Ecuacion Diferencial autonoma de primer orden

Ecuacion diferencial autonoma de primer orden

En este artículo aprenderás de manera clara y sencilla cuando una Ecuacion Diferencial (ED) ordinaria de primer orden es autonoma, y marcaremos con precisión su forma general, para saber cuándo nos encontramos frente a una de ellas.

Este es un ejercicio resuelto extraído de:

Ejercicios 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma. (Problema 38).

Lea el siguiente análisis y construya una ecuación diferencial lineal de primer orden para la que todas las soluciones no constantes tienden a la asíntota horizontal $y = 4$  conforme $x \rightarrow \infty$ .

ANÁLISIS:

La solución de una ecuación diferencial :

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-3y=6$ …………………….(1)

Es la suma de dos soluciones:

$y=y_{c}+y_{p}$

Donde:

$y_{C}=C{{\text{e}}^{3x}}$ , es la solución homogénea del (1).

$y_{p}=-2$ es una solución particular de la ecuación no homogénea: $y’-3y=6$ .


(Se puede verificar estos resultados aplicando el Método de los 4 pasos, aquí hay un ejemplo de la aplicación del método, da click aquí, o mejor aún se puede utilizar el método de separación de variables, ver más adelante un ejemplo de solución con este último método)

Ecuación diferencial autonoma y la forma estándar de una ED

Cuando $a_{1}{(x)}, a_{0}{(x)}$ y $g{(x)}$ son constantes en la siguiente ecuación:$a_{1}\left( x \right)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+a_{0}\left( x \right)y=g\left( x \right)$ (FormaestándardeunaED de 1er orden),

La ecuación diferencial es autonoma.

Dicho de otra forma, una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece explícitamente se llama ecuación diferencial autonoma.

En la ecuación diferencial (1), al escribirla en la forma: $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3\left( x+2 \right)$, podemos ver que $-2$, es un punto crítico y que es inestable (un repulsor); esto es más claro, si vemos la gráfica de la ED para diferentes valores de  de $C$, de su solución: $y\left( x \right)=-2+C{{\text{e}}^{3x}}$.

Valores para CValores de y(x)
-80-2-80 E^(3 x)
-20-2-20 E^(3 x)
-5-2-5 E^(3 x)
-1-2-E^(3 x)
-0.1-2-0.1 E^(3 x)
-0.01-2-0.01 E^(3 x)
-0.001-2-0.001 E^(3 x)
-0.0001-2-0.0001 E^(3 x)
-0.00001-2-0.00001 E^(3 x)
0-2
0.00001-2+0.00001 E^(3 x)
0.0001-2+0.0001 E^(3 x)
0.001-2+0.001 E^(3 x)
0.01-2+0.01 E^(3 x)
0.1-2+0.1 E^(3 x)
1-2+E^(3 x)
5-2+5 E^(3 x)
20-2+20 E^(3 x)
80-2+80 E^(3 x)
ecuacion diferencial autonoma de primer orden

Ecuacion Diferencial autonoma de primer orden

Gráfica de algunas de las soluciones de la ED (autónoma): $y’-3y=6$. En esta gráfica se ve por qué el nombre de “repulsor” para el valor de $y=-2$. Las curvas por arriba del punto crítico: $y=-2$, son independientes de las curvas solución que pasan por debajo de dicho punto.

En esta gráfica se puede ver como cualquiera de las curvas solución de la ED lineal $y’-3y=6$, que estén por arriba o por debajo del punto crítico (también llamado punto de equilibrio): $y=-2$, se alejan de esta recta horizontal, conforme $x\to \infty $ .

FIN DEL ANÁLISIS.

Ahora, el problema a plantear es:

CONSTRUIR UNA ED LINEAL DE PRIMER ORDEN PARA QUE TODAS LAS SOLICIONES NO CONSTANTES TIENDAN A LA ASÍNTOTA $y=4$ , CONFORME $x\to \infty $.

Solución del problema # 38 del capítulo 2.3 Libro Dennis G. Zill, Ed 7ma.

Para resolver este problema solo necesitamos escribir la ED autonoma, de tal forma siguiente :

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left( x,y \right)$, forma general de una ecuación diferencial de primer orden

Donde:

$f\left( x,y \right)=4-y$

O

$f\left( x,y \right)=y-4$

De tal forma que:

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=4-y$

O

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=y-4$

Una vez visto esto, resolvemos la Ecuación diferencial autónoma como una ecuación diferencial lineal de primer orden, utilizando el método del factor integrante o método de los 4 pasos, referido anteriormente. El desarrollo es como sigue.

