = & y_{4} +h \ast ( 2 \ast x_{4} \ast y_{4} )\\ y_{5} & = & 1.504363575+ ( 0.05 ) ( 2 ( 1.2 ) ( 1.5043 ) )\\ & = & 1.504363575+ ( 0.05 ) ( 3.61047258 )\\ & = & 1.504363575+0.18052\\ y_{5} =y ( 1.25 ) & = & 1.684887204 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{5+1} & = & y_{5} +h f ( x_{5} ,y_{5} )\\ y_{6} & = & y_{5} +h \ast ( 2 \ast x_{5} \ast y_{5} )\\ y_{6} & = & 1.684887204+ ( 0.05 ) ( 2 ( 1.25 ) ( 1.68488 ) )\\ & = & 1.684887204+ ( 0.05 ) ( 4.21221801 )\\ & = & 1.684887204+0.2106109\\ y_{6} =y ( 1.3 ) & = & 1.895498195 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{6+1} & = & y_{6} +h f ( x_{6} ,y_{6} )\\ y_{7} & = & y_{6} +h \ast ( 2 \ast x_{6} \ast y_{6} )\\ y_{7} & = & 1.895498105+ ( 0.05 ) ( 2 ( 1.3 ) ( 1.895498195 ) )\\ & = & 1.895498105+ ( 0.05 ) ( 4.92829 )\\ & = & 1.895498105+0.246414753\\ y_{7} =y ( 1.35 ) & = & 2.141912859 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{7+1} & = & y_{7} +h F ( x_{7} ,y_{7} )\\ y_{8} & = & y_{7} +h \ast ( 2 \ast x_{7} \ast y_{7} )\\ y_{8} & = & 2.141912859+ ( 0.05 ) ( 2 ( 1.35 ) ( 2.141912859 ) )\\ & = & 2.141912859+ ( 0.05 ) ( 5.783164 )\\ & = & 2.141912859+0.289158235\\ y_{8} =y ( 1.4 ) & = & 2.431071095 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{8+1} & = & y_{8} +h f ( x_{8} ,y_{8} )\\ y_{9} & = & y_{8} +h \ast ( 2 \ast x_{8} \ast y_{8} )\\ y_{9} & = & 2.431071095+ ( 0.05 ) ( 2 ( 1.4 ) ( 2.431071095 ) )\\ & = & 2.431071095+ ( 0.05 ) ( 6.806999 )\\ & = & 2.431071095+0.3403349\\ y_{9} =y ( 1.45 ) & = & 2.771421048 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} y_{9+1} & = & y_{9} +h f ( x_{9} ,y_{9} )\\ y_{10} & = & y_{9} +h \ast ( 2 \ast x_{9} \ast y_{9} )\\ y_{10} & = & 2.771421048+ ( 0.05 ) ( 2 ( 1.45 ) ( 2.771421048 ) )\\ & = & 2.771421048+ ( 0.05 ) ( 8.03712104 )\\ & = & 2.771421048+0.401856052\\ y_{10} =y ( 1.5 ) & = & 3.1732771 \end{eqnarray*}

El código en SAGE para resolver los problemas mediante métodos numéricos lo puedes ver en la presentación: De donde sale el Método de Euler. da click aquí.

A continuación te dejo este mismo problema resuelto con SAGE. Si quieres aprender a editar la celda de SAGE, revisa el siguiente artículo: Simulación, Graficación y Aplicación de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Físicos con SAGE.

Dale click a la tecla evaluate para obtener el resultado numérico para este problema con dicho software. La programación del método de euler para ecuaciones diferenciales con valores iniciales se puede ver y EDITAR dentro de la celda (la edición es para calcular otros problemas. Ver: Simulación, Graficación y Aplicación de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Físicos con SAGE.) el resultado obtenido en este caso será igual a las siguientes gráficas:

En el siguiente enlace puedes acceder a la celda de SAGE para simular en tiempo real este problema 4

Ejercicios 2.6. Dennis G. Zill. Problema 4. Da click aquí

El código en MATHEMATICA para resolver mediante el método de euler para ecuaciones diferenciales es el siguiente:

Clear["Global'*"]

s4th = NDSolve[{y'[x] == 2.0 x y[x], y[1] == 1}, y, {x, 1, 1.5}, 
 Method -> "ExplicitEuler", "StartingStepSize" -> 1/10];
t4th = Table[{h, y[h] /. s4th}, {h, 1, 1.5, 0.1}];
TableForm[t4th]
e4th = y[x] /. s4th[[1]];
Plot[e4th, {x, 1, 1.5}]

sol4th2 = 
 NDSolve[{y'[x] == 2.0 x y[x], y[1] == 1}, y, {x, 1, 1.5}, 
 Method -> "ExplicitEuler", "StartingStepSize" -> 1/20];
t1h2 = Table[{i, y[i] /. sol4th2}, {i, 1, 1.5, 0.05}];
TableForm[t1h2]
eqn4th2 = y[x] /. sol4th2[[1]];
Plot[eqn4th2, {x, 1, 1.5}]

Nota: al pegar el código, es necesario corregir los espacios y verificar que la variable independiente (en este caso «x» esté de color verde, así como la variable independiente «y» ó «f(x)» esté en azul).

Las tendencias actuales para el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales se inclinan por enseñar la materia mediante los métodos cualitativos y numéricos por sobre los métodos analíticos; esto es debido sobre todo a la aplicabilidad de esta materia en el mundo real, ya que actualmente las aplicaciones requieren de muchos cálculos de simulación donde se supongan varios escenarios para que al momento de presentar un resultado de un determinado problema las probabilidades de éxito sean casi aseguradas. Además las simulaciones permiten el ahorro de dinero y tiempo si se considera por ejemplo la construcción de modelos a escala o prototipos.

Por esta razón te invito a aprender programación y simulación por computadora con cursos que te servirán ademas para tus actividades profesionales como el siguiente:

 

PROGRAMACIÓN

Puedes utilizar software de código abierto como SAGE, para la simulación de Ecuaciones Diferenciales mediante métodos numéricos como lo puedes ver en el siguiente artículo:

También puedes ver el siguiente enlace: Simulación, Graficación y Aplicación de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Físicos can SAGE.

Utiliza el código de MATHEMATICA que te he proporcionado para que modeles y grafiques tus resultados y se afiance más TU CONFIANZA y TU HABILIDAD.

Prepara tu mente para desarrollar tu intuición y confianza, para esto es necesario, como ya sabemos, la práctica y el error, pero también es importante que conozcas cómo funciona el cerebro para sacar mayor partido de él. Por ello te invito a leer el artículo La técnica perfecta para aprender ecuaciones diferenciales, da click aquí, y practicar con varios ejercicios.

Puedes descargar este mismo artículo en formato PDF, aquí (da click aquí)

Quiero más ejemplos del metodo de euler

Quiero Ejemplos de cómo resolver estos ejercicios programando el método de Euler con SAGE y simulando en tiempo real

Cómo simular circuitos eléctricos o cualquier Ecuacion Diferencial con SAGE

Quiero ejemplos de ecuaciones lineales de 1er orden en pasos

Presentación: De donde sale el Método de Euler. da click aquí.

Presentación: Algoritmo para Implementar el Método de Euler con SAGE, da click aquí.

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