Resolviendo la Ecuacion Diferencial autonoma de primer orden:

La ED autónoma es una ED separable, por tanto su solución se reduce a agrupar las variables correspondientes en cada miembro de la ecuación e integrar:

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=4-y$

$\frac{dy}{(4-y)}=\text{d}x$

$\mathop{\int }^{}\frac{\text{d}y}{\left( 4-y \right)}=\mathop{\int }^{}\text{d}x+C$

$\ln \left| 4-y \right|=x+C$

$4-y={{\text{e}}^{x+c}}$

$4-y=C_{1}{{\text{e}}^{x}}$

Por tanto, la solución de la Ecuacion Diferencial autonoma de primer orden es:

$4-{{C}_{1}}{{\text{e}}^{x}}=y$

Obteniendo diversos valores para $C$, y graficando, tenemos:

Valores para CValores de y(x)
-804-80 E^-x
-204-20 E^-x
-54-5 E^-x
-14-E^-x
-0.14-0.1 E^-x
-0.014-0.01 E^-x
-0.0014-0.001 E^-x
-0.00014-0.0001 E^-x
-0.000014-0.00001 E^-x
04
0.000014+0.00001 E^-x
0.00014+0.0001 E^-x
0.0014+0.001 E^-x
0.014+0.01 E^-x
0.14+0.1 E^-x
14+E^-x
54+5 E^-x
204+20 E^-x
804+80 E^-x
ecuacion diferencial autonoma de primer orden

Ecuacion Diferencial autonoma de primer orden

Gráfica de algunas de las soluciones de la ED  (autónoma): $y’+y=4$. En esta gráfica se ve por qué el nombre de “atractor” (OJO: para este caso el punto crítico es un atractor) para el valor de $y=4$. Las curvas por arriba del punto crítico: $y=4$, son independientes de las curvas solución que pasan por debajo de dicho punto.

En este caso las  curvas solución de la ED $y’+y=4$, que estén por arriba o por debajo del punto crítico o punto de equilibrio: $y=4$, convergen hacia esta recta horizontal, conforme $x\to \infty$ .

Resolviendo del mismo modo la segunda ED autónoma ($\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=y-4$), tenemos como resultado:

$y={{C}_{1}}{{\text{e}}^{x}}+4$

Aún y cuando el resultado es aparentemente el mismo el comportamiento de las curvas solución es diferente,  (puesto que el signo de la pendiente del campo de isóclinas es negativo):

$f\left( x,y \right)=4-y$ , el signo de $y$ es negativo.

$f\left( x,y \right)=y-4$, el signo de $y$ es positivo.

Por tanto, los valores y la gráfica son:

Valores para CValores de y(x)
-804-80 E^x
-204-20 E^x
-54-5 E^x
-14-E^x
-0.14-0.1 E^x
-0.014-0.01 E^x
-0.0014-0.001 E^x
-0.00014-0.0001 E^x
-0.000014-0.00001 E^x
04
0.000014+0.00001 E^x
0.00014+0.0001 E^x
0.0014+0.001 E^x
0.014+0.01 E^x
0.14+0.1 E^x
14+E^x
54+5 E^x
204+20 E^x
804+80 E^x
ecuacion Diferencial autonoma de primer orden

ED autónoma

Gráfica de algunas de las soluciones de la ED (autónoma): $y’-y=-4$. Donde el valor del “repulsor” es $y=4$

En este caso, nuevamente, las  curvas solución de la ED $y’-y=-4$, que estén por arriba o por debajo del punto crítico o punto de equilibrio: $latex y=4$, se alejan de esta recta horizontal, conforme $x\to \infty$ .

En general una ecuacion diferencial autónoma de primer orden es una ED ordinaria en la que la variable independiente no aparece. Este tipo de ecuación es de la forma:

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left( y \right)$

Es importante practicar los ejercicios para adquirir destreza, yo te propongo que construyas 3 ED autónomas y las grafiques para afirmar el conocimiento, además de entenderlo mejor. Para tal efecto, te dejo el código del software Mathematica, que te permitirá realizar las gráficas y visualizar los conceptos con lo que afianzaras el conocimiento con facilidad y mayor claridad. Suerte.

Clear["Global`*"]
s1=DSolve[y'[x]-y[x]==Š-4,y[x],x]
tp=Table[Evaluate[s1[[1,1,2]]/.C[1]->i],{i,{-80,-20,-5,-1,-0.3,-0.1,-0.03,-0.01,-0.003,-0.001,-0.0003,-0.0001,-0.00003,-0.00001,-0.000003,0,0.000003,0.00001,0.00003, 0.0001,0.0003,0.001,0.003,0.01,0.03,0.1,0.3,1,5,20,80}}];
tf2=Table[{i,Evaluate[s1[[1,1,2]]/.C[1]->i]},{i,{-80,-20,-5,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,0,0.00001, 0.0001,0.001,0.01,0.1,1,5,20,80}}];
TableForm[tf2,TableHeadings->{None,{"Valores para C","Valores de y(x)"}},TableAlignments->Left]
Plot[Tooltip[tp],{x,-10,10},PlotRange->{-2,8}, Frame->True]

NOTA Es importante que al pegar el código en MATHEMATICA corroboren que no haya espacios ni caracteres diferentes a los acá puestos, además de confirmar que la variable independiente (“x”, en este caso), sea de color verde y la dependiente (“y” en este caso), sea de color azul.

Una de las formas efectivas de aprender cualquier cosa se obtiene al aplicar los conocimientos y “hacer” lo que se ha aprendido, para ecuaciones diferenciales esto se reduce a resolver los problemas, puntualmente aplicando las técnicas aprendidas de solución de problemas o modelado de sistemas, ya sea de forma, gráfica, analítica y/o numérica.

En mi artículo “La técnica perfecta. Cómo aprender ecuaciones diferenciales o cualquier cosa“, hablo de cómo con la conciencia adecuado del funcionamiento del cerebro y las herramientas apropiadas, puedes rápidamente entender y aplicar los conceptos que vayas aprendiendo de cualquier cosa.

La mejor de las herramientas para entender y aplicar los conocimiento de Ecuaciones Diferenciales hoy en día es la programación, por eso te invito a aprender a programar de una vez por todascon el curso que te presento en el siguiente link, da click aquí. También puedes empezar a programar utilizando las celdas de SAGE que he habilitado en este sitio para tal efecto. SAGE es un lenguaje de alto nivel utilizado para computo científico entre otras cosas que es muy fácil de aprender; aquí puedes ver unos ejemplos (click aquí) de su aplicación, una vez visto dichos ejemplos escribe tus propios códigos en esta celda, da click aquí y haz tu simulación.

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Que estes bien. 😉

2 pensamientos en “Ecuacion Diferencial autonoma de primer orden

    • Hola Jon:
      Supongo que te faltó una “x”, en el primer miembro de la ecuación, es decir:
      $\displaystyle y\ln (x)\left( \frac{dx}{dy} \right)={{\left( \frac{y+1}{x} \right)}^{2}}$
      Si es el caso procede como sigue:
      (1) Separas variables
      $\displaystyle {{x}^{2}}\ln (x)dx=\frac{{{(y+1)}^{2}}}{y}dy$
      (2) Integras por partes el miembro izquierdo de la ecuación y el derecho utilizas algebra:
      $\displaystyle \int{{{x}^{2}}\ln (x)dx=\int{\frac{{{(y+1)}^{2}}}{y}}}dy+C$

      Lado izquierdo:
      $\displaystyle u=\ln (x)$ ; $\displaystyle dv={{x}^{2}}dx$
      $\displaystyle du=\frac{1}{x}$ ; $\displaystyle v=\frac{{{x}^{3}}}{3}dx$
      Por lo que la integración del lado izquierdo es:
      $\displaystyle \int{{{x}^{2}}\ln (x)dx=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln (x)-\int{\frac{{{x}^{2}}}{3}}}dx$
      $=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln (x)-\frac{1}{9}{{x}^{3}}$

      Lado Derecho (utilizas álgebra para simplificar la integración):
      $\displaystyle \frac{{{(y+1)}^{2}}}{y}=\frac{{{y}^{2}}+2y+1}{y}=y+2+\frac{1}{y}$
      Entonces:
      $\displaystyle \int{\frac{{{(y+1)}^{2}}}{y}}dy=\int{(y+2+\frac{1}{y})dy}$
      Por ultimo:
      $\displaystyle \int{(y+2+\frac{1}{y})dy}+C=\int{ydy+2\int{dy}+\int{\frac{1}{y}dy+C}}$
      $\displaystyle \int{ydy+2\int{dy}+\int{\frac{1}{y}dy+C}}=\frac{{{y}^{2}}}{2}+2y+\ln (y)+C$

      De donde, igualando los resultados del lado derecho e izquierdo, obtenemos:
      $\displaystyle \frac{{{x}^{3}}}{3}\ln (x)-\frac{1}{9}{{x}^{3}}=\frac{{{y}^{2}}}{2}+2y+\ln (y)+C$

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